UKŁADY 

RÓWNAŃ 

LINIOWYCH

W gimnazjum poznaliśmy trzy metody 

rozwiązywania układów równań liniowych:

- metoda 

podstawiania

,

- metoda 

przeciwnych współczynników

,

- metoda 

graficzna

.

Wiemy również że układ może mieć: 
 jedno rozwiązanie
 nieskończenie wiele rozwiązań
 nie mieć wcale rozwiązań.  

Istnieje jeszcze jedna metoda rozwiązywania 

układów równań – to metoda 

wyznacznikowa

.

Obliczamy trzy wyznaczniki i w zależności od 

ich wartości wiemy czy układ ma 

rozwiązania czy nie.

Zanim pojawią się wzory rozwiążmy dowolny 

układ  równań.  

Obliczamy najpierw wyznacznik główny W –

tworzymy dwie kolumny: kolumna czerwona 

to współczynniki znajdujące się przed 

niewiadomą    , natomiast kolumna zielona 

to współczynniki przed 

Obliczamy wyznacznik Wx: 

Pierwszą kolumnę tworzymy z wyrazów 

wolnych, 

a druga pozostaje bez zmian. 

Obliczamy wyznacznik Wy:

Druga kolumna to wyrazy wolne z układu 

równań. 

Wyznacznik główny W jest różny od zera, 

dlatego układ równań ma jedno rozwiązanie, 

które obliczamy ze wzoru:   

Zbiorem rozwiązań układu równań jest para 

liczb:

      

 

DEFINICJE:

Układ równań liniowych 

można rozwiązać stosując 

metodę wyznaczników:

                                                    wyznacznik główny 

                                                    wyznacznik Wx

                                                    wyznacznik Wy

Układ równań:

a)ma jedno rozwiązanie, jeżeli: W ≠ 0

                                                              

układ taki 

nazywamy                              

                                   układem 

oznaczonym

b) ma nieskończenie wiele rozwiązań, jeżeli :           

     W = 0   i   Wx = 0   i   Wy = 0  

          

układ taki nazywamy 

nieoznaczonym

c) nie ma rozwiązań, jeżeli: 

    W = 0   i  ( Wx ≠ 0   lub   Wy ≠ 0 )  

         układ taki nazywamy 

sprzecznym

Przykład 1.
Metodą wyznacznikową 
rozwiąż układ równań:

Najpierw uporządkujemy 
równania w układzie.

Obliczamy trzy wyznaczniki:

Wszystkie trzy obliczone wyznaczniki mają 

wartość 0  

W=0  i  Wx=0  i  Wy=0

dlatego układ równań ma nieskończenie wiele 

rozwiązań (układ nieoznaczony).

Przykład 2.
Metodą wyznacznikową 
rozwiąż układ równań:

Najpierw uporządkujemy 
równania w układzie.

Obliczamy trzy wyznaczniki:

Wyznacznik główny ma wartość 0, pozostałe 

wyznaczniki są różne od 0.

Spełniony jest warunek: W=0  i  ( Wx≠0  lub  

Wy≠0 )

dlatego układ równań nie ma rozwiązania.

 (układ sprzeczny)

Przykład 3.
Rozwiąż układ równań:

Najpierw przekształcimy równania,
wykonamy odpowiednie działania.

Obliczamy trzy wyznaczniki:

Wyznacznik W ma wartość 0, wyznaczniki Wx i 

Wy  są różne od 0.

Spełniony jest warunek: W=0  i  ( Wx≠0  lub  

Wy≠0 )

dlatego układ równań jest sprzeczny.

Zr = 

∅

Przykład 4.
Oblicz pole figury 
ograniczonej 
prostymi: y=0, y=x, 
y=-2x+8 

Najpierw 
narysujemy 
przybliżony wykres, 
aby powstał 
odpowiedni obszar, 
którego pole 
policzymy.

A

C

B

Otrzymaną figurą jest trójkąt 
o wierzchołkach: A, B, C. 
Prosta AB to prosta o równaniu: y=0
Prosta AC to prosta o równaniu: y=x
Prosta BC to prosta o równaniu: y=-2x+8

Musimy wyznaczyć współrzędne punktów A, 
B, C.

Wyznaczamy współrzędne punktu A – szukamy 
miejsca zerowego funkcji y=x
    y=x
    0=x      A=(0,0)

Wyznaczamy współrzędne punktu B – szukamy 
miejsca zerowego funkcji y=-2x+8
    y=-2x+8
    0=-2x+8
   2x=8
    x=4      B=(4,0)

Wyznaczamy współrzędne punktu C – punktu 
przecięcia się prostych o równaniach: y=x i 
y=-2x+8
Tworzymy układ równań:

Obliczamy wyznaczniki:

C=

Obliczamy długość podstawy i wysokości 
trójkąta ABC.

Pole obszaru wynosi       j

2