ALGEBRA – ZAJĘCIA 3 
Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A nazywamy liczbę : 

 gdzie k 

oznacza liczbę inwersji w permutacji 

 ciągu liczb naturalnych 1, 2, …, n a sumowanie przebiega 

po wszystkich permutacjach. 
Macierz, której wyznacznik jest równy zero, nazywamy macierzą osobliwą natomiast jeżeli wyznacznik jest 
różny od zera, to wtedy mówimy o macierzy nieosobliwej.  

Minor 

ij

M

 wyznacznik macierzy powstałej z macierzy kwadratowej A poprzez wykreślenie i-tego wiersza i 

j-tej kolumny z macierzy A. 

Dopełnieniem algebraicznym 

ij

D

nazywamy iloczyn 

ij

j

i

M

)

1

(

 

UWAGA: Wyznacznik liczymy tylko dla macierzy kwadratowych. 
TW. LAPLACE’A 
Wyznacznik jest równy sumie wszystkich iloczynów każdego elementu dowolnego wiersza (kolumny) i 
odpowiadającego temu elementowi dopełnienia algebraicznego, tzn. 

in

in

i

i

i

i

D

a

D

a

D

a

A

...

det

2

2

1

1

,   

n

i

1

 

WŁASNOŚCI WYZNACZNIKÓW 

1)  Jeżeli jakikolwiek wiersz (kolumna) wyznacznika składa się z samych zer, to wyznacznik jest równy 

zero. 

2)  Wyznacznik macierzy równy jest wyznacznikowi macierzy transponowanej. 
3)  Przestawienie dwóch wierszy (kolumn) w macierzy powoduje zmianę znaku jej wyznacznika. 
4)  Wyznacznik macierzy o dwóch jednakowych (proporcjonalnych) wierszach (kolumnach) jest równy 

zeru. 

5)  Wartośd wyznacznika nie ulegnie zmianie, jeżeli do dowolnego wiersza (kolumny) dodamy 

odpowiadające elementy innego wiersza (kolumny) pomnożone przez dowolną liczbę. 

Przekształceniami elementarnymi macierzy nazywamy następujące działania: 

a)  pomnożenie wszystkich elementów dowolnego wiersza (kolumny) przez liczbę różną od zera, 
b)  zamianę miejscami dwóch dowolnych wierszy (kolumn) macierzy, 
c)  dodanie do wszystkich elementów dowolnego wiersza (kolumny) odpowiednich elementów innego 

wiersza (kolumny) pomnożonych przez dowolną liczbę różną od zera. 

Postad kanoniczna lub bazowa macierzy: 

0

0

R

I

k

 

 
Macierz kwadratową B stopnia n spełniającą warunek AB = BA =I, gdzie I jest macierzą 
jednostkową, nazywamy macierzą odwrotną do macierzy kwadratowej A i oznaczamy symbolem 

 

Metody obliczania macierzy odwrotnej: 

1)  z definicji, 
2)  za pomocą wyznaczników, 
3)  za pomocą przekształceo elementarnych (działamy tylko na wierszach)