Kolokwium I
rok 2008/2009
Zadanie 1:
Zbadać, czy pole wektorowe
F
= [
y
xze
2
2
2
2
2
2
2
3
cos
;
2
;
sin
z
z
x
e
x
ze
x
z
y
y
]
spełnia warunek
wystarczający istnienia potencjału i wyznaczyć ten potencjał.
Rozwiązanie:
Warunek konieczny do istnienia potencjału pola wektorowego
F
: Jeżeli pole wektorowe
F
jest potencjalne w całej
swojej dziedzinie
D
, to
0
)
,
,
(
z
y
x
F
rot
dla każdego
D
z
y
x
)
,
,
(
.
1) Sprawdzamy warunek konieczny istnienia potencjału pola wektorowego.
F
[
y
xze
2
2
2
2
2
2
2
3
cos
;
2
;
sin
z
z
x
e
x
ze
x
z
y
y
]
2
2
2
2
2
2
3
cos
2
sin
2
z
z
x
e
x
ze
x
z
xze
z
y
x
k
j
i
F
rot
y
y
y
=
= [
y
e
x
2
2
2
y
e
x
2
2
2
;
y
xe
z
2
2
cos
(
y
xe
z
2
2
cos
) ;
y
y
xze
xze
2
2
4
4
] = [
0
;
0
;
0
] =
0
.
Zatem
0
)
,
,
(
z
y
x
F
rot
oraz
3
R
D
- stąd
F
jest polem potencjalnym.
2) Wyznaczamy potencjał
)
,
,
(
z
y
x
f
taki, że
]
,
,
[
z
y
x
f
f
f
f
grad
, gdzie
z
y
x
f
R
f
Q
f
P
;
;
.
)
,
(
sin
)
sin
2
(
)
,
,
(
sin
2
2
2
2
2
z
y
C
z
x
z
e
x
dx
z
xze
z
y
x
f
z
xze
f
y
y
y
x
Obustronnie liczymy pochodną po
y
i otrzymujemy :
y
y
y
y
ze
x
Q
z
y
C
ze
x
f
2
2
2
2
2
)
,
(
2
0
)
,
(
z
y
C
y
Całkując obustronnie po
y
:
)
(
0
)
,
(
z
D
z
y
C
)
(
sin
)
,
,
(
2
2
z
D
z
x
z
e
x
z
y
x
f
y
liczymy pochodną po
z
:
2
2
2
2
2
3
cos
)
(
'
cos
z
z
x
e
x
R
z
D
z
e
x
f
y
y
z
2
3
)
(
'
z
z
D
Całkując otrzymamy:
A
z
z
D
3
)
(
Potencjał pola wektorowego
F
to:
A
z
z
x
z
e
x
z
y
x
f
y
3
2
2
sin
)
,
,
(
.
3) Sprawdzając poprawność rozwiązania liczymy czy :
F
f
grad
.
f
grad
= [
y
xze
2
2
2
2
2
2
2
3
cos
;
2
;
sin
z
z
x
e
x
ze
x
z
y
y
]=
F
Odp
owiedź:
Potencjał pola wektorowego
F
= [
y
xze
2
2
2
2
2
2
2
3
cos
;
2
;
sin
z
z
x
e
x
ze
x
z
y
y
]
j
est równy:
A
z
z
x
z
e
x
z
y
x
f
y
3
2
2
sin
)
,
,
(
, gdzie
A
jest dowolną stałą.
Autor: Dagmara Klos grupa 2
15.10.2013