ELEMENTY TEORII BŁEDÓW POMIARÓW

Każdy pomiar wielkości fizycznej wymaga oszacowania  błędu, którym jestobarczony wynik tzn.
podania   z   jaką  dokładnością  dana   wielkość  została   wyznaczona.   Obowiązuje   nas   to   także   w
laboratorium. W procesie pomiaru można wyróżnić trzy etapy:
1.  wyznaczenie szukanej wielkości fizycznej,
2.  określenie błędu pomiaru,
3.  podanie przypuszczalnych przyczyn błędów.
Ogólnie błędy dzielimy na:

•

  błędy grube  wynikłe z nieuwagi i z pomyłek eksperymentatora ( np. przy odczycie lub w
zapisie wyniku). Często są jednorazowe i mogą być bardzo duże.

•

 błędy systematyczne wynikłe ze złego (mało dokładnego) ustawienia samego eksperymentu(nie
uwzględnienie pewnych poprawek np. siły wyporu powietrza przy dokładnym ważeniu), wad
urządzeń  pomiarowych   (przykładem   może   być    źle   wyskalowany   przyrząd),   ze   stanu
zewnętrznych warunków pomiaru (np. zbyt wysoka temperatura w pomieszczeniu) jak i z błędu
eksperymentatora (np. znany błąd paralaksy). Błąd systematyczny charakteryzuje się  stałą  lub
zmieniającą się według określonego prawa odchyłką wartości wyznaczanej w doświadczeniu w
porównaniu z wielkością rzeczywistą. Przyczyny błędów systematycznych mogą być poznane i
usunięte.

•

  błędy   przypadkowe  wynikłe   z   niedokładności   odczytu,   fluktuacji   warunków   pomiaru,   z
nieokreślenia samej mierzonej wielkości fizycznej itd. Błędy te odznaczają  się  tym, że w serii
pomiarów jednego i tego samego stanu danej wielkości fizycznej wykonywanej w określonych
warunkach,   wyniki   zmieniają  się  w   sposób   losowy  (przypadkowy).  Nie   można   ich   uniknąć
(usunąć), gdyż  nie znamy ich przyczyn.  Nie można więc wykonać  bezbłędnego wyznaczenia
wielkości fizycznej - pomiaru absolutnie dokładnego.

Ze względu na źródła ich powstania rozróżniamy następujące rodzaje błędów pomiarowych:
1.   błędy   powodowane   przez   przyrządy   pomiarowe,   np.   skończona   rezystancja   wewnętrzna

woltomierzy,   nieliniowość  wskazań  przyrządów   pomiarowych   lub   niedoskonałość  ich
wzorcowania,

2.  błędy powodowane przez metody pomiarowe,
3.  błędy powodowane przez mierzącego, np. brak doświadczenia, skłonności, zmęczenie,  nawyki,
4.   błędy  powodowane   przez   obliczenia   -  błędy  przy  niewłaściwym  zaokrągleniu,   niewłaściwe

metody wyrównywania błędów,

5.  błędy powodowane przez wpływ otoczenia na mierzącego, na przyrządy i na mierzoną wielkość.

Czynniki   wywołujące   te   błędy   to   temperatura,   ciśnienie,   wilgotność  powietrza,   zakłócenia
elektromagnetyczne.

W   naszym   laboratorium   przy   prowadzeniu   obliczeń   zakładamy,  że   nie   występują  błędy
systematyczne. Rachunek błędów będzie się sprowadzał do określenia tylko błędów przypadkowych
(Co nie oznacza, że w rzeczywistości błędy systematyczne nie występują).
Znane są pojęcia :
1)  błędu bezwzględnego 

∆

X definiowanego jako różnica wyniku X i wartości rzeczywistej X

R

.

 

∆X = X – X

R

(1)

2)  błędu względnego 

δ

x

 definiowanego jako stosunku błędu bezwzględnego 

∆

X do wartości 

rzeczywistej.

 δ

x

 = 

∆X / X

R

 =X / X

R

 – 1

(2)

 
Pojęcie wartości rzeczywistej jest tu czysto teoretyczne, gdyż praktycznie nie znamy jej. Powyższe
pojęcia są  więc dla nas  bezużyteczne. W  oparciu  o  statystyczną  teorię  błędów  przypadkowych
można jednak oszacować przybliżone wartości tych błędów, a tym samym dokładność otrzymanych

wyników pomiarowych. Te przybliżone wartości błędów noszą  nazwę  wskaźników dokładności
pomiarów.

1. Błędy przypadkowe w pomiarach bezpośrednich

Probabilistyczna teoria błędów Gaussa

Z jednego pomiaru nie możemy wnioskować o jego dokładności. Do tego konieczna jest ich seria.
Otrzymujemy ją  przez kilkukrotne, niezależne powtórzenie rozpatrywanego pomiaru. Wyniki w
serii będą różnić się losowo. Oznaczmy je X

1

,X

2

,X

3

, ....... X

N

  

gdzie N jest ilością powtórzeń pomiaru

w serii i powinna wynosić przynajmniej 10. Wartości rzeczywistej nie znamy. Ale z serii pomiarów
wartością najbardziej zbliżoną do wartości rzeczywistej jest średnia arytmetyczna:

X =

1 
N

∑

i

=1 

N

X

i

(3)

Jest to podstawowe twierdzenie teorii błędów tzw. pierwszy postulat Gaussa. Wynika on z faktu
równości prawdopodobieństw tak zawyżenia wielkości mierzonej jak i jej zaniżenia. Tym samym
błędy powinny kompensować  się. Jednak przy skończonej ilości pomiarów, może się  zdarzyć,  że
wyniki nie rozłożą  się  równomiernie wokół  wartości rzeczywistej. Tym samym wartość średnia

X  jest jedynie blisko położona wielkości rzeczywistej X

R

 

, ale nie równa jej. Zbliżenie to jest tym

lepsze im dłuższa jest seria pomiarowa. Równość   

X

= X

R

 

moglibyśmy napisać  tylko dla serii

nieskończenie długiej pomiarów, ale przecież  wykonanie takiej serii jest praktycznie niemożliwe.
Wyniki pomiarów w serii rozkładają się wokół wartości średniej w tzw. krzywą Gaussa - mówi się
o rozkładzie Gaussa. Aby się o tym przekonać należy zakres pomiarowy podzielić na przedziały o
równej szerokości 

∆X i obliczyć ile pomiarów z serii zmieściło się w każdym z nich (rys. 1).

Rys.1. Rozkład Gaussa.

Oczywiście zwiększając  N  możemy pozwolić  sobie na zmniejszenie szerokości poszczególnych
schodków   rozkładu,   ale   nadal   zachowa   on   charakter   dyskretny.   Obwiednia   dzwonowa
poprowadzona po środkach schodków jak na rys. 1 jest pewnym wyidealizowaniem - pokazuje jak

rozkład normalny wyglądałby gdyby był funkcją ciągłą (dla N = 

Ą ). Taka postać łatwiej poddaje się

analizie matematycznej i dlatego często jest stosowana, ale nigdy nie należy zapominać, że realny
rozkład   normalny   ma   strukturę  ziarnistą.   Ciągły   rozkład   Gaussa   jest   następującą  funkcją
matematyczną:

P

 X =

1 

⋅



2



e

− X − X 

2

2 

⋅

2

(4)

przy   czym   parametr  

 

σ zwany   odchyleniem   standardowym   określa   rozmycie   rozkładu   wokół

wartości średniej.
Kształt krzywej Gaussa, zwanej również  krzywą  dzwonową, bardzo silnie zależy od odchylenia
standardowego  

σ.   Na   rys.   2   pokazano   przebiegi   krzywej   Gaussa   dla   kilku   różnych   wartości

odchylenia   standardowego.   Im   większe   jest   odchylenie   standardowe,   tym   bardziej   płaska   jest
krzywa; dla bardzo małych odchyleń  standardowych krzywa jest bardzo stroma i odchylenia od
wartości oczekiwanej są bardzo małe. Zauważmy, że na krzywej Gaussa można wyróżnić obszary o
przeciwnie skierowanej krzywiźnie. W okolicy maksimum  krzywa jest wypukła, a daleko poza
maksimum staje się krzywą wklęsłą. Oczywiście obszary takie są oddzielone punktami przegięcia.
Odpowiadają one punktom  

X

−  i  X 

 

na osi odciętych.

Rys. 2. Przebieg krzywej ciągłego rozkładu normalnego w zależności od odchylenia standardowego.

Ponieważ  rozkład   Gaussa   opisuje   zjawisko   probabilistyczne,   a   więc   można   określić  jedynie
prawdopodobieństwo, że dowolny wynik pomiaru X

i 

(i=1,2,3....N) znajdzie się w aktualnie

interesującym nas przedziale wartości < X

a 

, X

b 

>. I tak np.:

W przedziale < 

X

− ,  X  >

 

mieści się 68,26% wyników z serii.

W przedziale <

X −2

, 

X 2

> mieści się 95,45% wyników z serii.

W przedziale < 

X

−3 ,  X 3 >

 

mieści się 99,73% wyników z serii.

Często operuje się  prawdopodobieństwem, z jakim w zadanym przedziale znajdzie się  dowolny
pomiar z serii. Prawdopodobieństwo to nazywa się  poziomem ufności, a przedział  przedziałem
ufności.
Odchylenie standardowe w teorii błędów nazywa się średnim błędem kwadratowym i oblicza się go
z wyrażenia:

=



∑

i

=1 

N

 X

i

− X 

2

 N −1 

(5)

Występujący w tym wyrażeniu czynnik N – 1 można uzasadnić w ten sposób, że ponieważ część
informacji   zawartej   w   serii   je  X

1

,X

2

,X

3

,   .......   X

N   

została   wykorzystana  do   określenia   wartości

średniej   

X   , uśrednianie związane z odchyleniem standardowym następuje z mniejszą  liczbą

punktów swobody i stąd podzielenie przez N – 1 zamiast przez N.
Najczęściej wyznaczany jest jednak jako optymalny średni błąd kwadratowy 

 

σ (wzór 5), a z niego

średni błąd kwadratowy wartości średniej:



X

=





N

(6)

Z wzorów 5 i 6 otrzymujemy wyrażenie:

=



∑

i

=1 

N

 X

i

− X 

2

N

⋅ N −1 

(7)

Błąd  średni kwadratowy jest najważniejszym i najczęściej stosowanym wskaźnikiem dokładności
pomiaru. Dzieje się tak dlatego, że jest to błąd policzony optymalnie - najdokładniej z danej serii
pomiarowej.
Prawdopodobieństwo, że dany pomiar z serii pomiarowej znajdzie się w przedziale
  < 

X

− ,   X  >   wynosi   0,683.   W   interpretacji   graficznej   prawdopodobieństwu   temu

odpowiada pole pod krzywą  Gaussa odcięte tym przedziałem przy założeniu,  że pole pod całą
krzywą równa się jeden. Przedstawia to rys. 3ab. W eksperymencie oczywiście chcielibyśmy, żeby
błąd   wyniku   (przedział  ufności)   był  jak   najmniejszy   przy   możliwie   dużym   wyżej   opisanym
prawdopodobieństwie (poziomie ufności).
Analizując kształt krzywej dzwonowej dochodzimy do wniosku, że optymalność przedziału    
< 

X

− ,  X  >, wynika z faktu, że jest on wyznaczony przez punkty przegięcia krzywej.

Gdybyśmy chcieli sztucznie zmniejszyć ten przedział ufności do < 

X

−d ,  X d >

 

, (rys. 3c),

to  znacznie  stracimy  na  poziomie  ufności  (o  pole  pod  krzywą  Gaussa  odcięte   przedziałami
< 

X

− , X −d >,   < X d , X  >   które   jest   duże,   bo   na   tych   odcinkach   krzywa

dzwonowa jest wypukła). Gdybyśmy z kolei chcieli sztucznie podnieść poziom ufności (rys. 3d), to
jest to możliwe tylko przez znaczne poszerzenie tego przedziału ufności do < 

X

−c ,  X c >,

gdyż pola pod krzywą w przedziałach oddalonych od średniej  

X  dalej niż o 

 

σ wnoszą już mały

wkład do poziomu ufności.

Rys. 3. Interpretacja graficzna przedziałów ufności i poziomów ufności p oraz

współzależność między nimi.

2. Błędy przypadkowe w pomiarach pośrednich

Załóżmy, że chcemy wyznaczyć pewną wielkość fizyczną A, ale nie możemy jej zmierzyć
bezpośrednio. Wiemy natomiast, że jest ona związana z K innymi wielkościami fizycznymi X

1 

, X

2

,...X

K , 

które można już zmierzyć bezpośrednio, następującą zależnością:

A = f(X

1

, X

2

, ..., X

K

)

(8)

Po wykonaniu pomiarów wyniki i błędy pomiarowe wielkości  X

1  

, X

2  

,...X

K 

są  znane i wynoszą

odpowiednio:



X

1

± 

X

1

 



X

2

± 

X

2

  ..................



X

K

± 

X

K

Wynikową wartość wielkości A łatwo jest znaleźć z zależności 8:

A= f  

X

1

, 

X

2

,... , 

X

K



(9)

Podstawowe pytanie brzmi jakim błędem 

∆A obarczony jest w ten sposób otrzymany wynik. Można

zaproponować następujące metody postępowania:
1. Jeżeli  ∆ 

X

i

 

( i = 1,2,...,K ) są średnimi błędami kwadratowymi 





X

i

wartości średnich X

i 

,

to otrzymujemy optymalnie znaleziony średni błąd kwadratowy z wyrażenia:



A

i

=



[

 A

 X

1





X

1

]

2

[

 A

 X

2





X

2

]

2

...[

 A

 X

K





X

K

]

2

(10)

Prawdopodobieństwo  znalezienia   się  rzeczywistej   wartości  wielkości  fizycznej  A

R 

w  przedziale

<

A−

A

, 

A

A

>

 

, wynosi 0,683.

2.  Jeżeli   błędy   ∆ 

X

i

 

są  błędami   granicznymi   (maksymalnymi)   ∆ 

X

i max

,   to   w   najmniej

korzystnym przypadku otrzymujemy błąd maksymalny pomiaru:

 

A

gr

=∣

 A

 X

1

 

X

1 max

∣∣

 A

 X

2

 

X

2 max

∣...∣

 A

 X

K

 

X

Kmax

∣

(11)

Prawdopodobieństwo znalezienia wartości rzeczywistej A

R

 

w przedziale

<

A− 

A

gr

, 

A 

A

gr

>  wynosi 0,999.

3.  Jeżeli   błędy  

 

∆ 

X

i

są  błędami   granicznymi   (maksymalnymi)   ∆ 

X

i max

to   w   najbardziej

prawdopodobnym   przypadku   (optymistyczniejszym   w   porównaniu   z   przypadkiem   poprzednim)
otrzymamy   nieco   mniejsze   prawdopodobieństwo   (w   przybliżeniu   0,95)   znalezienia   wartości
rzeczywistej

 

A

R

, ale i w mniejszym przedziale ufności:

S

A

=



[

 A

 X

1

 

X

1 max

]

2

[

 A

 X

2

 

X

2 max

]

2

...[

 A

 X

K

 

X

Kmax

]

2

(12)

Jest   to   tzw.   metoda   różniczki   zupełnej   stosowana   często,   gdy   błędy   ∆ 

X

i max

 

są  błędami

szacowanymi   przy   pomiarach   jednorazowych,   np.   na   podstawie   dokładności   skali   przyrządu
pomiarowego, a zależy nam na zminimalizowaniu błędu wyniku końcowego.
Prawidłowo przeprowadzony rachunek błędów, automatycznie odpowiada na pytania:

•

  które wielkości fizyczne (pośród  X

i  

) należy zmierzyć  z większą  dokładnością, jeśli chce się

uzyskać mniejszy błąd na wielkości wynikowej A;

•

 który z błędów  ∆ 

X

i

 

wnosi największy wkład do błędu  ∆ A .

Otrzymane   wnioski   są  więc   ważne   i   pouczające,   pozwalając   na   ewentualne   powtórzenie
doświadczenia z mniejszym błędem.

L i t e r a t u r a

[1] J. Kilias, T. Kostrzyński, S. Wojciechowski.: Podstawy fizyki dla studentów informatyki, WAT,
Warszawa 2000.
[2] Reif E.: Fizyka statystyczna, PWN, Warszawa 1975.