Kolokwium I
rok 2008/2009
Zadanie 3
:
a)
Obliczyć: ∫
L
(x-y)dx +(y+x)dy , jeżeli L jest krzywą L: {x
2
+y
2
+2y=0 } zorientowaną ujemnie względem swojego
wnętrza.
b) Podać twierdzenie Greena oraz sprawdzić tezę tego twierdzenia dla całki liczonej w punkcie (a).
Rozwiązanie: a)
1) L: x
2
+y
2
+2y=0 x
2
+y
2
+2y+1 -1=0 x
2
+(y+1)
2
=1, L jest okręgiem o promieniu 1 i środku w punkcie (0,-1)
2) Parametryzacja okręgu L (dla orientacji dodatniej):
x(t)=cost, y(t)=-1+sint t[0,2 π]
3) Pochodne x' i y':
x'(t)=-sint y'(t)=cost
4) Obliczenie całki ze wzoru ∫
L
Pdx + Qdy=
a
∫
b
[P(x(t) , y(t) )
* x'(t)+ Q(x(t), y(t) ) * y′(t) ]dt
∫
L
(x-y)dx +(y+x)dy =
0
∫
2
π
(cost+1-sint)(-sint) + (-1+sint+cost)(cost) dt =
=
0
∫
2
π
( –sintcost –sint+sin
2
t –cost +sintcost +cos
2
t )dt =
0
∫
2
π
(1-sint-cost)dt =
=
0
∫
2
π
1dt +
0
∫
2
π
(-sint)dt -
0
∫
2
π
cost dt = t|
0
2
π
+cost|
0
2
π
-sint|
0
2
π
=
2
π+(1-1)-(0-0) =
=
2
π
5) Obliczenie całki dla orientacji ujemnej według wzoru:
-∫
L
Pdx + Qdy = ∫-
L
Pdx + Qdy
∫-
L
(x-y)dx +(y+x)dy = -2
π
Rozwiązanie: b)
Założenia twierdzenia Greena:
1. D jest obszarem domkniętym, zawartym w R
2
, normalnym względem obu osi układu, o brzegu L będącym
łukiem zorientowanym dodatnio.
→
2. Pole wektorowe F[P,Q] jest różniczkowalne w sposób ciągły na obszarze D.
Teza twierdzenia Greena:
Sprawdzenie tezy dla punktu a)
P= x-y, Q=x+y, = 1 =-1
Konstruujemy łuk K=-L, wówczas K jest zorientowany dodatnio i:
∫-
L
Pdx + Qdy = -∫∫
D
(1-(-1))dxdy = -2∫∫
D
dxdy = -2
π(1)
2
= -
2
π
(
∫∫
D
dxdy to pole obszaru D, czyli koła o promieniu 1
)
Odpowiedź:
a)
∫-
L
(x-y)dx +(y+x)dy = -
2
π
Autor: Magdalena Cymkowska, grupa 2
21.10.2013