Egzamin połówkowy z przedmiotu „Analiza matematyczna i algebra liniowa”
WETI, kierunek AiR, 1 sem., r. ak. 2009/2010
1. [4p.] Wyznaczyć wartości parametrów m, k ∈ R tak, aby funkcja f(x) była ciągła dla dowolnego
x
∈ R
f
(x) =
2
π
· arcctg
sin |2x|
x
2
!
dla x < 0
k
2
− 1
dla x = 0
1
π
1
−
x
x
+ cos(m)
dla 0 < x ¬ 1
x
ln |1 − x|
+ 1
dla x > 1
Dla obliczonej nieujemnej wartości parametru k wyznaczyć dziedzinę i przeciwdziedzinę funkcji
g
(x) = 3 arc sin
2x + 3
k
−
π
2
2. [4p.] Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji h(x) = (sin x)
x
ln a
w punkcie o współrzędnej
x
0
= b ·
π
2
, gdzie a = lim
n→∞
2n + 1
2n − 1
5n
, natomiast b jest dodatnim pierwiastkiem równania
x
2
+ 2x − 3 = 0.
[2p.] b) W oparciu o definicję granicy ciągu pokazać, że liczba g = 2 jest granicą ciągu o wyrazie
ogólnym a
n
=
2n−1
n
+2
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [4p.] a) Wyznaczyć ekstrema oraz przedziały, w których funkcja y =
3
√
x
2
e
−x
jest jednocześnie
rosnąca i wypukła w górę.
[2p.] b) Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej wyprowadzić wzór na pochodną
funkcji y = arc sin x.
4. [4p.] Obliczyć całki
a)
Z
e
−x
arcctg (e
x
) dx
b)
Z
ln x
√
x
3
!
2
dx
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [4p.] a) Obliczyć całkę
Z
dx
sin
2
x
+ sin x cos x + 2 cos
2
x
[2p.] b) Wyprowadzić wzór rekurencyjny na
Z
tg
n
x dx
.
6. [4p.] Obliczyć całkę
Z
e
αx
sin βxdx,
gdzie α jest równe kwadratowi skalarnemu wektora ~u = [1, 2], a β jest promieniem okręgu o
równaniu x
2
+ y
2
− 2x + 4y + 1 = 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [3p.] Korzystając z rozwinięcia Taylora przedstawić wielomian
W
(x) = x
5
− x
3
+ x − 1
w postaci sumy potęg dwumianu x − 1.