Egzamin połówkowy z przedmiotu „Analiza matematyczna i algebra liniowa”
WETI, kierunek EiT (gr. 1-7), 1 sem., r. ak. 2008/2009
1. [4p.] Dla jakich wartości parametrów m, k ∈ R funkcja f (x) jest ciągła w punkcie x
0
= 0?
Sprawdzić ciągłość funkcji dla pozostałych x ∈ R \ {0}. Jeśli istnieją punkty nieciągłości,
określić ich rodzaj.
f (x) =
arctg
√
2 − e
x
4−x2
dla
x < −2
π
2
(x + 2)
dla
−2 ¬ x < 0
|π sin(k)|
dla
x = 0
1
m
2
·
2
1
x
− 1
2
1
x
+ 1
dla
x > 0
2. [4p.] a) Wyznaczyć pochodną funkcji
f (x) =
a
s
2 ln
sin
x
b
gdzie a jest rozwiązaniem równania 2
2x
+ 2
x
= 20, natomiast b = lim
n→∞
n! − 2
n! + 3
!
n!
2
.
[2p.] b) Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej wyprowadzić wzór na po-
chodną y = log x.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [4p.] a) Wyznaczyć równanie normalnej do wykresu funkcji g(x) =
1 + ln x
ex
w punkcie będącym
jej punktem przegięcia.
[2p.] b) Korzystając z różniczki zupełnej obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia ln
2009
2008
.
4. [4p.] Obliczyć całki
a)
Z
cos(ln x)dx
b)
Z
ln x
3
√
x
!
2
dx
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [4p.] a) Obliczyć całkę
Z
3
√
2 − 3x dx
√
2 − 3x − 8
[2p.] b) Wyprowadzić wzór na
Z
f
0
(x)
f
2
(x)
dx.
6. [4p.] Obliczyć całki
a)
Z
dx
sin
2
x cos
4
x
b)
Z
(1 + e
x
)
2
1 + e
2x
dx
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [3p.] Obliczyć pochodną funkcji
y = (sin x)
(x)
log x