UKŁADY
RÓWNAŃ
LINIOWYCH
Z
TRZEMA
NIEWIADOMYMI
UKŁADY
RÓWNAŃ
LINIOWYCH
Z
TRZEMA
NIEWIADOMYMI
DEFINICJE:
Układ równań liniowych
z trzema niewiadomymi
można rozwiązać
stosując
metodę wyznaczników:
W=
Wy=
Wx=
Wz=
Zajmiemy się rozwiązaniem układu równań z
trzema niewiadomymi.
Pod wyznacznikiem dopisujemy pierwszy
wiersz, pod nim drugi wiersz, tworzymy
sześć iloczynów.
W= =
Wx=
=
Wy=
=
Wz=
=
Jeżeli:
a)W
≠ 0 to trójka liczb (x,y,z) jest jedynym
rozwiązaniem układu równań (równania układu są
niezależne)
b)
W = 0 to układ może nie mieć rozwiązań
(równania układu są sprzeczne) albo może mieć
nieskończenie wiele rozwiązań zależnych albo od
jednego parametru albo od dwóch parametrów
(równania układu są zależne).
Przykład 1.
Rozwiąż układ równań:
Obliczamy wyznacznik W, wyznaczniki Wx,
Wy, Wz.
Tworzymy kolumny z liczb znajdujących się
przed odpowiedniki niewiadomymi.
Dopisujemy dwa pierwsze wiersze i obliczamy
wyznacznik mnożąc odpowiednie liczby po
przekątnej – najpierw wg bordowych linii,
potem wg czarnych linii zmieniając znak na
przeciwny.
W =
W =
5
·
(-2)
·
(-2)
+
3
·
(
-
3)
·
4
+
2
·
3
·
2
-
4
·
(-2)
·
2
-
2
·
(-3)
·
5
-
(-
2)
·
3
·
3
=
= 20-36+12+16+30+18=60
Obliczamy wyznacznik Wx – tworzymy
kolumnę liczb wolnych oraz kolumny liczb
znajdujących się przed niewiadomą y i z.
Wx=
Wx =
(-1)
·
(-2)
·
(-2)
+
1
·
(
-
3)
·
4
+
5
·
3
·
2
-
4
·
(-2)
·
5
-
2
·
(-3)
·
(-1)
-
(-
2)
·
3
·
1
=
= -4-12+30+40-6+6=54
Obliczamy wyznacznik Wy – tworzymy
kolumnę liczb wolnych oraz kolumny liczb
znajdujących się przed niewiadomą x i z.
Wy=
Wy =
5
·
1
·
(-2)
+
3
·
5
·
4
+
2
·
(-1)
·
2
-
4
·
1
·
2
-
2
·
5
·
5
-
(-2)
·
(-1)
·
3
=
= -10+60-4-8-50-6=-18
Obliczamy wyznacznik Wz – tworzymy
kolumnę liczb znajdujących się przed
niewiadomą x i y oraz kolumnę liczb
wolnych.
Wz=
Wz =
5
·
(-2)
·
5
+
3
·
(
-
3)
·
(-1)
+
2
·
3
·
1
-
(-1)
·
(-2)
·
2
-
1
·
(-3)
·
5
-
5
·
3
·
3
=
= -50+9+6-4+15-45=-69
Wyznacznik główny W jest różny od zera,
dlatego układ równań ma jedno rozwiązanie,
które obliczamy ze wzoru:
Zbiorem rozwiązań układu równań jest trójka
liczb:
Przykład 2.
Metodą wyznacznikową
rozwiąż układ równań:
Obliczamy wyznacznik W
oraz wyznaczniki: Wx, Wy,
Wz
W=
W = -52+45+20-24+50-39 = 0
Wx = -182+60+10-12+175-52=-1
Wx =
Wy =
Wy = -104+18-140-48+20+273=19
Wz = 8+105-16-56-40+6=7
Wz =
Wyznacznik W ma wartość 0, wyznaczniki Wx,
Wy, Wz są różne od 0.
Układ równań nie posiada żadnych rozwiązań,
jest sprzeczny.
Przykład 3
Rozwiąż układ równań:
Obliczamy wyznacznik W
oraz wyznaczniki: Wx, Wy,
Wz
Wyznacznik W jest różny od 0, więc układ
ma jedno rozwiązanie postaci:
Przykład 4.
Rozwiąż układ równań:
Obliczamy wyznacznik W
oraz wyznaczniki: Wx, Wy,
Wz
Wyznacznik W jest różny od 0, więc układ
ma jedno rozwiązanie postaci:
Zr={ }