1.Definicja  zbioru ograniczonego 
Mówimy, ze zbiór A jest ograniczony od góry witw gdy istnieje liczba       takie, że                
Mówimy, ze zbiór A jest ograniczony od dołu witw gdy istnieje liczba       takie, że               
Zbiór A jest ograniczony od góry i od dołu witw gdy istnieje                         
2.Ciąg nieskończony  
Funkcja, która jest określona w zbiorze liczb naturalnych.                  
3. Ciąg monotoniczny 
Mówimy, że ciąg   

 

 

   

   

 

    jest ciągiem monotonicznym witw gdy jest spełniona jedna z 4 własności: 

         

 

     

   

    , :          

 

     

   

         , :          

 

     

   

   , :          

 

     

   

         

3.Granice ciągu        

   

   

 

 

                    

 

        

 

  

 

                 

   

   

 

 

                     

 

        

 

  

 

    

   

   

 

 

                      

  

       

 

  

 

    

Liczba g jest punktem skupienia ciągu witw gdy istnieje podciąg tego ciągu taki, że jego granica jest liczba g. 
4.Ciąg zbieżny 
Mówimy, że ciąg   

 

 

    

jest zbieżny witw gdy istnieje skończona granica tego ciągu      . 

Ciąg zbieżny jest ograniczony jeżeli    

   

 

 

    ,      , to istnieje liczba       takie, że   

 

     .  

5. Tw. o 3 ciągach  
Jeżeli dla ciągu  

 

   

 

   

 

istnieje 

 

 

          

 

  

 

   

 

   

 

 i 

   

   

 

 

     

   

 

 

         , to 

   

   

 

 

    

6. Szereg liczbowy 
Szeregiem  

 

 

 

   

 nazywamy ciąg sum częściowych 

 

 

   

 

   

 

       

 

 

Mówimy, że szereg  

 

 

 

   

jest zbieżny witw gdy ciąg  

 

 jest zbieżny tzn. istnieje skończona granica ciągu  

 

 i  

   

   

 

 

       . 

7.Kryt. Da lamberta 
Jeżeli dla szeregu  

 

 

 

   

, 

 

 

    istnieje    

   

 

   

 

 

    , to jeżeli       to szereg jest zbieżny, a jeżeli  

     to szereg jest rozbieżny, dla       nie ma tezy. 
8.Kryt. Cauchy ’ego 
Jeżeli dla szeregu  

 

 

 

   

, 

 

 

    istnieje    

   

  

 

 

    , to jeżeli       to szereg jest zbieżny, a jeżeli  

      to szereg jest rozbieżny, dla       nie ma tezy. 
9.Szereg bezwzględnie zbieżny 
Mówimy, że szereg  

 

 

 

   

, 

 

 

    jest bezwzględnie zbieżny witw, gdy szereg  

  

 

 

 

   

 jest zbieżny. 

10. Szereg naprzemienny 
Mówimy, że szereg  

    

   

 

 

 

   

 jest szeregiem przemiennym witw gdy: 

 

 

   ,    

   

 

 

    i  

 

 

  

   

 

11.Tw. Leibniza  
Szereg przemienny jest zbieżny i jego suma S spełnia nierówność 

 

 

   

 

       

 

 

12. Iloczyn szeregów w sensie Cauchy ‘ego 
C

n

   

 

   

 

 

 

   

 

13.Definicja iloczynu wektorowego 

       

 

   

 

                       

 

 

14.Definicja iloczynu mieszanego 

       

 

   

 

   

 

                                

15.Definicja granicy funkcji  Cauchy ’ego  
Liczbę g nazywamy granicą funkcji w punkcie  

 

, jeśli: Dla każdego otoczenia wartości funkcji g znajdziemy 

takie otoczenie argumentu funkcji 

 

 

, że odpowiadające im otoczenie wartości zawiera się w tym ustalonym 

otoczeniu wartości funkcji g.     

   

 

                                    

 

                       

16. Definicja granicy funkcji Heinego 
Niech

        . Mówimy, że liczba g jest granicą funkcji f w punkcie a, gdy dla każdego ciągu   

 

  takiego, 

że  

 

          

   

 

 

    ciąg      

 

   jest zbieżny do g. 

17. Definicja granicy funkcji 
Funkcja posiada granice w punkcie 

 

 

 należącym do R witw gdy istnieje granica prawo i lewo stronna i są one 

sobie równe. 
18. Tw. o wł. arytmetycznych granicy funkcji 
Zał.:                    

   

   

 

                   

   

 

             

Teza: 

      

   

 

                      ,       

   

   

 

             ,     

   

 

                  

19. Ciągłość funkcji-możemy mówić gdy określone są otoczenia.          

 

        

  

         

 

      

 

. 

Mówimy, że funkcja f jest ciągła w punkcie  

 

 witw gdy: istnieje 

   

 

 , istnieje    

   

 

    ,    

   

 

      

   

 

  .Warunek na ciągłość w punkcie 

   

   

 

           

 

       

Mówimy, że funkcja f jest ciągła w zbiorze       witw gdy jest ciągła          
Mówimy, że funkcja f            jest ciągła w (a,b) witw gdy: jest ciągła w (a,b),    

   

 

            -

prawostronnie ciągła w punkcie a,    

   

 

            –lewostronnie ciągła w punkcie b. 

20. Twierdzenie Darboux 
Jeżeli f jest ciągła w [a,b]                                lub                 to istnieje            takie, że 
          
21.Własnosci funkcji ciągłych. 
Złożenie, suma, iloczyn, iloraz(bez miejsc zerowych mianownika) funkcji ciągłych jest funkcja ciągłą. 
22.Definicja pochodnej 
Jeżeli istnieje skończona granica ilorazu różnicowego to tę granice nazywamy pochodna funkcji w punkcie  

  

   

   

   

 

          

 

 

     

 

   

 

    

Jeżeli funkcja posiada pochodną w punkcie jest ciągła. 
23.Funkcja różniczkowalna  
                                         
              Mówimy, że funkcja jest różniczkowalna w przedziale otwartym witw gdy jest różniczkowalna w 
każdym miejscu tego przedziału. 
             Mówimy, że funkcja jest różniczkowalna w przedziale domkniętym witw z definicji gdy jest: 
różniczkowalna w (a,b), istnieje  

 

 

   , istnieje  

 

 

      

24.Twierdzenie Rolle ’a 
Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale [a,b] i różniczkowalna w (a,b),            , to istnieje            , 
takie, że f ’(c)=0. 
25.Twierdzenie Lagrang ’a (o przyrostach) 
Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale [a,b] i różniczkowalna w (a,b),            , to istnieje            , 
takie, że  

         

   

     

 

    

26.Twierdzenie Cauchy ‘ego 
Jeżeli funkcja f,g są ciągłe w przedziale [a,b] i różniczkowalne w (a,b), to istnieje            , takie, że 
 

 

 

                    

 

                 

27.Twierdzenie de ’L’ Hospitala 
Jeżeli    

   

 

    

    

  jest postaci 

 

 

     

 

 

 i istnieje    

   

 

     

     

 , to istnieje 

   

   

 

    

    

  i granice te są równe. 

28.Twierdzenie Taylora 
Jeżeli funkcja f posiada w przedziale [ 

 

   

 

   ] pochodne f’, f’’, f’’’ … f 

n

  to wewnątrz tego przedziału istnieje 

punkt c postaci 

     

 

                  

29. Asymptoty pionowe  
Prostą 

      nazywamy asymptotą pionowa lewostronną funkcji f, gdy     

   

 

          lub 

   

   

 

         ,  prawostronną, gdy    

   

 

           lub    

   

 

         , obustronną gdy jest 

ona równocześnie asymptota pionowa lewo i prawo stronna. 
30. Asymptoty poziome  

Prostą 

      nazywamy asymptotą poziomą funkcji f, gdy     

    

         lub    

    

         . 

31. Asymptoty ukośne  
Mówimy, że funkcja f określona w przedziale         posiada asymptotę ukośną w           prawostronną witw 
gdy istnieje funkcja linowa y=ax+b i funkcja 

         takie że                   gdy    

    

          

Funkcja  f(x) posiada asymptotę ukośną 

   (  ) witw gdy istnieją skończone granice         

    

    

 

 

       

    

            

32.Definicja ekstremum 
Mówimy, że funkcja f posiada w punkcie  

 

 maksimum lokalne [minimum lokalne] witw gdy istnieje otoczenie 

(

   punktu  

 

 takie że,                     

 

             

 

     

Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w punkcie  

 

 i w tym punkcie posiada ekstremum to 

 

 

  

 

      

Funkcja może posiadać ekstremum w punkcie gdzie pochodna się zeruje lub nie ma pochodnej.  
Jeżeli funkcja f w punkcie  

 

 zmienia monotoniczność to  w tym punkcie posiada ekstremum. 

33.Wklęsłość i wypukłość funkcji 
Mówimy że funkcja f jest wypukła(wklęsła) w punkcie  

 

 witw gdy w otoczeniu punktu 

 

 

 wykres funkcji 

znajduje się nad (pod)  styczną poprowadzoną w punkcie   

 

  

Jeżeli funkcja f w punkcie  

 

 zmienia wypukłość to mówimy, że  w punkcie 

  

 

     

 

  występuje punkt 

przegięcia. 
Twierdzenia: 
Jeżeli  

 

   

 

      to funkcja jest wypukła w punkcie  

 

 Jeżeli 

 

  

  

 

      to funkcja jest wklęsła w punkcie  

 

 

Jeżeli  

  

  

 

      to w punkcie  

 

 jest punkt przegięcia 

34.Definicja całki 
Funkcje 

     określoną na przedziale A nazywamy funkcją pierwotną funkcji f(x) określonej na przedziale A 

witw, gdy dla każdego        

 

            

          nazywamy zbiór wszystkich funkcji pierwotnych. 
35. Twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie  
         
Jeżeli funkcja      jest różniczkowalna w przedziale A i odwzorowuje przedział A na przedział T, funkcja      
jest całkowalna na przedziale T to calka           

 

                                             

36. Twierdzenie o całkowaniu przez części  
Co to znaczy scałkować przez części: 1.Podzielić funkcje na iloczyn, 2.Scałkować jedną cześć druga pozostaje 
bez zmian, 3.Odjąć całkę z funkcji scałkowanej razy pochodna drugiej funkcji. 
37.Twierdzenie funkcje wymierne? 
Każdą funkcje wymierną da się przedstawić w sposób jednoznaczny w postaci sumy wielomianu i sumy 
ułamków prostych. 
 
38.Kombinacja liniowa 
     

 

      

 

        

 

         Mówimy, że     jest zależny liniowo od  

 

      

 

         

 

    witw        

 

    

 

        

 

 

Mówimy, że elementy przestrzeni liniowych  

 

      

 

          

 

    są liniowo zależne witw gdy co najmniej jeden z nich 

jest zależny liniowo od pozostałych. 
Mówimy, że elementy przestrzeni liniowych  

 

      

 

          

 

    są liniowo niezależne witw gdy żaden z nich nie jest 

zależny liniowo od pozostałych. 
39.Baza przestrzeni liniowej  
Bazą przestrzeni liniowej x nazywamy zbiór wektorów tej przestrzeni spełniających warunki: liniowo 
niezależne, linY=X-linY cała przestrzeń X. 
40.Macierz 
Macierz wymiaru 

      gdzie          to prostokątna tablica złożona z        liczb rzeczywistych ustawiona 

na n kolumnach i m wierszach. 
41.Odwzorowanie liniowe 

 

 

   

 

 

 

 

                

 

 

 

 

       

41.Odwzorowanie macierzy 

Jeżeli dla macierzy kwadratowej A odwzorowanie  

 

 jest różnowartościowe czyli istnieje  

 

  

 to 

 

 

  

 jest 

odwzorowaniem postaci 

 

 

 i wtedy macierz B nazywamy macierzą odwrotną do macierzy A i oznaczamy ja 

przez A

-1

  

 

 

  

   

 

                

42.Twierdzenie Laplace ’a  
 

        

        

  

 

  

       

  

 

  

 

 

        

        

  

 

  

       

  

 

  

 

 

  

      

   

 

  

 

 

  

 -minor macierzy powstałej z macierzy A przez wykreślenie l-tego wiersza i k-tej kolumny. 

Macierz jest odwracalna witw gdy jej wyznacznik jest rożny od 0. 
43.Wyznacznik macierzy własności 
Wyznacznik macierzy diagonalnej jest iloczynem wyrazów głównej przekątnej, wyznacznik macierzy, w której 
jeden wiersz lub kolumna składa się z samych zer jest równy 0 ,wyznacznik macierzy jest równy wyznacznikowi 
jej macierzy transponowanej, jeśli w macierzy 2 wiersze lub 2 kolumny są identyczne lub proporcjonalne to jej 
wyznacznik jest równy 0. 
44.Rząd macierzy 
Rzędem macierzy nazywamy : liczbę 0 gdy macierz jest zerowa, liczbę r równą najwyższemu ze stopni jej 
minorów. Własności: Rząd macierzy nie ulega zmianie jeżeli pomnożymy kolumnę lub wiersz przez liczbę 
różną od 0. Jeżeli przestawimy 2 kolumny macierzy. Jeżeli dopiszemy lub skreślimy kolumnę 0. Jeżeli dodamy 
do dowolnego wiersza n-ty wiersz(k-tą kolumnę) pomnożony przez jakąś liczbę. Jeżeli rząd macierzy wynosi k 
to wśród kolumn tej macierzy istnieje k kolumn liniowo niezależnych a nie istnieje k+1 kolumn liniowo 
niezależnych. Rząd macierzy- wymiar przeciwdziedziny odwzorowania liniowego. 
45.Twierdzenie Cramera 
Układ równań Cramera posiada dokładnie 1 rozwiązanie i dane jest wzorem 

     

  

  lub rozwiązanie to 

można uzyskać przy pomocy wzorów Cramera. 
46.Twierdzenie Kronekera-Capelliego 
Układ równań posiada rozwiązanie witw gdy rząd macierzy A równa się rzędowi macierzy uzupełnionej. Tw. 
Jeżeli rz.A=rz.U=n to układ równań posiada dokładnie 1 rozwiązanie. Jezeli rzA=rzU=k<n to układ równań 
posiada n-k parametrową rodzinę rozwiązań. 1.Pozostawiamy te równania ktorych współczynniki przy 
niewiadomych tworzą minor realizujący rząd. 2.Po lewej stronie zostawiamy te niewiadome, przy ktorych 
współczynniki występują w minorze realizującym rząd. 3.Niewiadome po prawej stronie traktujemy jak 
parametry. 
47.Układ jednorodny 
Układ równań w którym kolumna wyrazów wolnych jest zerowa. Każdy taki układ ma jedno rozwiązanie.