Mechanika i Budowa Maszyn I semestr   

 

Zagadnienia teoretyczne z Matematyki 

– 1 – 

1.  ALGEBRA LINIOWA 



 

Definicja iloczynu kartezjańskiego 



  Definicja macierzy 



 

Działania  na  macierzach  (mnożenie  przez  stałą,  dodawanie,  odejmowanie,  mnożenie  dwóch  macierzy, 
transponowanie) 



  Definicja wyznacznika  



 

Własności wyznaczników 



 

Metody obliczania wyznaczników 

o  Metoda Sarrusa 
o 

Rozwinięcie Laplace’a  



  Definicja macierzy odwrotnej 



 

Wyznaczanie macierzy odwrotnej (z definicji, metodą eliminacji Gaussa) 



 

Definicja rzędu macierzy 



 

Własności rzędów macierzy 



  Twierdzenie Cramera 



  Twierdzenie Kroneckera-Capelliego 



 

Jednorodny układ równań liniowych 



  Metoda eliminacji Gaussa 



 

Metody rozwiązywania liniowych układów równań ( w szczególności układu równań 

1

1









n

n

n

n

b

x

A

 ) 



  Zagadnienie własne (wektory i wartości własne) 

2.  ELEMENTY GEOMETRII ANALITYCZNEJ W PRZESTRZENI 

3

R  

WEKTORY 



 

Współrzędne wektora o początku w punkcie 





A

A

A

z

y

x

A

,

,



 i końcu w punkcie 





B

B

B

z

y

x

B

,

,



. 



 

Długość wektora 



 

Działania na wektorach 

o  dodawanie 
o 

mnożenie przez skalar (liczbę) 

o 

mnożenie skalarne 

o 

mnożenie wektorowe 

o  iloczyn mieszany trzech wektorów 



 

Definicja iloczynu skalarnego dwóch wektorów 



 

Definicja iloczynu wektorowego dwóch wektorów 



 

Warunek równoległości i prostopadłości wektorów 



 

Wzór  na  pole  równoległoboku/trójkąta  zbudowanego  na  dwóch  nierównoległych  wektorach 
(+wyprowadzenie) 



 

Wzór  na  objętość  równoległościanu/czworościanu  zbudowanego  na  trzech  niewspółpłaszczyznowych 
wektorach (+wyprowadzenie) 



 

Kąt zawarty pomiędzy dwoma wektorami 

PŁASZCZYZNA 



 

Wyprowadzenie  równania  płaszczyzny  w  postaci  ogólnej  o  danym  wektorze  normalnym  i  przechodzącej 
przez dany punkt 



 

Wyprowadzenie równania trójpunktowego płaszczyzny 



 

Kąt zawarty między płaszczyznami nierównoległymi 



 

Warunek prostopadłości i równoległości płaszczyzn 



 

Odległość punktu od płaszczyzny 

PROSTA 



 

Wyprowadzenie równania prostej w postaci kanonicznej i parametrycznej o danym wektorze kierunkowym i 
przechodzącej przez dany punkt 



 

Równanie krawędziowe prostej 



 

Kąt zawarty między prostymi nierównoległymi 



 

Warunek prostopadłości i  równoległości prostych 



 

Warunek przecinania się prostych 

Mechanika i Budowa Maszyn I semestr   

 

Zagadnienia teoretyczne z Matematyki 

– 2 – 



  Odległość punktu od prostej 



 

Możliwe położenia dwóch prostych w przestrzeni 

PROSTA I PŁASZCZYZNA 



 

Kąt przecięcia płaszczyzny prostą 



 

Wyznaczanie punktu przebicia płaszczyzny prostą 



 

Odległość prostej od płaszczyzny równoległej do niej 



 

Warunek prostopadłości prostej i płaszczyzny 



 

Warunek równoległości prostej i płaszczyzny 

3.  CIĄGI LICZBOWE 



 

Definicja ciągu liczbowego 



 

Monotoniczność ciągu 



 

Definicja granicy ciągu 



 

Własności granic skończonych 



 

Twierdzenie o trzech ciągach 



 

Definicja liczby Eulera i jej wartość 



  Symbole nieoznaczone 

4.  FUNKCJA JEDNEJ ZMIENNEJ NIEZALEŻNEJ 



  Definicja funkcji 



  Postaci funkcji 



 

Odwzorowanie „na”, odwzorowanie „w” 



 

Definicja funkcji różnowartościowej, monotonicznej, odwrotnej, złożonej 



  Funkcje cyklometryczne 



  Definicja granicy funkcji (w punkcie, lewostronna, prawostronna, niewłaściwa, w nieskończoności) 



 

Definicja ciągłości funkcji 



  Asymptoty funkcji 



 

Twierdzenie de’Hospitala 



  Definicja  pochodnej  funkcji  i  interpretacja  geometryczna  (wyprowadzenie  z  definicji  pochodnej  funkcji 

2

x

y



, 

x

y

ln



, 

x

y

sin



, 

x

y



) 



 

Własności pochodnych funkcji 



 

Wzór na pochodną sumy, różnicy, ilorazu i iloczynu dwóch funkcji ( + wyprowadzenie z definicji) 



 

Definicja różniczki zupełnej funkcji i interpretacja geometryczna 



  Twierdzenie  o  pochodnej  funkcji  odwrotnej  (wyprowadzenie  pochodnej  funkcji 

x

e

y



, 

x

y

arctg



, 

x

y

sin

arc



, 

x

y

arccos



) 



  Pochodna funkcji w postaci parametrycznej 



  Pochodna logarytmiczna 



  Pochodne funkcji wyższych rzędów 



 

Pochodna funkcji złożonej 



  Zastosowania pochodnych 



 

Krzywizna i promień krzywizny 



 

Ekstrema funkcji (warunek konieczny i wystarczający) 



 

Monotoniczność funkcji 



 

Punkty przegięcia funkcji (warunek konieczny i wystarczający) 



 

Wklęsłość i wypukłość funkcji 

5.  CAŁKA NIEOZNACZONA 



 

Definicja całki nieoznaczonej i funkcji pierwotnej 



 

Własności całek nieoznaczonych 



 

Całkowanie przez podstawienie ( + wyprowadzenie wzoru) 

o  Podstawienie uniwersalne (dla funkcji trygonometrycznych) 



 

Całkowanie przez części ( + wyprowadzenie wzoru) 

Mechanika i Budowa Maszyn I semestr   

 

Zagadnienia teoretyczne z Matematyki 

– 3 – 

6.  CAŁKA OZNACZONA 



 

Definicja całki oznaczonej 



 

Własności całek oznaczonych 



 

Całkowanie przez podstawienie 



 

Całkowanie przez części 



 

Interpretacja geometryczna całki oznaczonej 



 

Definicja obszaru normalnego względem osi 

OX

 



  Definicja obszaru normalnego względem osi 

OY

 



 

Zastosowania całki oznaczonej 

o 

pole obszaru płaskiego, gdy funkcja jest w postaci: 

  jawnej 

)

(x

f

y



 

  parametrycznej 











)

(

)

(

t

y

y

t

x

x

 

  we współrzędnych biegunowych 

)

(



r

r



 

o 

długość łuku krzywej płaskiej, gdy funkcja jest w postaci: 

  jawnej 

)

(x

f

y



 

  parametrycznej 











)

(

)

(

t

y

y

t

x

x

 

  we współrzędnych biegunowych 

)

(



r

r



 

o 

Pole powierzchni bocznej bryły obrotowej względem osi 

OX

 i  OY  

o 

Objętość bryły obrotowej względem osi 

OX

 i  OY