Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
1
Przykładowe zadania z rozwi
ą
zaniami
Załó
Ŝ
my,
Ŝ
e macierz
A
jest macierz
ą
kwadratow
ą
stopnia
n
. Mówimy,
Ŝ
e macierz
B
tego
samego wymiaru jest macierz
ą
odwrotn
ą
do
A
, je
Ŝ
eli spełniona jest równo
ść
:
I
A
B
B
A
=
⋅
=
⋅
.
Uwaga:
Macierz
A
jest odwracalna, czyli posiada macierz odwrotn
ą
, wtedy i tylko wtedy, gdy jej
wyznacznik jest ró
Ŝ
ny od zera, czyli jest ona tzw. macierz
ą
nieosobliw
ą
.
Zadanie 1
Sprawd
ź
, czy podane macierze s
ą
do siebie wzajemnie odwrotne:
=
1
1
2
3
A
,
−
−
−
=
3
1
2
1
B
−
=
2
2
3
1
0
0
5
2
1
A
,
−
−
=
0
1
0
8
1
8
17
8
3
4
1
4
3
4
1
B
Rozwi
ą
zanie:
A) Obliczymy iloczyn
B
A
⋅
:
−
=
+
−
−
−
−
−
=
⋅
1
0
12
1
3
2
1
1
6
6
2
3
B
A
, czyli
I
B
A
≠
⋅
, a wi
ę
c podane macierze nie s
ą
do
siebie wzajemnie odwrotne. OCZYOCZYWI
Ś
CIE NIE musimy JU
ś
OBLICZA
Ć
DRUGIEGO
Z ILOCZYNÓW PODANYCH W DEFINICJI MACIERZY ODWROTNEJ.
B) Podobnie jak powy
Ŝ
ej, obliczymy iloczyn:
Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
2
=
+
+
−
+
−
+
−
+
−
−
+
=
⋅
1
0
0
0
1
0
0
0
1
4
1
4
3
2
4
17
4
9
4
3
4
3
0
1
0
4
1
4
1
5
4
17
4
3
4
3
4
1
B
A
,
=
+
−
+
+
−
+
+
−
+
−
+
=
⋅
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
8
2
8
17
8
15
8
2
8
6
8
3
8
3
4
3
4
2
4
5
4
2
4
2
4
3
4
1
A
B
,
zatem podane macierze s
ą
do siebie wzajemnie odwrotne.
Uwaga powy
Ŝ
sza nie podaje sposobu, jak obliczy
ć
macierz odwrotn
ą
do danej. Sposób ten
(jeden z mo
Ŝ
liwych ) jest opisany poni
Ŝ
ej:
Aby wyznaczy
ć
macierz odwrotn
ą
do
A
, wykonujemy nast
ę
puj
ą
ce czynno
ś
ci:
1)
Obliczamy wyznacznik macierzy
A
; je
ś
li
0
det
=
A
, to macierz odwrotna nie istnieje,
2)
Je
ś
li
0
det
≠
A
, to obliczamy dopełnienia algebraiczne wszystkich wyrazów macierzy
A
( dopełnieniem algebraicznym wyrazu
ij
a
macierzy
A
nazywamy wyznacznik podmacierzy powstałej z
A
przez wykre
ś
lenie
−
i
tego wiersza i
−
j
tej kolumny, pomno
Ŝ
ony przez liczb
ę
( )
j
i
+
−
1
) dopełnienie algebraiczne wyrazu
ij
a
b
ę
dziemy oznacza
ć
przez
ij
A
.
3)
Tworzymy macierz
[ ]
n
j
i
ij
A
D
,...,
1
,
=
=
,
4)
Wyznaczamy macierz transponowan
ą
do
D
5)
Macierz
ą
odwrotn
ą
do
A
jest macierz
T
D
A
A
⋅
=
−
det
1
1
Zadanie 2
Sprawd
ź
, czy dana macierz jest odwracalna i, je
ś
li tak, wyznacz macierz odwrotn
ą
:
A)
=
1
2
3
1
A
Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
3
B)
−
−
=
1
1
0
1
0
3
2
1
1
A
C)
−
−
−
=
2
2
1
9
4
2
3
2
1
A
Rozwi
ą
zanie:
A)
Najpierw obliczymy wyznacznik macierzy
A
:
0
5
6
1
1
2
3
1
≠
−
=
−
=
, zatem
A
jest odwracalna. Obliczymy teraz dopełnienia algebraiczne
wszystkich wyrazów tej macierzy:
( )
1
1
1
1
1
11
=
⋅
−
=
+
A
,
( )
2
2
1
2
1
12
−
=
⋅
−
=
+
A
,
( )
3
3
1
1
2
21
−
=
⋅
−
=
+
A
,
( )
1
1
1
2
2
22
=
⋅
−
=
+
A
.
Zauwa
Ŝ
my,
Ŝ
e w tym przypadku dopełnienia algebraiczne wyrazów s
ą
wyznacznikami
macierzy wymiaru
1
1
×
, czyli zawieraj
ą
cej tylko jeden wyraz. Taki wyznacznik jest równy
temu wyrazowi.
Macierz
D
ma wi
ę
c posta
ć
:
−
−
=
1
3
2
1
D
, zatem
−
−
=
1
2
3
1
T
D
i otrzymujemy
wreszcie macierz
−
−
=
−
−
⋅
−
=
−
5
1
5
2
5
3
5
1
1
2
3
1
5
1
1
A
.
Aby sprawdzi
ć
poprawno
ść
wykonanych oblicze
ń
, mo
Ŝ
emy obliczy
ć
odpowiednie iloczyny:
Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
4
=
−
+
−
−
+
−
=
⋅
−
1
0
0
1
5
1
5
6
5
2
5
2
5
3
5
3
5
6
5
1
1
A
A
,
=
−
−
+
−
+
−
=
⋅
−
1
0
0
1
5
1
5
6
5
2
5
2
5
3
5
3
5
6
5
1
1
A
A
,
zatem otrzymali
ś
my poprawny wynik.
B)
( ) ( )
0
10
3
1
0
6
0
0
1
0
0
3
1
1
1
1
0
1
0
3
2
1
1
det
≠
=
−
−
−
−
−
+
+
=
−
−
−
=
A
Zatem istnieje macierz odwrotna do
A
. OBLICZYMY DOPEŁNIENIA ALGEBRAICZNE
WSZYSTKICH WYRAZÓW MACIERZY
A
:
( )
1
1
1
1
0
1
1
1
11
−
=
−
⋅
−
=
+
A
,
( )
( )
3
3
1
1
0
1
3
1
2
1
12
=
−
⋅
−
=
−
⋅
−
=
+
A
,
( )
3
3
1
1
0
0
3
1
3
1
13
=
⋅
=
⋅
−
=
+
A
,
( )
(
)
3
2
1
1
1
1
2
1
1
1
2
21
=
−
−
⋅
−
=
−
⋅
−
=
+
A
,
( )
1
1
0
2
1
1
2
2
22
=
−
−
⋅
−
=
+
A
,
( )
( )
1
1
1
1
0
1
1
1
3
2
23
=
−
⋅
−
=
−
⋅
−
=
+
A
,
( )
1
1
0
2
1
1
1
3
31
=
⋅
−
=
+
A
,
Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
5
( )
(
)
7
6
1
1
1
3
2
1
1
2
3
32
=
−
−
⋅
−
=
−
⋅
−
=
+
A
,
( )
3
0
3
1
1
1
3
3
33
−
=
−
⋅
−
=
+
A
.
Otrzymujemy st
ą
d macierz
−
−
=
3
7
1
1
1
3
3
3
1
D
,
nast
ę
pnie
−
−
=
3
1
3
7
1
3
1
3
1
T
D
,
i wreszcie
−
−
⋅
=
−
3
1
3
7
1
3
1
3
1
10
1
1
A
.
Wykonamy jeszcze sprawdzenie:
I
A
A
=
⋅
=
+
−
−
−
+
+
−
−
+
−
+
+
−
+
+
⋅
=
⋅
−
10
0
0
0
10
0
0
0
10
10
1
3
7
1
1
3
3
3
3
1
9
3
3
6
7
1
2
1
3
6
3
1
10
1
1
,
I
A
A
=
⋅
=
+
+
−
+
−
−
+
+
+
−
−
+
−
+
−
+
⋅
=
⋅
−
10
0
0
0
10
0
0
0
10
10
1
3
1
6
3
3
3
3
7
1
6
7
3
3
3
1
3
2
1
1
9
1
10
1
1
ZATEM WYKONALI
Ś
MY POPRAWNE OBLICZENIA.
C)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
8
18
12
12
18
8
2
1
4
2
2
1
2
2
1
9
4
2
3
2
1
det
=
−
−
−
−
−
−
−
+
−
+
−
=
−
−
−
−
−
=
A
Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
6
Zatem macierz powy
Ŝ
sza jest nieodwracalna.
Układ równa
ń
liniowych to układ równa
ń
postaci:
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
k
n
kn
k
k
n
n
n
n
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
...
..........
..........
..........
..........
...
...
2
2
1
1
2
2
2
22
1
21
1
1
2
12
1
11
’
gdzie
R
b
a
i
ij
∈
,
dla
n
j
k
i
,...,
2
,
1
;
,...,
2
,
1
=
=
.
Macierz
[ ]
n
j
k
i
ij
a
A
,...,
2
,
1
,...,
2
,
1
=
=
=
nazywamy macierz
ą
tego układu.
Je
ś
li w powy
Ŝ
szym układzie równa
ń
liczba równa
ń
jest równa liczbie niewiadomych,
czyli
k
n
=
, i wyznacznik macierzy tego układu jest ró
Ŝ
ny od zera, to układ ten
nazywamy układem Cramera.
Uwaga
Układ Cramera ma dokładnie jedno rozwi
ą
zanie. Jest nim ci
ą
g liczb
n
x
x
x
,...,
,
2
1
,
gdzie ka
Ŝ
d
ą
z liczb
i
x
mo
Ŝ
na obliczy
ć
korzystaj
ą
c z wzoru:
W
W
x
i
i
=
( dla
n
i
,...,
2
,
1
=
)
W
jest wyznacznikiem macierzy tego układu (tzw. wyznacznikiem głównym), za
ś
i
W
jest wyznacznikiem macierzy powstałej przez zast
ą
pienie w macierzy układu
−
i
tej
kolumny kolumn
ą
wyrazów wolnych.
Opisana powy
Ŝ
ej metoda rozwi
ą
zywania układów Cramera, nazywa si
ę
metod
ą
wyznaczników.
Zadanie 3
Sprawd
ź
, czy podany układ jest układem Cramera. Je
ś
li tak, rozwi
ąŜ
go metod
ą
wyznaczników.
Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
7
A)
=
+
=
+
−
13
4
1
2
2
1
2
1
x
x
x
x
B)
=
+
+
−
=
+
+
=
+
−
3
2
5
5
3
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
C)
=
−
−
−
=
+
+
−
=
−
+
1
3
2
3
1
2
3
2
0
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Rozwi
ą
zania:
A) Obliczymy najpierw wyznacznik główny tego układu, aby sprawdzi
ć
, czy jest to układ
Cramera:
0
9
1
8
4
1
1
2
≠
−
=
−
−
=
−
=
W
,
A zatem jest to układ Cramera i mo
Ŝ
emy zastosowa
ć
metod
ę
wyznaczników:
9
13
4
4
13
1
1
1
−
=
−
=
=
W
,
27
1
26
13
1
1
2
2
−
=
−
−
=
−
=
W
.
Stosuj
ą
c teraz podane powy
Ŝ
ej wzory, otrzymujemy:
=
−
−
=
=
−
−
=
3
9
27
1
9
9
2
1
x
x
,
Czyli rozwi
ą
zaniem układu jest para liczb :
( )
3
,
1
B) Podobnie, jak poprzednio, obliczymy wyznacznik główny układu:
Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
8
( ) ( )
0
22
5
1
0
15
1
0
1
1
0
5
1
1
1
1
1
1
0
5
3
1
1
≠
=
−
−
−
−
−
+
+
=
−
−
−
=
W
Zatem jest to układ Cramera.
Mamy:
( )
( )
0
2
5
0
6
3
0
1
3
0
2
1
5
1
1
3
1
0
2
3
1
5
1
=
−
−
−
−
−
+
+
=
−
−
−
−
−
=
W
( )
( ) ( )
22
25
3
6
45
5
2
3
1
2
5
5
1
1
3
1
1
2
5
3
5
1
2
=
−
−
−
−
−
+
−
+
−
=
−
−
−
=
W
( ) ( )
44
15
2
0
25
2
0
1
1
0
5
1
1
3
1
1
2
0
5
5
1
1
3
=
−
−
−
−
−
+
+
=
−
−
−
=
W
,
Zatem
=
=
=
=
=
=
2
22
44
1
22
22
0
22
0
3
2
1
x
x
x
,
czyli rozwi
ą
zaniem układu jest ci
ą
g trzech liczb:
(
)
2
,
1
,
0
.
C) Tak, jak w poprzednich przykładach, obliczamy wyznacznik główny:
( ) ( ) ( )
`
0
6
4
9
4
6
9
2
3
3
2
1
1
3
2
3
2
3
2
1
1
1
=
−
−
−
−
−
−
+
+
−
=
−
−
−
−
−
−
=
W
.
poniewa
Ŝ
wyznacznik główny jest równy
0
, wi
ę
c powy
Ŝ
szy układ nie jest układem Cramera.
Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
9
Zadania do samodzielnego rozwi
ą
zania
Zadanie 1
Zbadaj, czy dana macierz posiada macierz odwrotn
ą
i, je
ś
li tak , wyznacz j
ą
:
A)
−
=
1
0
2
1
A
B)
−
−
=
2
1
3
2
A
C)
−
−
=
8
2
4
1
A
D)
−
=
1
1
0
1
A
E)
=
5
4
3
2
A
F)
−
−
=
5
2
3
1
A
Zadanie 2
Zbadaj, czy macierz
B
jest odwrotna do macierzy
A
:
A)
−
=
1
1
2
3
A
,
−
−
=
3
1
2
1
B
B)
=
1
0
2
4
A
,
−
=
1
0
2
1
4
1
B
C)
−
−
=
1
1
0
0
1
1
1
0
1
A
,
−
−
−
=
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
B
D)
−
=
3
1
2
3
1
0
1
2
1
A
,
−
−
−
−
⋅
=
1
3
1
3
1
3
5
3
3
4
1
B
Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
10
Zadanie 3
Oce
ń
, czy nast
ę
puj
ą
cy układ równa
ń
jest układem Cramera i, je
ś
li tak, rozwi
ąŜ
go metod
ą
wyznaczników.
A)
−
=
−
=
+
−
8
3
5
3
2
2
1
2
1
x
x
x
x
B)
−
=
+
−
=
−
31
5
4
17
3
2
2
1
2
1
x
x
x
x
C)
=
+
−
=
−
+
=
+
−
3
2
8
3
2
1
2
3
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
D)
=
+
−
=
+
−
−
=
−
+
0
0
2
2
1
3
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
E)
=
+
−
=
+
−
=
−
+
0
2
11
2
3
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
F)
−
=
+
−
−
=
−
=
+
+
−
2
2
2
3
2
4
3
3
2
1
3
2
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
G)
=
+
−
=
−
+
=
+
−
2
4
5
15
5
2
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
H)
=
+
+
−
=
+
−
−
=
−
+
4
1
2
2
0
3
4
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
I)
−
=
+
−
−
=
−
+
−
=
+
−
4
2
3
2
6
3
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
11
J)
=
+
=
+
−
=
−
+
0
3
3
0
5
0
2
3
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
K)
=
+
−
=
+
−
=
+
+
0
5
0
4
3
2
0
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
L)
=
−
+
=
−
+
=
+
−
0
2
3
4
0
4
5
0
2
3
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
ODPOWIEDZI:
ZADANIE 1
A) TAK;
=
−
1
0
2
1
1
A
B) TAK;
−
−
=
−
2
1
3
2
1
A
C) NIE
D) TAK;
−
=
−
1
1
0
1
1
A
E) TAK;
−
−
=
−
1
2
2
3
2
5
1
A
F) TAK;
=
−
1
2
3
5
1
A
ZADANIE 2
A) NIE
B) TAK
C) TAK
D) NIE
Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
12
ZADANIE 3
A) TAK; ROZWI
Ą
ZANIEM JEST PARA LICZB:
( )
1
,
1
−
.
B) TAK; ROZWI
Ą
ZANIEM JEST PARA LICZB:
(
)
3
,
4
−
.
C) TAK; ROZWI
Ą
ZANIEM JEST TRÓJKA LICZB:
(
)
2
,
0
,
1
−
.
D) NIE JEST TO UKŁAD CRAMERA
E) TAK; ROZWI
Ą
ZANIEM JEST TRÓJKA LICZB:
(
)
4
,
3
,
2
.
F) TAK; ROZWI
Ą
ZANIEM JEST TRÓJKA LICZB:
(
)
6
,
0
1
,
4
.
G) TAK; ROZWI
Ą
ZANIEM JEST TRÓJKA LICZB:
(
)
3
,
2
,
1
.
H) TAK; ROZWI
Ą
ZANIEM JEST TRÓJKA LICZB:
(
)
1
,
3
,
0
.
I) TAK; ROZWI
Ą
ZANIEM JEST TRÓJKA LICZB:
(
)
1
,
2
,
1
−
−
.
J) TAK; ROZWI
Ą
ZANIEM JEST TRÓJKA LICZB:
(
)
0
,
0
,
0
.
K) TAK; ROZWI
Ą
ZANIEM JEST TRÓJKA LICZB:
(
)
0
,
0
,
0
.
L) TAK; ROZWI
Ą
ZANIEM JEST TRÓJKA LICZB:
(
)
0
,
0
,
0
.