Elektronika AiR  

 Matematyka 

Lista 5    

 

Teoria liczb      

Zad. 1. Stosując algorytm Euklidesa znaleźd największy wspólny dzielnik liczb  NWD(29716, 8568). 

Zad. 2. Zapisując liczby a, b w postaci kanonicznej (rozkładając na czynniki pierwsze) znaleźd ich 
największy wspólny dzielnik NWD(a, b) oraz najmniejszą wspólną wielokrotnośd NWW(a, b)=[a, b] dla 
a=18018, b=350. 

Zad. 3. Znaleźd (a, b) oraz *a, b+ dla liczb a, b jak w zad. 2. wykorzystując algorytm Euklidesa i stosując 
twierdzenie (a, b) · [a, b] = a · b. 

Zad. 4. Wykorzystad cechy podzielności liczby naturalnej x przez liczby odpowiednio 7, 11, 13: 
skreślamy trzy ostatnie cyfry liczby x. Od tak powstałej liczby odejmujemy liczbę powstałą z tych 
trzech skreślonych cyfr. Liczba x jest podzielna przez 7, 11, 13 wtedy i tylko wtedy  gdy powstała 
różnica jest podzielna odpowiednio przez 7, 11, 13. 

Zad. 5. Znajdź rozkład kanoniczny następujących liczb a) 443,  b) 11849,  c) 6967664,  d) 61930099. 

Zad. 6. Znaleźd najmniejszą liczbę naturalną n taką, że f(n) jest liczbą złożoną jeśli: 

a)  f(x) = x

2

 + x +17  

 n = 17 

b)  f(x) = x

2

 +21x +1 

 n = 23 

c)  f(x) = 3x

2

 + 3x + 23 

 n = 23. 

Zad. 7. Metryka taksówkowa (miejska) dla dowolnych punktów  P(x, y, z),   P’(x’, y’, z’) z przestrzeni  
R

3

 definiujemy ich odległośd wzorem:  d(P, P’) = |x – x’| + |y – y’| + |z –z’| 

Pokazad, że tak zdefiniowana odległośd spełnia trzy warunki wymagane od metryki.                            
Dla dowolnych   

3

 

a) 

d(P, P’) ≥ 0    i   d(P, P’) =  0   wtedy i tylko wtedy  gdy  P = P’ 

b) 

d(P, P’)  =  d(P’, P) 

c) 

d(P, P’)  ≤ d(P, Q) + d(Q,, P’)  (nierównośd trójkąta).      

Zad. 8. Pokazad, że prosta k o równaniu parametrycznym 

            t

   dowolne 

nie przechodzi przez żaden punkt kratowy czyli należący do Z

3

 gdzie Z – zbiór liczb całkowitych. 

Znaleźd minimalną odległośd prostej k od zbioru Z

3

 obliczaną w metryce taksówkowej. (odp. 1/5) 

Zad. 9. Stosując sito Eratostenesa znaleźd wszystkie liczby pierwsze w przedziale (100, 200).