Bryła sztywna
Środek masy:
definicja,
ruch środka masy,
Zasada zachowania pędu
Zderzenia:
sprężyste, niesprężyste,
centralne, niecentralne,
Podstawy dynamiki
Bryła sztywna
Środek masy:
definicja,
ruch środka masy,
Zasada zachowania pędu
Zderzenia:
sprężyste, niesprężyste,
centralne, niecentralne,
Podstawy dynamiki
Ruch środka masy
n
i
i
i
s
m
M
1
1
r
r
rozważmy układ punktów materialnych o masach
m
1
, m
2
, …, m
n
o stałej
masie całkowitej
M
. Środek masy jest równy:
różniczkując względem czasu otrzymamy:
co zapisujemy następująco:
n
i
i
i
s
m
M
1
r
r
n
i
i
i
s
dt
r
d
m
dt
r
d
M
1
n
i
i
i
s
v
m
v
M
1
ponownie różniczkując względem czasu otrzymamy:
n
i
i
i
s
dt
v
d
m
dt
v
d
M
1
n
i
i
i
s
a
m
a
M
1
n
i
i
s
F
a
M
1
zew
n
i
i
F
F
1
zew
s
F
a
M
środek masy układu
punktów materialnych
porusza się w taki sposób,
jakby cała masa układu
była skupiona w
środku
masy
i jakby wszystkie
siły zewnętrzne nań
działały
Zasada zachowania pędu
jeżeli nie działają siły zewnętrzne (lub wypadkowa jest równa zero):
dt
p
d
F
zew
0
const
p
Jeżeli
wypadkowa
sił
zewnętrznych
działających na układ jest równa zeru, to
całkowity wektor pędu układu jest stały.
Jeżeli
wypadkowa
sił
zewnętrznych
działających na układ jest równa zeru, to
pęd układu w stanie początkowym jest
równy
pędowi
układu
w
stanie
końcowym.
Zderzenia
zderzenie
– krótkotrwałe oddziaływanie dwóch ciał,
Podział:
zderzenia bezpośrednie – (mechaniczne),
zderzenia „bezstykowe” –
za pośrednictwem wszelkiego rodzaju pól,
zderzenia sprężyste (elastyczne) – spełniona jest
zasada zachowania pędu i energii kinetycznej
zderzenia niesprężyste (nieelastyczne) –
spełniona jest zasada zachowania pędu:
idealnie niesprężyste – ciała łączą się,
zderzenia centralne
– ciała poruszają się
wzdłuż linii łączącej środki
zderzenia niecentralne
– ukośne
Zderzenia sprężyste
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
u
m
u
m
v
m
v
m
u
m
u
m
v
m
v
m
Rozpatrzymy zderzenia
sprężyste dla kul o masach
m
1
i
m
2
oraz ich
prędkości przed zderzeniem
v
1
i
v
2
. Chcemy
obliczyć prędkości
u
1
i
u
2
obu kul po zderzeniu. Zderzenie
sprężyste charakteryzuje się tym, że energia kinetyczna
przed
zderzeniem
równa się energii kinetycznej po
zderzeniu, a
traktując kule jako układ odosobniony wiemy,
że pęd układu przed zderzeniem jest równy pędowi po
zderzeniu:
zasada zachowania pędu
zasada zachowania energii kinetycznej
m
2
m
2
m
2
m
1
m
1
m
1
v
1
v
2
u
1
u
2
Zderzenia sprężyste
2
1
2
1
2
1
1
2
2
1
1
2
1
2
2
1
)
(
2
)
(
2
m
m
v
m
m
v
m
u
m
m
v
m
m
v
m
u
i ostatecznie:
Zbadajmy zachowanie się prędkości końcowych
w zależności od mas i prędkości początkowych:
niech
m
1
=
m
2
1
2
2
1
v
u
v
u
czyli kule o jednakowych masach
wymieniają wzajemne swe prędkości
m
2
m
2
m
2
m
1
m
1
m
1
v
1
v
2
u
1
u
2
Zderzenia sprężyste
2
1
2
1
2
1
1
2
2
1
1
2
1
2
2
1
)
(
2
)
(
2
m
m
v
m
m
v
m
u
m
m
v
m
m
v
m
u
niech
v
2
= 0
wtedy:
2
1
1
1
2
2
1
1
2
1
1
2
)
(
m
m
v
m
u
m
m
v
m
m
u
jeśli dodatkowo
m
1
=
m
2
1
2
1
0
v
u
u
Zderzenia sprężyste
2
1
2
1
2
1
1
2
2
1
1
2
1
2
2
1
)
(
2
)
(
2
m
m
v
m
m
v
m
u
m
m
v
m
m
v
m
u
gdy druga kula ma masę znacznie większą od pierwszej i jest nieruchoma
jeśli dodatkowo
(odbicie od ściany)
0
2
2
1
v
i
m
m
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
2
1
1
v
m
m
m
m
u
v
m
m
m
m
u
2
m
0
lim
2
1
2
m
m
m
0
2
1
1
u
v
u
Zderzenia niesprężyste
Rozpatrzymy zderzenie
niesprężyste kul o masach
m
1
i
m
2
poruszających się
z
prędkościami przed zderzeniem
v
1
i
v
2
. Niech obie
prędkości mają te same
kierunki i niech
v
1
>
v
2
. Po zderzeniu
następuje trwałe odkształcenie i ciała
poruszają się razem (zderzenie idealnie niesprężyste). Chcemy obliczyć wspólną
prędkości
u
.
2
1
2
2
1
1
2
1
2
2
1
1
)
(
m
m
v
m
v
m
u
u
m
m
v
m
v
m
zasada zachowania pędu
zasada zachowania energii kinetycznej
nie obowiązuje
–
zmiany energii wewnętrznej – odkształcenie, nagrzewanie ciał