1

Szczególna Teoria Względności

Załó

Ŝ

my, 

Ŝ

e pr

ę

dko

ść

 

ś

wiatła jest stała 

wzgl

ę

dem eteru. Jaka jest wi

ę

c pr

ę

dko

ść

 

Ziemi wzgl

ę

dem eteru ?

Do

ś

wiadczenie Michelsona i Morleya (1881 i 1887)

1) Załó

Ŝ

my, 

Ŝ

e na ekranie obserwujemy maksimum 

interferencyjne (pr

ąŜ

ki). Je

ś

li przesuniemy 

zwierciadło ruchome o ¼ długo

ś

ci fali ( ¼ 

λ

) w 

prawo, to promie

ń

 2 przejdzie dodatkowo drog

ę

 ½ 

λ

i oba promienie na ekranie wygasz

ą

si

ę

w miejscach 

gdzie si

ę

 wzmacniały (maksima przejd

ą

 w minima i 

odwrotnie).
2) Zakłócenie ustawionego maksimum 
interferencyjnego mo

Ŝ

na by tak

Ŝ

e uzyska

ć

, gdyby 

pr

ę

dko

ś

ci 

ś

wiatła w ramieniu 1 lub 2 ulegały 

zmianie.

 

zwierciadło
półprzepuszczalne

zwier ciadło

ź

ródło światła

1

2

zwierciadło
ruchome

ekran

Zasada budowy interferometru Michelsona. Zwierciadło 
„2” moŜna przesuwać i w ten sposób doprowadzać do 
powstawania kolejnych maksimów i minimów 
interferencyjnych.

Kinematyka relatywistyczna

2

-v

Z

c

Z

c

E

c

Z

=

c

E

+

v

Z

c

Z

-v

Z

c

E

-v

Z

c

Z

=

c

E

-

v

Z

B

Je

Ŝ

eli obrócimy interferometr  o 90

0

, 

obydwa lustra S

1

i S

2

zamieni

ą

 si

ę

 rolami, 

a wi

ę

c:

Po obróceniu ramion pr

ąŜ

ki interferencyjne si

ę

 przesun

ą

. Z przesuni

ę

cia tego mo

Ŝ

na 

wyznaczy

ć

v

Z

. 

Do

ś

wiadczenie pokazało, 

Ŝ

e

v

Z

=0 

(z dokł. 5 km/s) czyli albo Ziemia si

ę

 nie 

porusza (wzgl. eteru) albo pr

ę

dko

ść

 

ś

wiatła jest stała w ka

Ŝ

dym układzie inercjalnym. 

Zmierzona pr

ę

dko

ść

 

ś

wiatła jest taka sama w ka

Ŝ

dym 

układzie inercjalnym (np. dla obserwatora A oraz B)  !!!

3

Konsekwencje stałej warto

ś

ci pr

ę

dko

ś

ci 

ś

wiatła

Zakładamy, 

Ŝ

e c 

≠≠≠≠

const.

Dla 

obydwu

obserwatorów zegary 

chodz

ą

 tak samo

.

c

L

t

2

'

=

∆

O’:

2

2

2

2

2

2

V

c

L

t

V

t

+

+













∆

=

∆

c

L

t

2

=

∆

'

t

t

∆

=

∆

O:

O:

2

2

2

L

t

V

D

+













∆

=

A co si

ę

 stanie dla c = const. ?

c

L

t

2

'

=

∆

Ka

Ŝ

dy obserwator stwierdza, 

Ŝ

e poruszaj

ą

cy si

ę

 zegar 

idzie wolniej

ni

Ŝ

 

identyczny zegar w spoczynku (

dylatacja

czasu).

O’:

2

2

2

L

t

V

D

+













∆

=

c

L

t

V

t

2

2

2

2

+













∆

=

∆

2

2

1

2

c

V

c

L

t

−

=

∆

2

2

1

'

c

V

t

t

−

∆

=

∆

O:

O:

4

Vt

x

x

−

=

'

y

y

=

'

z

z

=

'

t

t

=

'

t

x

u

∆

∆

=

V

u

t

t

V

x

t

x

u

−

=

∆

∆

−

∆

=

∆

∆

=

'

'

'

składanie pr

ę

dko

ś

ci

a

t

u

t

V

u

t

u

a

=

∆

∆

=

∆

−

∆

=

∆

∆

=

)

(

'

'

'

przyspieszenie w układzie 
poruszaj

ą

cym si

ę

 

Pr

ę

dko

ść

 

ś

wiatła nie jest stała dla transformacji Galileusza.

Transformacja Galileusza

Postulat II:

Pr

ę

dko

ść

 

ś

wiatła w pró

Ŝ

ni jest jednakowa we 

wszystkich kierunkach i w dowolnym obszarze danego inercjalnego 
układu odniesienia i jednakowa dla wszystkich inercjalnych układów 
odniesienia.

Postulat I

(zasada wzgl

ę

dno

ś

ci): 

Przy identycznych warunkach pocz

ą

tkowych wszystkie to

Ŝ

same 

zjawiska fizyczne przebiegaj

ą

 jednakowo w inercjalnych układach 

odniesienia. Inaczej mówi

ą

c, w

ś

ród inercjalnych układów 

odniesienia nie ma układu „uprzywilejowanego„
i stwierdzenie stanu absolutnego ruchu nie jest mo

Ŝ

liwe.

c = 299 792 458 m/s

Postulaty szczególnej teorii wzgl

ę

dno

ś

ci, Albert Einstein 1905. 

5

Szukamy transformacji współrz

ę

dnych, która uwzgl

ę

dnia niezale

Ŝ

no

ść

 pr

ę

dko

ś

ci 

ś

wiatła od układu odniesienia.

2

2

2

1

1

'

β

−

−

=

−

−

=

Vt

x

c

V

Vt

x

x

y

y

=

'

z

z

=

'

2

2

2

2

2

1

1

'

β

−

−

=

−

−

=

x

c

V

t

c

V

x

c

V

t

t

β = V/c

Własno

ś

ci czasoprzestrzeni s

ą

 inne ni

Ŝ

 przewiduje to transformacja Galileusza.

Dla

β

<< 1 

otrzymujemy transformacj

ę

 Galileusza.

Transformacja Lorentza

... czy dylatacja czasu wynika z transformacji Lorentza???

Dwa zdarzenia zaszły w tym samym 
miejscu

w układzie poruszaj

ą

cym 

si

ę

 (O’), w odst

ę

pie czasu              . 

Dylatacja czasu

0

'

=

∆

x

2

1

'

β

−

∆

=

∆

t

t

0

'

=

∆

x

0

'

≠

∆

t

0

'

≠

∆

t

2

2

1

'

β

−

−

=

x

c

V

t

t

2

2

1

'

'

β

−

+

=

x

c

V

t

t

Pr

ę

t o długo

ś

ci                (wzgl

ę

dem O’) 

porusza si

ę

 z pr

ę

dko

ś

ci

ą

 V wzgl

ę

dem O. 

Mierzymy długo

ść

                w układzie O, 

wyznaczaj

ą

c w tej samej chwili

współrz

ę

dne ko

ń

ca i pocz

ą

tku.

2

1

'

β

−

∆

=

∆

x

x

Skrócenie długo

ś

ci

2

1

'

β

−

=

L

L

'

'

L

x

=

∆

0

=

∆

t

2

1

'

β

−

−

=

Vt

x

x

L

x

=

∆

0

=

∆

t

6

Potwierdzenie dylatacji czasu i kontrakcji długo

ś

ci

2

2

1

'

c

V

t

t

−

∆

=

∆

1) Ka

Ŝ

dy obserwator stwierdza, 

Ŝ

e poruszaj

ą

cy si

ę

 zegar idzie wolniej 

ni

Ŝ

 identyczny zegar w spoczynku (

dylatacja

czasu).

2

2

1

'

c

V

L

L

−

=

2) Ka

Ŝ

dy obserwator stwierdza, 

Ŝ

e poruszaj

ą

cy si

ę

 przedmiot jest krótszy 

ni

Ŝ

 identyczny przedmiot w spoczynku (

kontrakcja

długo

ś

ci).

Dowody do

ś

wiadczalne

Miony docieraj

ą

 do Ziemi cho

ć

 maj

ą

 zbyt krótki czas 

Ŝ

ycia (2 

µ

s ). 

W układzie zwi

ą

zanym z Ziemi

ą

 jest to spowodowane dylatacj

ą

 czasu (ich czas 

Ŝ

ycia 

w układzie zwiazanym z Ziemi

ą

 jest 30 razy dłu

Ŝ

szy poniewa

Ŝ

 poruszaj

ą

 si

ę

 one z 

pr

ę

dko

ś

ci

ą

 99,3% pr

ę

dko

ś

ci 

ś

wiatła).

Patrz

ą

c z układu odniesienia poruszaj

ą

cej si

ę

 cz

ą

stki, atmosfera

Ziemi porusza si

ę

 z pr

ę

dko

ś

ci

ą

 ok. 99,3% pr

ę

dko

ś

ci 

ś

wiatła wzgl

ę

dem spoczywaj

ą

cej 

cz

ą

stki i tym samym, ze wzgl

ę

du na skrócenie długo

ś

ci, jest 30 razy cie

ń

sz

ą

 warstw

ą

. 

W ci

ą

gu 2 

µ

s (czas 

Ŝ

ycia mionu) cała atmosfera zd

ąŜ

y przesun

ąć

 si

ę

 wzgl

ę

dem 

cz

ą

stki i powierzchnia Ziemi dotrze do mionu. 

Obiekt ma pr

ę

dko

ść

u

x

wzl

ę

dem Ziemii (nieruchomego obserwatora O).

Jak

ą

pr

ę

dko

ść

u’

x

zarejestruje obserwator O’ w rakiecie poruszaj

ą

cej si

ę

z pr

ę

dko

ś

ci

ą

V

wzdłu

Ŝ

osi

x

.

Z transformacji Lorentza:

2

1

'

β

−

∆

−

∆

=

∆

t

V

x

x

2

2

1

'

β

−

∆

−

∆

=

∆

x

c

V

t

t

t

x

c

V

V

t

x

x

c

V

t

t

V

x

t

x

∆

∆

−

−

∆

∆

=

∆

−

∆

∆

−

∆

=

∆

∆

2

2

1

'

'

'

'

'

t

x

u

x

∆

∆

=

t

x

u

x

∆

∆

=

Poniewa

Ŝ

:

2

1

'

c

Vu

V

u

u

x

x

x

−

−

=

2

'

1

'

c

Vu

V

u

u

x

x

x

+

+

=

β = V/c

Składanie pr

ę

dko

ś

ci w transformacji Lorentza

dla u

x

= c

c

c

Vc

V

c

c

=

−

−

=

2

1

'

V =0.9c, u

x

’ = 0.9c

u

x

= 0.994c

Przykłady:

1)

2)

7

Zwi

ą

zek przyczynowo skutkowy a jednoczesno

ść

1) Czy istnieje układ, w którym bitwa pod Grunwaldem i chrzest Polski zaszły:

a) w tym samym miejscu:

rok

km

t

x

V

45

.

0

≈

∆

∆

=

0

1

'

2

=

−

∆

−

∆

=

∆

β

t

V

x

x

b) tym samym czasie:

0

1

'

2

2

=

−

∆

−

∆

=

∆

β

x

c

V

t

t

c

t

x

c

V

>>

∆

∆

=

/

2

Zdarzenia zajd

ą

 w tym samym miejscu w układzie poruszaj

ą

cym si

ę

 z pr

ę

dko

ś

ci

ą

 ok. 0.45km/rok, z 

Gniezna do Grunwaldu. Nie istnieje układ, w którym te zdarzenia s

ą

 jednoczesne.

β = V/c

2) Po 10s od zaj

ś

cia protuberancji na Sło

ń

cu, na Ziemi wybuchł wulkan. Czy istnieje układ w 

którym te zdarzenia zaszły:

a) w tym samym miejscu:

c

c

t

x

V

>

≈

∆

∆

=

*

51

b) tym samym czasie :  

c

t

x

c

V

*

02

.

0

/

2

≈

∆

∆

=

Zdarzenia zajd

ą

 w tym samym czasie w układzie poruszaj

ą

cym si

ę

 z pr

ę

dko

ś

ci

ą

 ok. 0.02*c. 

Nie istnieje układ, w którym te zdarzenia zajd

ą

 w tym samym miejscu.

8

Wielko

ść

fizyczna opisuj

ą

ca odległo

ść

mi

ę

dzy dwoma zdarzeniami nazywa si

ę

interwałem

zdefiniowanym nast

ę

puj

ą

co:

(

)

2

2

2

2

2

2

2

,

1

z

y

x

t

c

s

∆

+

∆

+

∆

−

∆

=

∆

Mo

Ŝ

na wykaza

ć

, 

Ŝ

e interwał jest niezmiennikiem wzgl

ę

dem transformacji Lorentza, tzn. ma 

tak

ą

sam

ą

warto

ść

w ka

Ŝ

dym inercjalnym układzie odniesienia: 

2

2

,

1

2

2

,

1

'

s

s

∆

=

∆

2

,

1

s

∆

1) Je

ś

li istnieje układ, w którym zdarzenia 

zajd

ą

 w tym samym miejscu to mo

Ŝ

e istnie

ć

 

miedzy nimi zwi

ą

zek przyczynowy (te 

zdarzenia nie mog

ą

 by

ć

 jednoczesne w 

Ŝ

adnym układzie). Wtedy :

0

2

2

,

1

≥

∆

s

2) Je

ś

li istnieje układ, w którym zdarzenia 

zajd

ą

 w tym samym czasie to nie mo

Ŝ

e 

istnie

ć

 miedzy nimi zwi

ą

zek przyczynowy 

(nie istnieje układ, w którym zdarzenia zajd

ą

 

w tym samym miejscu ). Wtedy :

0

2

2

,

1

<

∆

s

Geometria czasoprzestrzeni

DYNAMIKA RELATYWISTYCZNA

Pęd i masa relatywistyczna

Je

ś

li ma pozosta

ć

 

słuszna zasada zachowania p

ę

du

, to masa ciała nie mo

Ŝ

e 

by

ć

 wielko

ś

ci

ą

 stał

ą

; musi ona zale

Ŝ

e

ć

 od pr

ę

dko

ś

ci wg. wzoru: 

γ=

m/m

0

v/c

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

2

0

2

2

0

1

1

β

−

=

−

=

m

c

u

m

m

Sprawd

ź

my czy zasada zachowania p

ę

du:

∑

∑

=

i

i

xkonc

i

i

i

xpocz

i

u

m

u

m

,

,

obowi

ą

zuje

w układzie poruszaj

ą

cym si

ę

 z pr

ę

dko

ś

ci

ą

 V:

∑

∑

−

−

≠

−

−

i

i

xkonc

i

xkonc

i

i

i

xpocz

i

xpocz

i

c

Vu

V

u

m

c

Vu

V

u

m

2

,

,

2

,

,

1

1

problem: zas. zach. p

ę

du nie jest spełniona !!!

P

ę

d w mechanice relatywistycznej

definiujemy:

u

m

mu

p

2

0

1

β

−

=

=

β = u/c

9

Energia relatywistyczna

Aby utrzyma

ć

 w mocy zasad

ę

 zachowania energii w mechanice relatywistycznej, 

pomi

ę

dzy mas

ą

 całkowit

ą

 a energi

ą

 ciała (zwan

ą

 

energi

ą

 całkowit

ą

) musi 

zachodzi

ć

 zwi

ą

zek :

2

2

0

2

1

c

m

mc

E

β

−

=

=

Jest to słynne równanie Einsteina 

wyra

Ŝ

aj

ą

ce 

równowa

Ŝ

no

ść

 masy i energii.

Uwaga: Zasada zachowania energii obowi

ą

zuje dla energii całkowitej !!!

masa [kg]

energia

elektron

9.11×10

-31

8.19 ×10

-14

J (= 511 keV)

proton

1.67 ×10

-27

1.5 ×10

-10

J (= 938 MeV)

atom Uranu

3.95 ×10

-25

3.55 ×10

-8

J (= 225 GeV)

cz

ą

steczka kurzu

1 ×10

-13

1 ×10

4

J

β = u/c

Mo

Ŝ

na wykaza

ć

, 

Ŝ

e gdy 

u<<c

(tj.                     ) , wzory relatywistyczne przechodz

ą

 

w klasyczne:

u

m

u

m

mu

p

0

2

0

1

≈

−

=

=

β

2

0

2

2

0

2

2

0

2

1

1

...

2

1

1

1

1

1

u

m

c

m

c

m

E

k

≈













−

+

=

















−

−

=

β

β

0

→

=

c

u

β

Załó

Ŝ

my najpierw, 

Ŝ

e ciało jest w spoczynku. Wtedy masa tego ciała jest równa 

m

0

i jego energia, zwana 

energi

ą

 spoczynkow

ą

, wynosi:

2

0

0

c

m

E

=

Jaka jest wi

ę

c definicja energii kinetycznej ? 

(

)

2

0

0

c

m

m

E

E

E

k

−

=

−

=















−

−

=

1

1

1

2

2

0

β

c

m

E

k

Relatywistyczna energia kinetyczna

jest równa:

β = u/c

10

2

mc

E

=

mu

p

=

oraz

)

1

(

2

2

4

2

2

2

2

c

u

c

m

c

p

E

−

=

−

2

2

0

1

c

u

m

m

−

=

st

ą

d:

podstawiaj

ą

c:

Zwi

ą

zek energii, masy i p

ę

du

4

2

0

2

2

2

c

m

c

p

E

=

−

otrzymamy:

2

2

4

2

0

c

p

c

m

E

+

=

Zauwa

Ŝ

my, 

Ŝ

e wyra

Ŝ

enie:

2

2

2

c

p

E

−

jest niezmiennikiem (podobnie jak

interwał ma tak

ą

 sam

ą

 warto

ść

 we wszystkich układach inercjalnych).

lub