Egzamin połówkowy z przedmiotu ”Analiza matematyczna i algebra liniowa”
WETI, kierunek AiR (gr. 1-3) i EiT (gr. 7-10), 1 sem., r. ak. 2007/2008
1. [4p.] Wyznaczyć dziedzinę funkcji
f (x) =
arc sin(x − 3) − log(9 − x
2
)
q
|x − 4| − 1
2. [4p.] a) Obliczyć granicę ciągu lim
n→∞
√
a
n
− b
n
+ c
n
, gdzie
a
n
=
2n + 5
2n + 1
6n+3
,
b
n
=
e
√
n+1
e
√
n
,
c
n
=
n
n
2
+ 1
cos(5n + 3)
[2p.] b) Na podstawie definicji pokazać, że liczba g =
2
3
jest granicą ciągu a
n
=
2n
2
− 1
3n
2
+ n + 2
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [4p.] Wyznaczyć wartości parametrów m i a tak, aby podana funkcja była ciągła
f (x) =
√
x
2
+ 5 − 3
x
2
− 4
dla
x 6= −2, x 6= 2
1
2
ln
2
a −
1
3
ln a
dla
x = 2
1
3
sin(m)
dla
x = −2
4. [4p.] a) Znaleźć (f ◦ g)
0
(x) mając dane f
0
(x) =
√
1 − x
2
i g(x) = cos x.
[2p.] b) Na podstawie twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej wyprowadzić wzór na pochod-
ną funkcji y = arcctg x.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [4p.] a) Wyznaczyć asymptoty funkcji f (x) = x ln
2x
x − 2
.
[2p.] b) Na wybranym przykładzie omówić działanie reguły de l’Hospitala.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. [4p.] Wyznaczyć punkty przegięcia wykresu funkcji y = (1 + x
2
)e
x
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [3p.] Obliczyć pochodną funkcji
y = (ln 2x)
(cos x)
x3