Egzamin połówkowy z przedmiotu „Analiza matematyczna i algebra liniowa”
WETI, kierunek AiR, EiT (gr. 8-9) i IBM, 1 sem., r. ak. 2008/2009
1. [4p.] Dla jakich wartości parametrów m, k ∈ R funkcja f (x) jest ciągła w punkcie x
0
= 2?
Sprawdzić ciągłość funkcji dla pozostałych x ∈ R \ {2}. Jeśli istnieją punkty nieciągłości,
określić ich rodzaj.
f (x) =
cos(m) +
x
2
dla
x < 2
|k − 2|
dla
x = 2
1
1 + 4
1
2−x
dla
2 < x ¬ 4
arcctg(ln |4 − x|)
dla
x > 4
2. [4p.] Wyznaczyć pochodną funkcji
f (x) =
cos
s
3x − 5
b − x
| ln a|
gdzie a = lim
n→∞
n
2
n
2
− 2
!
1−n
2
, b jest większym z pierwiastków równania −3x
2
+ 8x − 4 = 0.
[2p.] b) Korzystając z definicji wyprowadzić wzór na pochodną y = cos 2x.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [4p.] a) Wyznaczyć równanie stycznej do wykresu funkcji g(x) = ln
e + x
e − x
w punkcie będącym
jej punktem przegięcia.
[2p.] b) Korzystając z różniczki zupełnej obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia
1
√
3,98
.
4. [4p.] Obliczyć całki
a)
Z
e
arc cos x
dx
b)
Z
3
√
x(ln x)
2
dx
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [4p.] a) Obliczyć całkę
Z
1 − x
5
x
4
− 16
dx
[2p.] b) Wyprowadzić wzór na
Z
f
0
(x)
f (x)
dx.
6. [4p.] Obliczyć całki
a)
Z
dx
sin
2
x + 2 sin x cos x + 5 cos
2
x
b)
Z
dx
√
1 + 4x − x
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [3p.] Obliczyć pochodną funkcji
y = (cos x)
(ln x)
x2