Egzamin połówkowy z przedmiotów
„Matematyka elementarna” i „Analiza matematyczna I”
WETI, kierunki AiR i IBM, 1 sem., r. ak. 2011/2012
1. [7p.] a) Sprawdzić, dla jakich argumentów x istnieje funkcja odwrotna do
f (x) = 3 sin (2x − π) + 1
Następnie wyznaczyć f
−1
oraz jej dziedzinę i przeciwdziedzinę.
[2p.] b) Uzasadnić, że złożenie dwóch funkcji malejących jest funkcją rosnącą.
2. [7p.] a) Obliczyć granicę ciągu lim
n→∞
ln a
n
sin
πb
n
2
, gdzie
a
n
=
2n − 1
2n + 3
5n−1
,
b
n
=
n
√
1 + 5
−n
+ 5
n
+ 5
2n
[2p.] b) Przedstawić ciąg o wyrazie ogólnym a
n
=
e
n
n!
w postaci rekurencyjnej.
3. [7p.] Wyznaczyć wartości parametrów k, m ∈ R tak, aby funkcja h(x)
h(x) =
arctg
sin |x|
√
3x
dla
x < 0
π
2
(1 −
√
k
2
− 1)
dla
x = 0
1
π e
x−1
x2
− m
dla
x > 0
była ciągła dla dowolnej liczby rzeczywistej.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. [7p.] a) Wyznaczyć styczną do wykresu funkcji f (x) = x
cos(πx)
w punkcie o rzędnej x
0
=
2x
w
5
,
gdzie x
w
jest pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli y = −x
2
+ 5x − 6.
[2p.] b) Wykorzystując różniczkę zupełną funkcji obliczyć przybliżoną wartość
1
4
√
80, 7
.
5. [7p.] Znaleźć asymptoty wykresu funkcji g(x) =
2
x
3
− arcctg x.
6. [7p.] a) Wyznaczyć punkty przegięcia wykresu funkcji h(x) = x
2
+ ln 2x oraz przedziały, w
których jednocześnie funkcja jest rosnąca i posiada wykres wypukły w górę.
[2p.] b) Korzystając z definicji wyprowadzić wzór na pochodną funkcji y = cos 3x.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [5p.] Korzystając ze wzoru Taylora przedstawić wielomian
w(x) = x
5
+ x
3
− 1
w postaci sumy potęg dwumianu x + 1.