Kolokwium I
rok 2010/2011
Zadanie 2 :
Obliczy
ć moment bezwładności względem początku układu współrzędnych łuku, będącego
częścią okręgu
1
2
2
y
x
leżącego w drugiej ćwiartce układu współrzędnych, jeżeli gęstość masy
2
2
)
,
(
y
x
y
x
.
Rozwiązanie:
1)
Moment bezwładności łuku
L
względem początku układu :
L
def
dl
y
x
z
y
x
I
)
(
)
,
,
(
2
2
0
,
gdzie
)
,
,
(
z
y
x
jest
ciągłą gęstością liniową masy łuku gładkiego.
2) Sprowadzamy dane do
współrzędnych biegunowych.
Łuk
L
we współrzędnych biegunowych opisze się:
]
,
[
,
sin
)
(
,
cos
)
(
:
2
1
r
y
r
x
L
Stąd otrzymamy :
]
,
2
[
,
sin
,
cos
dla
y
x
, ponieważ r = 1 w tym przykładzie.
1
)
'
(
)
'
(
,
cos
'
,
sin
'
2
2
y
x
y
x
oraz
1
2
2
y
x
2
2
2
2
cos
sin
)
,
,
(
y
x
z
y
x
3)
Sprowadzamy całkę krzywoliniową do całki oznaczonej:
L
dl
y
x
y
x
I
)
(
)
,
(
2
2
0
=
d
y
x
y
x
y
x
2
2
2
2
))
(
'
(
))
(
'
(
]
))
(
(
))
(
))[(
(
),
(
(
2
1
4)
Podstawiamy dane pod całkę oznaczoną i otrzymujemy:
2
2
2
sin
cos
d
=
2
2
cos
1
sin
;
2
1
2
cos
cos
:
2
2
ąc
podstawiaj
=
2
2
2
cos
1
2
1
2
cos
d
=
=
2
2
2
cos
1
4
1
d
=
2
1
4
cos
2
cos
:
2
ąc
podstawiaj
=
2
2
1
4
cos
1
4
1
d
=
2
)
4
cos
1
(
8
1
d
=
=
2
8
1
2
4
sin
4
1
8
1
=
16
0
0
16
8
Odpowiedź:
Moment bezwładności względem początku układu współrzędnych danego łuku wynosi
16
.
Autor: Dagmara Klos, grupa 2
17.10.2013