Kolokwium I
rok 2011/2012
Zadanie 3:
a) Sformułować twierdzenie Greena.
b) Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć całkę
dy
y
x
dx
y
x
2
6
4
gdzie
łuk L jest łukiem zamkniętym zorientowanym ujemnie, złożonym z wykresów funkcji
2
x
2
,
0
x
y
y
.
Rozwiązanie:
a) Twierdzenie Greena
Jeżeli funkcje P i Q są funkcjami klasy C
1
wewnątrz obszaru domkniętego
2
R
D
i normalnego względem
obu osi układu współrzędnych, brzeg L obszaru
D
jest łukiem zorientowanym dodatnio oraz pole wektorowe
Q
P
F
,
jest różniczkowalne w sposób ciągły na
D
, wówczas:
L
D
dxdy
y
P
x
Q
Qdy
Pdx
.
b)
Całka
1.
Przekształcamy wzór funkcji
2
x
2
x
y
, która składa się na łuk :
2
x
2
x
y
/( )
2
2
2
2
x
x
y
0
2
2
2
y
x
x
1
1
2
2
y
x
-
powstaje równanie okręgu o środku S(-1,0) i promieniu r=1
2. Rysujemy
układ współrzędnych z funkcjami tworzącymi łuk L :
3.
Określamy dziedzinę:
2
2
0
0
2
:
x
x
y
x
D
