1
Układy równań liniowych
Definicja Układem
m
równań z
n
niewiadomymi
x
1
, x
2
, . . . , x
n ,
gdzie
m, n ∈ N
, nazywamy układ równań postaci:
(∗)
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+ . . .
+
a
1n
x
n
= b
1
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+ . . .
+
a
2n
x
n
= b
2
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
a
m1
x
1
+ a
m2
x
2
+ . . .
+ a
mn
x
n
= b
m
gdzie
a
ij
∈ R
nazywamy współczynnikami układu,
b
i
∈ R
nazywamy wyrazami wolnymi (
i = 1, 2, . . . , m
,
j = 1, 2, . . . , n
).
2
Definicja
• Rozwiązaniem układu równań
(∗)
nazywamy ciąg liczb rzeczywistych
x
1
, x
2
, . . . , x
n , spełniających ten układ.
• Układ, który nie posiada rozwiązania nazywamy układem sprzecznym.
Uwaga
Układ
(∗)
można zapisać w postaci macierzowej:
A X = B,
gdzie
A =
a
11
a
12
. . .
a
1n
a
21
a
22
. . .
a
2n
. . .
. . .
. . .
. . .
a
m1
a
m2
. . .
a
mn
X =
x
1
x
2
. . .
x
n
B =
b
1
b
2
. . .
b
m
3
Definicja
• Macierz
A
nazywamy macierzą główną układu równań
(∗)
.
• Macierz
X
nazywamy macierzą (kolumną) niewiadomych.
• Macierz
B
nazywamy macierzą (kolumną) wyrazów wolnych.
Rozwiązywanie układów równań liniowych
1) Metoda mcierzy odwrotnej
Jeżeli
m = n
i
det A 6= 0
, czyli macierz główna układu
(∗)
jest macierzą kwadratową nieosobliwą (tym samym istnieje macierz
odwrotna
A
−1
), to rozwiązania układu
(∗)
możemy poszukiwać
4
jako rozwiązania równania macierzowego
A X = B,
tzn.
X = A
−1
B.
Przykład
Metodą macierzy odwrotnej rozwiąż układ równań:
x
+ y − 2z
= 3
y −
z
= −1
−x
+ 2z
= 5
5
2) Wzory Cramera
Definicja
Układ
(∗)
nazywamy układem Cramera, jeżeli macierz
główna
A
tego układu jest macierzą kwadratową nieosobliwą.
Twierdzenie
(Cramera)
Układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie. Rozwiązanie to
dane jest wzorami (Cramera):
x
1
=
det A
1
det A
,
x
2
=
det A
2
det A
,
. . . ,
x
n
=
det A
n
det A
,
gdzie macierz
A
i
dla
i = 1, 2, . . . , n
powstaje z macierzy
A
w
wyniku zastąpienia kolumny współczynników stojących przy niewiadomej
x
i kolumną wyrazów wolnych.
6
Przykład
Wyznacz
x
2 z układu równań:
2x
1
− 2x
2
+
x
3
+ 3x
4
= 5
x
1
+ 3x
2
−
x
3
+
x
4
= 6
3x
1
−
x
2
−
x
3
+
x
4
= 6
x
1
+
x
2
+ 2x
3
−
x
4
= 2
7
3) Twierdzenie Kroneckera-Capelli
Rozważmy układ
(∗)
, gdzie w ogólności
m 6= n
.
Definicja
Macierz
U = A|B =
a
11
a
12
. . .
a
1n
b
1
a
21
a
22
. . .
a
2n
b
2
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
a
m1
a
m2
. . .
a
mn
b
m
nazywamy macierzą rozszerzoną układu
(∗)
.
Twierdzenie
(Kroneckera-Capelli)
Układ
(∗)
ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy
R(U) = R(A)
.
Co więcej:
8
• jeżeli
R(U) = R(A) = n
(
n
-liczba niewiadomych), to układ
(∗)
ma dokładnie jedno rozwiązanie,
• jeżeli
R(U) = R(A) = r < n
, to układ
(∗)
ma nieskończenie
wiele rozwiązań zależnych od
n − r
parametrów.
Przykład
Rozwiąż następujące układy równań:
a)
3x − y +
z
= 2
x
+ y + 2z = 1
b)
x
−
y
+ 3z = 2
2x + 7y + 5z = 1
2x − 2y + 6z = −5
9
c)
x
1
+ x
3
+ x
4
= 5
x
1
− x
2
+ x
3
= 1
x
2
+ x
3
− x
4
= 0
x
1
+ x
2
+ x
3
= 3
d)
3x
1
+ 2x
2
+ 2x
3
+ 2x
4
= 2
2x
1
+ 3x
2
+ 2x
3
+ 5x
4
= 3
9x
1
+
x
2
+ 4x
3
− 5x
4
= 1
2x
1
+ 2x
2
+ 3x
3
+ 4x
4
= 5
7x
1
+
x
2
+ 6x
3
−
x
4
= 7
10
Układy jednorodne
Definicja
Układ postaci
(∗)
nazywamy układem jednorodnym,
jeżeli macierz wyrazów wolnych tego układu jest macierzą zerową.
Fakt
Układ jednorodny ma zawsze rozwiązanie. Co więcej:
• jeżeli
R(A) = n
(
n
-liczba niewiadomych), to układ jednorodny
ma dokładnie jedno rozwiązanie postaci
x
1
= 0,
x
2
= 0,
. . . ,
x
n
= 0.
Rozwiązanie to nazywamy rozwiązaniem zerowm.
• jeżeli
R(A) = r < n
, to układ
(∗)
ma nieskończenie wiele
rozwiązań zależnych od
n − r
parametrów, przy czym zbiór
rozwiązań zawiera w sobie rozwiązanie zerowe.
11
Przykład
Dla jakich wartości parametru
a
układ ma rozwiązanie
niezerowe?
x
+ ay − 3z = 0
2x +
y
+
z
= 0
3x + ay −
z
= 0