2

 Techniki Obliczeniowe i Symulacyjne
 Układy równań liniowych, macierz odwrotna, aproksymacja
 prof. dr hab. inż. Tomasz Zieliński

2011.02.28

Ćwiczenie 1 (0.5 – max 2 pkt)

Wyznacz analitycznie rozwiązanie układu równań (na papierze):

                                                     

[

3 4 1
2 3 0
3 2 1

]

[

x

1

x

2

x

3

]

=

[

1
0

−

2

]

,

Ax=b

 

(1)

jedną   z   metod:   Cramera   (0.5   pkt),   eliminacji   Gaussa-Jordana   (1   pkt),   eliminacji   Gaussa   (1   pkt), 

dekompozycji   LU (2   pkt)   oraz  napisz   program w  Matlabie,  który  rozwiązuje   tą  metodą  dowolne 
równanie   z   N   niewiadomymi,   a   nie   z   trzema.   Zamień   miejscami   kolumny   2   i   3   oraz   rozwiąż 

zmodyfikowane   równanie   za   pomocą   twojego   programu.   Jeśli   wystąpił   problem,   to   jak   go   można 
rozwiązać?

Ćwiczenie 2 (1 pkt)

Napisz program w Matlabie rozwiązujący równanie (1) jedną z  metod iteracyjnych: Jacobiego lub 
Gaussa-Seidela.   Sprawdź   czy   metoda   zbiega   się   do   poprawnego   rozwiązania   (narysuj   jak   się 

zmieniało rozwiązanie w kolejnych iteracjach). Czy procedura iteracyjna jest zawsze zbieżna?

Ćwiczenie 3 (1 pkt)

Wyznacz rozwiązanie równania (1) 

-1

x = A b

za pomocą funkcji Matlaba:

xm1 = inv(A)*b;   xm2 = A\b                                                   (2)

Porównaj otrzymane wyniki xm1 i xm2 ze sobą oraz z rozwiązaniami otrzymanymi w ćw. 1 i 2.
Potem wygeneruj macierz A i werktor b za pomocą funkcji randn():

N=100; A = randn(N,N); r=randn(N,1)

oraz porównaj ze sobą rozwiązania xm1 i xm2 (2), i czas trwania obliczeń w obu przypadkach (stosując 

funkcje tic i toc.)
Na koniec zastosuj programy z ćw. 1 i 2 oraz program (2) do źle uwarunkowanego układu równań

[

eps

eps

−

1

eps −eps eps
−

1

eps

eps

]

[

x

1

x

2

x

3

]

=

[

−

1

0
1

]

, Ax=b

                                          (3)

Ćwiczenie 4 (1 pkt)

Oblicz macierz autokorelacji 

R

 (symetryczna względem głównej przekątnej!!!) dla tego samego sygnału 

i w taki sam sposób jak w programie T19_4.m, umieszczonym na stronie:

http://www.kt.agh.edu.pl/pl/edu/wydaw/cps,k.html

Mamy   rozwiązać   równanie   macierzowe  

Ra = -r

gdzie  

a

  wektorem   współczynników   cyfrowego   filtra 

rekursywnego,   wykorzystywanego   w   algorytmach   kompresji   mowy   do   modelowania   charakterystyki 
częstotliwościowej traktu głosowego (formanty). Wyznacz 

a

 tak jak w programie T19_4:

1

−

a = -R r

oraz   szybką   metodą   Durbina-Levinsona   (Tabela   20-1,   str.   581),   wykorzystywaną   w   telefonach 
komórkowych, w której unika się odwracania macierzy o wymiarach 10

×

10.

Dla dociekliwych

Czy   zawsze   trzeba   wyznaczać   macierz   odwrotną?  Prosta   i   odwrotna   transformacja   Fouriera, 

analiza   i   synteza   sygnału,   są   opisane   parą   następujących   równań   (n  –   indeks   czasu,  k  –   indeks 
częstotliwości, k 

↔

 f

k

=kf

0

=k(f

pr

/N)):

(

)

,

,

( , ) exp

2

/

/

,

,

0,1,2,3,...,

1

F k n

j

kn N

N

k n

N

π

=

−

=

−

-1

X = Fx

x = F X

          (4)

Ponieważ macierz 

F

 jest ortonormalna (jej wiersze są ortonormalne), to macierz do niej odwrotna jest 

macierzą sprzężoną, transponowaną:

( )

1

* T

−

=

F

F

czyli   nie   trzeba   jej   czasochłonnie   obliczać.   Wektor  

X

  reprezentuje   sobą   współczynniki   rozwinięcia 

(aproksymacji,   przybliżenia)  sygnału  

x

  względem   sygnałów   bazowych   (wzorcowych),   których 

sprzężenia zespolone są umieszczone w wierszach macierzy 

F

. Patrz wykład z CPS.