Egzamin połówkowy z przedmiotów
„Matematyka elementarna” i „Analiza matematyczna I”
WETI, kierunek EiT, 1 sem., r. ak. 2011/2012
1. [7p.] a) Sprawdzić, dla jakich argumentów x istnieje funkcja odwrotna do
f (x) = 5 ctg(π − 3x) − 1
Następnie wyznaczyć f
−1
oraz jej dziedzinę i przeciwdziedzinę.
[2p.] b) Uzasadnić, że złożenie funkcji rosnącej i funkcji malejącej jest funkcją malejącą.
2. [7p.] a) Obliczyć granicę ciągu lim
n→∞
arcctg a
n
πb
n
, gdzie
a
n
=
2
√
n+1
2
√
n
,
b
n
=
n
2
3
h
ln(n
2
+ 2) − ln(n
2
− 1)
i
[2p.] b) Przedstawić ciąg o wyrazie ogólnym a
n
=
(n + 1)!
π
2n
w postaci rekurencyjnej.
3. [7p.] Wyznaczyć wartości parametrów k, m ∈ R tak, aby funkcja h(x)
h(x) =
k
4 − x
2
√
x + 6 − 2
+ π
4
dla
−6 ¬ x < −2
x(x + 1)
2
+ arctg m
dla
−2 ¬ x ¬ 0
1
4
arcctg (π + ln x)
dla
x > 0
była ciągła dla dowolnej liczby rzeczywistej.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. [7p.] a) Wyznaczyć normalną do wykresu funkcji f (x) = x
ln x
w punkcie o rzędnej x
0
, będącej
rozwiązaniem równania log
1
2
(log
2
(ln x)) = −1.
[2p.] b) Wykorzystując różniczkę zupełną funkcji obliczyć przybliżoną wartość e
−0,0007
.
5. [7p.] Znaleźć asymptoty wykresu funkcji g(x) =
x +
1
x + 1
arcctg x.
6. [7p.] a) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji h(x) =
2 + ln x
x
2
oraz przedziały, w których jednocześnie
funkcja jest rosnąca i posiada wykres wypukły w dół.
[2p.] b) Korzystając z definicji wyprowadzić wzór na pochodną funkcji y =
1
sin 3x
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [5p.] Korzystając ze wzoru Taylora przedstawić wielomian
w(x) = 5x
5
+ 4x
4
+ 3x
3
+ 2x
2
+ x
w postaci sumy potęg dwumianu x − 1.