Egzamin połówkowy z przedmiotów
„Matematyka elementarna” i „Analiza matematyczna I”
WETI, kierunek IBM, 1 sem., r. ak. 2010/2011
1. [4p.] Wyznaczyć f
−1
(x) oraz D
f
−1
∩ D
g
, gdzie D
f
−1
oznacza dziedzinę funkcji odwrotnej do
f (x) = cos (x + π) − 4, a D
g
dziedzinę funkcji g(x) =
3
q
log(x
2
− 16).
2. [4p.] a) Obliczyć granicę ciągu lim
n→∞
(a
n
· ln b
n
− c
n
), gdzie
a
n
=
n
√
2
n
+ 3
n
+ 5
n
,
b
n
=
n − 2
n + 5
n
3
,
c
n
=
√
n + 1 −
√
n
[2p.] b) Zbadać mototoniczność ciągu o wyrazie ogólnym a
n
=
3n + 1
n + 3
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [4p.] Wyznaczyć wartości parametrów k, m ∈ R tak, aby funkcja h(x)
h(x) =
x · | sin k|
dla
x ¬ −1
x
1 + e
x
1+x
dla
−1 < x < 0
3
2m
− 3
m
dla
x = 0
arcctg (1 − ln
√
x)
dla
x > 0
była ciągła dla dowolnej liczby rzeczywistej.
4. [4p.] Wyznaczyć f
0
(a), gdzie
f (x) =
b
2
x
x
parametr a jest rozwiązaniem równania
√
x + 1 = x − 5, natomiast b otrzymamy obliczając
b = 4 sin 105
◦
· cos 105
◦
[2p.] b) Wykorzystując różniczkę zupełną funkcji obliczyć przybliżoną wartość ln(1, 01).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [4p.] Znaleźć wszystkie asymptoty funkcji g(x) = 2x · arctg
1
x
2
.
6. [4p.] a) Zbadać monotoniczność oraz wyznaczyć wartość najmniejszą i największą funkcji
h(x) =
1
x
− ln
1
x
w przedziale x ∈ he
−1
, ei.
[2p.] b) Korzystając z definicji wyprowadzić wzór na pochodną funkcji y = sin 3x.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [3p.] Wykorzystując wzór Maclaurina przybliżyć funkcję
f (x) = arctg x
wielomianem trzeciego stopnia.