1
Funkcje falowe w atomie wodoru
Wartości przyjmowane przez liczby kwantowe
n, l, m
mają wpływ na postać funkcji falowej
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
m
l,
n,
ϕ
ϑ
ϕ
ϑ
r
r
z
y
x
Ψ
=
Ψ
=
Ψ
)
,
(
Y
)
(
R
)
,
,
(
m
l,
l
n,
m
l,
n,
ϕ
ϑ
ϕ
ϑ
⋅
=
Ψ
r
r
Funkcja
, która spełnia równanie Schrödingera, nosi nazwę
ORBITALU
ORBITAL ATOMU WODORU
= Funkcja falowa elektronu
w atomie wodoru
Orbitale atomu wodoru (1)
Poboczna liczba kwantowa
ma oznaczenia literowe:
g
f
f
unda-
mental
d
d
iffuse
p
p
rincipal
s
s
harp
4
3
2
1
0
l
l
l
l
Uwaga! Nie kryje się za tym Ŝaden głęboki sens, to
jest po prostu sposób na łatwiejsze pamiętanie ...
2
Orbitale atomu wodoru (2)
• Orbital 1s: n=1, l=0, m=0
)
,
(
Y
)
(
R
)
,
,
(
)
,
,
(
00
10
100
100
ϕ
ϑ
ϕ
ϑ
⋅
=
Ψ
=
Ψ
r
r
z
y
x
R( )
exp(
)
/
r
a
r
a
=
⋅
−
−
2
0
3 2
0
a
h
m e
pm
o
e
0
2
2
52 9
=
=
ε
π
,
0
1
2
3
4
5
r/a
0
r
2
R
2
1 s
Część radialna, R
1,0
(r)
E
1
= -13,6 eV
• Część kątowa
Orbitale atomu wodoru (3)
)
,
(
Y
00
ϕ
ϑ
ns
1s
Y( , )
/
ϑ ϕ
π
=
1 4
wykres łączy punkty o
jednakowej wartości
funkcji kątowej, czyli
jednakowej gęstości
prawdopodobieństwa
znalezienia elektonu
3
Orbitale atomu wodoru (4)
•
Orbital 2s: n=2, l=0, m=0
)
,
(
Y
)
(
R
)
,
,
(
)
,
,
(
00
20
200
200
ϕ
ϑ
ϕ
ϑ
⋅
=
Ψ
=
Ψ
r
r
z
y
x
0
5
10
r/a
0
r
2
R
2
2 s
R( )
(
) exp(
)
/
r
a
r
a
r
a
=
−
⋅
−
−
1
2
0
3 2
2
2
1
0
0
E
2
= -3,4 eV
Część radialna, R
2,0
(r)
• Część kątowa
Orbitale atomu wodoru (5)
)
,
(
Y
00
ϕ
ϑ
ns
2s
Y( , )
/
ϑ ϕ
π
=
1 4
E
2
= -3,4 eV
4
0
5
10
15
r/a
0
r
2
R
2
2 p
Orbitale atomu wodoru (6)
Orbitale 2p: n=2, l=1, m=0, ±1
Ψ
210
(x,y,z), Ψ
211
(x,y,z), Ψ
21,-1
(x,y,z) ; R
21
(r)
R
2,1
( )
exp(
)
/
r
a
r
r
a
=
⋅ ⋅
−
−
1
2 6
0
5 2
2
0
E
2
= -3,4 eV
Część radialna, R
2,1
(r)
Orbitale atomu wodoru (7)
)
,
(
Y
),
,
(
Y
),
,
(
Y
1
1
11
10
ϕ
ϑ
ϕ
ϑ
ϕ
ϑ
Y (
2p
1,0
z
ϑ ϕ
π
ϑ
, )
/
cos
=
3 4
Y
2p
1,1
x
( , )
/
sin cos
ϑ ϕ
π
ϑ
ϕ
=
3 4
Y
2p
1,-1
y
( , )
/
sin sin
ϑ ϕ
π
ϑ
ϕ
=
3 4
x
r
y
r
z
r
M
M
M
= ⋅
⋅
= ⋅
⋅
= ⋅
cos
sin
sin
sin
cos
ϕ
ϑ
ϕ
ϑ
ϑ
E
2
= -3,4 eV
5
Orbitale atomu wodoru (8)
orbitale np (2p)
m=0
m=1
m= -1
płaszczyzna
węzłowa
xy
płaszczyzna
węzłowa
yz
płaszczyzna
węzłowa
xz
x
y
z
np
z
x
y
z
np
x
x
y
z np
y
Orbitale atomu wodoru (9)
)
,
(
Y
)
(
R
)
,
,
(
)
,
,
(
00
30
300
300
ϕ
ϑ
ϕ
ϑ
⋅
=
Ψ
=
Ψ
r
r
z
y
x
•
Orbital 3s: n=3, l=0, m=0
0
5
10
15
20
25
r/a
0
r
2
R
2
3 s
R
3,0
( )
[
] exp(
)
/
r
a
r
a
r
a
r
a
=
⋅ − +
⋅
−
−
2
9 3
0
3 2
2
2
9
3
3
0
2
0
2
0
E
3
= -1,5 eV
Część kątowa
jest taka sama
dla wszystkich
orbitali ns
Część radialna, R
3,0
(r)
6
Orbitale atomu wodoru (10)
Orbitale 3p: n=3, l=1, m=0, ±1
Ψ
310
(x,y,z), Ψ
311
(x,y,z), Ψ
31,-1
(x,y,z) ; R
31
(r)
3p
z
, 3p
x
, 3p
y
R
3,1
( )
(
) exp(
)
/
r
a
r
a
r
a
=
⋅ −
⋅
−
−
4
27 6
0
5 2
3
3
2
0
0
0
5
10
15
20
25
r/a
0
r
2
R
2
3 p
Część radialna, R
3,1
(r)
Część kątowa
jest taka sama
dla wszystkich
orbitali np
E
3
= -1,5 eV
Orbitale atomu wodoru (11)
Orbitale 3d: n=3, l=2, m=0, ±1, ±2
Ψ
320
(x,y,z), Ψ
321
(x,y,z), Ψ
32,-1
(x,y,z), Ψ
322
(x,y,z),
Ψ
32,-2
(x,y,z) ; R
32
(r)
R( )
exp(
)
/
r
a
r
r
a
=
⋅ ⋅
−
−
1
81 30
0
7 2
2
3
0
0
5
10
15
20
25
r/a
0
r
2
R
2
3 d
Część radialna, R
3,2
(r)
E
3
= -1,5 eV
7
2
2
2
3
,
3
,
3
,
3
,
3
z
y
x
yz
xz
xy
d
d
d
d
d
−
Orbitale atomu wodoru (12)
część kątowa orbitali 3d
(
)
/
[ cos
]
3
45 16
3
1
2
2
d
z
Y ( , ) =
2,0
ϑ ϕ
π
ϑ
⋅
−
(
)
/
sin
cos
3
45 16
2
d
xz
Y ( , ) =
2,1
ϑ ϕ
π
ϑ
ϕ
⋅
(
)
( , )
/
sin
sin
3
45 16
2
d
yz
Y
2 1
ϑ ϕ
π
ϑ
ϕ
=
⋅
(
)
( , )
/
sin
cos
3
45 16
2
2
2
2
d
x
y
−
=
⋅
Y
22
ϑ ϕ
π
ϑ
ϕ
(
)
( , )
/
sin
sin
3
45 16
2
2
d
xy
Y
22
ϑ ϕ
π
ϑ
ϕ
=
⋅
Orbitale atomu wodoru (13)
część kątowa orbitali 3d
x
z
y
xz
d
3
x
z
y
xy
d
3
x
z
y
yz
d
3
x
z
y
2
2
3
y
x
d
−
x
z
y
2
3
z
d
8
Orbitale atomu wodoru (14)
część radialna
0
1
2
3
4
5
r/a
0
r
2
R
2
1 s
0
5
10
r/a
0
r
2
R
2
2 s
0
5
10
15
20
25
r/a
0
r
2
R
2
3 s
0
5
10
15
r/a
0
r
2
R
2
2 p
0
5
10
15
20
25
r/a
0
r
2
R
2
3 p
0
5
10
15
20
25
r/a
0
r
2
R
2
3 d
liczba maksimów części radialnej
orbitalu wynosi zawsze n-l;
wysokość maksimów rośnie z r
Orbitale atomu wodoru (15)
część kątowa
ns
x
y
z
np
z
x
y
z
np
x
x
y
z
np
y
płaszczyzna xz
płaszczyzna xy,
na osiach
płaszczyzna xy
płaszczyzna yz
oś z,
w płaszczyźnie xy
9
Weryfikacja modelu
energie w atomie wodoru
Widmo emisyjne wodoru składa się z serii:
(
)
ν
q n
q n
H
n
q
E
h
R
−
−
=
=
−
1
1
2
2
gdzie:
n
- jest numerem kolejnej serii i najniŜszego
poziomu w danej serii
q
- jest numerem wyŜszego poziomu
R
H
- stałą Rydberga
Poziomy energetyczne w atomie a widmo
promieniowania wodoru
<<<<
÷
÷
÷
÷
n = 3
n = 4
n = 7
n = 1
n = 2
Poziomy energetyczne w atomie wodoru, wynikające z
rozwiązania równania Schrödingera
E
1
E
2
E
3
E
4
E
7
<
1
<
2
<
3
<
4
<
7
21
1
2
1
E
E
E
h
∆
=
−
=
ν
31
1
3
2
E
E
E
h
∆
=
−
=
ν
41
1
4
3
E
E
E
h
∆
=
−
=
ν
71
1
7
6
E
E
E
h
∆
=
−
=
ν
10
Degeneracja energii w atomie wodoru
Jeśli jednej wartości energii odpowiada kilka funkcji
własnych (orbitali), to mówimy, Ŝe ten poziom jest
zdegenerowany:
1s
1
2s
2p
x
2p
y
2p
z
4
3s
3p
x
3p
y
3p
z
xy
d
3
2
2
3
y
x
d
−
2
3
z
d
xz
d
3
yz
d
3
9
dla n=4 jest 1+3+5+
7
=
16 funkcji
dla n=5 jest 1+3+5+7+
9
=
25 funkcji
dla dowolnego n jest 1+3+5+7+
9...
=
n
2
funkcji
Degeneracja energii w atomie wodoru
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
s
s
p
p
p
s
p
p
p
d
d
d
d
d
x
y
z
x
y
z
xy
xz
yz
z
x
y
1
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
2
2
2
<
=
=
=
<
=
=
=
=
=
=
=
=
−
Cofnięcie degeneracji moŜe zachodzić (częściowo
lub całkowicie) w silnym polu :
- elektrycznym (efekt Starka)
- magnetycznym (efekt Zeemana)
Cofnięcie degenracji moŜna obserwować w widmie
emisyjnym lub absorpcyjnym
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
s
s
p
p
p
s
p
p
p
d
d
d
d
d
x
y
z
x
y
z
xy
xz
yz
z
x
y
1
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
2
2
2
<
<
=
=
<
<
=
=
<
=
=
=
=
−
11
Cofnięcie degeneracji =
rozszczepienie poziomów energii
2s
3s
3p
x
3p
y
3p
z
1s
1
2p
x
2p
y
2p
z
3
xy
d
3
2
2
3
y
x
d
−
2
3
z
d
xz
d
3
yz
d
3
5
Jeśli elektron w atomie wodoru posiada najniŜszą
moŜliwą energię, to jego stan opisuje orbital 1s
Nawet poziomy 1s, 2s, .. mogą być
rozszczepione !
1s
w polu elektrycznym
i magnetycznym
Elektron zachowuje sie tak, jakby posiadał
"wewnętrzny moment pędu„
Ta własność elektronu nosi nazwę
spinu
(Dirac 1928)
Wartość spinu dla elektronu wynosi zawsze 1/2
s
m
s
=
= − +
1
2
1
2
1
2
,
12
Stan elektronu w atomie wodoru
Ψ
Ψ
Φ
n l m
s,m
n l m
s,m
n l m s,m
(x,y,z)
(x,y,z)
(x,y,z)
spinorbital
s
s
s
, ,
, ,
, , ,
- orbital +
- funkcja spinowa
-
σ
σ
⋅
=
Do określenia stanu elektronu w atomie wodoru
niezbędna jest znajomość 4 liczb (bo spin jest stały) -
n, l, m i m
s
W stanie podstawowym (minimum energii) stan
elektronu w atomie wodoru określa orbital 1s
(n=1, l=0, m=0, s=1/2, m
s
=±1/2)
Jony wodoropodobne
....
,
,
,
,
5
4
3
+
+
+
+
+
+
C
B
Be
Li
He
T
p
m
=
2
2
jak w atomie
wodoru
V
= −
⋅
Z
e
r
o
2
1
4
πε
gdzie Z - liczba
protonów w
jądrze
E
m
e
const
e
o
= −
=
π
ε
Z
2
4
2
2 h n
n
2
2
'
Wyniki:
orbitale jak w atomie wodoru,
energia uwzglednia wyŜszy ładunek jądra
M, M
z
, s, m
s
jak w atomie wodoru