Egzamin poprawkowy z przedmiotu „Analiza matematyczna i algebra liniowa”

WETI, kierunek EiT, 1 sem., r. ak. 2008/2009

1. [7p.] Zbadać ciągłość funkcji. Podać rodzaje punktów nieciągłości, o ile takie punkty istnieją.

f (x) =























1

1 + 4

1

x−2

dla

x < 2

|x − 2|

dla

2 ¬ x ¬ 4

log

2

(x − 4)

dla

x > 4

2. [7p.] a) Wyznaczyć asymptoty i punkty przegięcia funkcji g(x) =

ln 2x

x

.

[2p.] b) Korzystając z definicji wyprowadzić wzór na pochodną funkcji y = x

2

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. [7p.] Obliczyć całki ( w punkcie b) zbadać zbieżność)

a)

Z

(2 − x

2

)e

3x

dx

b)

∞

Z

0

arctg x

1 + x

2

dx

4. [7p.] a) Rozwiązać układ równań































3x − 16y = −5
3x + 2y = 4
x − 4y = −1
7x + 10y = 12
5x + 6y = 8

[2p.] b) Podać i zilustrować na przykładach cztery własności wyznaczników.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. [7p.] a) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji g(x, y) = x

3

+ y

3

− 3xy + 15.

[2p.] b) Korzystając z różniczki zupełnej obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia

3

q

(2, 01)

3

+ 117, 1.

6. [7p.] a) Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami

x

2

+ y

2

= z

2

i

x

2

+ y

2

= 2y

Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych biegunowych.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. *) [dla chętnych] [5p.] Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P (1, 0, −2) i

równoległej do dwóch prostych

x − 1

2

=

y

1

=

z + 3

−2

i

x + 1

5

=

y − 2

1

=

z

1