J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Egzamin nr 2, rok akad. 2010/2011 • KMBiM WILiŚ PG
TEORIA
SPRĘŻYSTOŚCI I PLASTYCZNOŚCI
EGZAMIN NR 2, ROK AKAD. 2010/2011
• 15. 09. 2011r. • KMBiM WILi
Ś PG
Czas trwania egzaminu: 120 minut (2 godz.)
Uwagi:
•
Każde z zadań części zadaniowej należy rozwiązać na osobnej kartce
(kartkach), natomiast wszystkie zadania
części teoretycznej należy rozwiązać na
jednej kartce!
•
Wszystkie kartki należy podpisać (imię, nazwisko, numer indeksu, grupa)!
• W
przypadku braku rozwiązania zadania (zadań) także należy oddać podpisaną
kartkę (kartki)!
C Z Ę Ś Ć Z A D A N I O W A
ZADANIE 1:
Dana jest tarcza o grubości g (Rys. 1)
a)
Określić stan naprężenia (obliczenie i rysunek) we wskazanych punktach A, B, i
C tarczy.
b)
Przyjmując, że miarą wytężenia w punkcie jest wartość bezwzględna
ekstremalnych naprężeń stycznych (hipoteza Treski) podać, w którym z punktów
wytężenie, jest największe a w którym najmniejsze.
Wzór ogólny (Rys. 2):
(
)
(
)
1
2
2
cos
2
sin
2
sin 2
2
sin 2
rr
P
P
g
r
g
r
ϕ
ϕ
σ
α
α
α
α
=
−
+
−
Rys. 1
ZADANIE 2:
Stan naprężenia w punkcie dany jest tensorem
[
]
15
0
8
0
6
0
MPa
8
0
3
σ
−
=
−
Stosując niezależnie hipotezy Treski i H-M-H obliczyć zapas
bezpieczeństwa przyjmując, że wszystkie składowe naprężenia rosną
równomiernie.
Przyjąć
0
25MPa
σ
=
ZADANIE 3:
Dane są dwa stany naprężenia tarczy
półnieskończonej wg Rys. 3 o grubości g.
a)
Podać w układzie
1 2
Ox x
, analitycznie i graficznie, stan
naprężenia w punkcie A w obu przypadkach,
b)
Stosując hipotezę H-M-H określić, w którym ze stanów
panuje większe naprężenie
Wzór H-M-H
2
2
2
11
22
11
22
12
3
z
σ
σ
σ
σ σ
σ
=
+
−
+
Rys. 2
Rys. 3
Wzory (Rys. 4):
3
1
11
4
2P x
g r
σ
π
= −
,
2
1 2
22
4
2P x x
g r
σ
π
= −
,
2
1
2
12
21
4
2P x x
g r
σ
σ
π
=
= −
C Z Ę Ś Ć T E O R E T Y C Z N A
1. Poda
ć warunki brzegowe krawędzi AB, BC i CD płyty kwadratowej
o boku a (Rys. 5).
2.
Narysować w PSN obszary bezpieczne, odpowiednio wg hipotez: Treski i H-M-H,
przy
0
20 MPa
σ
=
Zaznaczyć na otrzymanym rysunku stany
Rys. 4
A:
[
]
18
0
0
0
10
0
MPa
0
0
0
σ
=
, B:
[
]
10
0
0
0
12
0
MPa
0
0
0
σ
=
−
Skomentować otrzymane rezultaty.
3.
Skąd wynikają wnioski o symetrii tensorów:
–
małych odkształceń
ε
,
–
naprężeń (Cauchy)
σ
?
Rys. 5
4.
Opisać założenia: małych przemieszczeń i małych odkształceń w opisie stanu geometrycznego ciała stałego.
1
x
r
ϕ
α
α
g
×
2
x
1
P
2
P