Kombinacje obciążeń wg PN-EN

Kombinacje obci

ąż

wg PN-EN 1990 (Eurokod EC0).

Wprowadzenie

Leszek Chodor

leszek@chodor.co

[2013-04-27, 2013-05-16 10:52, 2013-05-24 19:56, 2013-05-30 22:53]; 2013-06-17 20:59

1 Wprowadzenie

1.1 Formuły kombinacyjne

Do sprawdzania stanu granicznego no

ci ( symbol STR) nale

y przyjmowa

kombinacje oddziaływa

jako najmniej korzystne spo

ród wyznaczonych z zale

no-

ci (6.10a) i (6.10b) EC0 (Eurokodu 0, tj. PN-EN 1990).

gdzie:

k,j

– j-te

charakterystyczne (indeks k) obci

ąż

enie stałe (symbol G)

k,1

– 1-sze (zwane wiod

cym) charakterystyczne obci

ąż

enia zmienne (symbol Q)

k,i

–

i-te (zwane towarzysz

cym) charakterystyczne obci

ąż

enia zmienne

j ,

Q,1

Q,i

– współczynnik obci

ąż

enia: obci

ąż

enia stałego j-tego, zmiennego

wiod

cego i zmiennych towarzysz

cych odpowiednio

– współczynnik redukcyjny obci

ąż

enia stałego j-tego

0,1

0,i

– współczynnik dla warto

ci kombinacyjnej obci

ąż

enie zmiennego , od-

powiednio wiod

cego i towarzysz

cego

Uwaga: stosuje si

jeszcze współczynniki:

– współczynnik dla warto

ci cz

stej i współczynnik dla warto

ci prawie stałej obci

ąż

enie zmiennego. Takimi sytua-

cjami nie b

dziemy si

zajmowa

w niniejszym opracowaniu.

Formuły (6.10a i 6.10b) mo

na słownie wyrazi

nast

puj

co:

Formuła (6.10a): obci

ąż

enie stałe nie podlega redukcji (

=1), ale jednocze

nie re-

dukcji podlegaj

wszystkie obci

ąż

enia zmienne (wiod

ce oraz towarzysz

ce)

Formuła (6.10b): obci

ąż

enie stałe podlega redukcji (

=0,85), ale obci

ąż

enie zmien-

ne wiod

ce Q

nie podlega redukcji, cho

redukowane s

obci

ąż

enia zmienne towa-

rzysz

ce Q

Obci

ąż

enie zmienne towarzysz

ce musz

liwe fizycznie. W jednej kombina-

cji nie mo

e uwzgl

dnia

jednocze

nie wykluczaj

cych si

obci

ąż

. Na przykład

li uwzgl

dniamy wiatr z jednego kierunku, to nie bierzemy pod uwag

wiatru z

drugiego kierunku.

1.2 Cz

ęś

ciowe współczynniki bezpiecze

stwa

Warto

ci współczynników wyst

puj

cych w formułach kombinacyjnych s

nast

pu-

ce:

1.2.1 Współczynniki obci

ąż

obci

ąż

enia stałego

= 1,35

obci

ąż

enia zmiennego

= 1,5

Uwaga: Warto

ci obliczeniowe oddziaływania F

(indeks d- design)

rep

(F=G lub Q)

iloczynem warto

ci reprezentatywnej F

rep

i współczynnika obci

ąż

Wartością reprezentatywną oddziaływania

rep

e by

warto

ść

charakterystycz-

na F

lub warto

ść

towarzysz

Warto

ść

charakterystyczna oddziaływania F

jest podstawow

reprezentatywn

war-

oddziaływania. Mo

na j

ustali

na podstawie danych statycznych; dobiera

je w taki sposób

aby odpowiadała ona zadanemu prawdopodobie

stwu nie-

przekroczenia w niekorzystn

stron

w trakcie :”okresu odniesienia”. Uwzgl

dnia

, przy tym przewidywany okres u

ytkowania konstrukcji i czas trwania sytuacji ob-

liczeniowej.

Warto

ść

charakterystyczn

nazywa si

zwykle warto

nominaln

lub miarodajn

W ogólno

ci nie jest to warto

ść

rednia, tylko kwantyl zmiennej losowej, to znaczy

warto

ść

oczekiwana powi

kszona (lub pomniejszona) o iloczyn współczynnika nie-

zawodno

i odchylenia standardowych na zadanym poziomie ufno

ci. Zwykle w

budownictwie i architekturze przyjmuje si

=3,8, oraz „okres odniesienia” 50 lat.

Nale

y zwróci

uwag

e do oblicze

nale

y przyjmowa

warto

ci obliczeniowe z

uwzgl

dnieniem współczynników kombinacyjnych, to jest „sum

” obci

ąż

uwzgl

dnieniem redukcji obci

ąż

w sytuacjach kombinacyjnych.

Uwaga

Podane wy

ej warto

ci współczynników obci

ąż

dotycz

sytuacji, gdy obci

ąż

enie

działa niekorzystnie (przykładem jest sytuacja, w której obci

ąż

enie stałe wzmaga

efekt wiatru, bo wiatr napiera na poła

z góry – wówczas oba obci

ąż

enia s

nieko-

rzystne).

Natomiast w przypadku działania korzystnego nale

y przyjmowa

= 1,00

= 0,00

W przypadku działania korzystnego obci

ąż

enia stałego nie nale

y go redukowa

(

=0,85), a jednocze

nie w

ród obci

ąż

zmiennych wybieramy obci

ąż

enie wiod

bez redukcji, a pozostałe (towarzysz

ce) obci

ąż

enia zmienne redukujemy.

Przykład: Sytuacja, w której wiatr działa ss

co na poła

. Wówczas nale

y sprawdzi

kombinacj

, w której

, = 1,00, dla wiatru

=1,5, a dla innych (towarzysz

cych)

obci

ąż

zmiennych niekorzystnych (wzmagaj

cych działanie wiatru dajemy

=1,5 i redukujemy je, a dla pozostałych obci

ąż

zmiennych korzystnych (zmniej-

szaj

cych działanie wiatru) stosujemy

=0,0.

1.2.2 Współczynniki redukcyjne

Współczynnik redukcyjny (obci

ąż

enie stałego)

= 0,85

Współczynniki dla warto

ci kombinacyjnych (redukcyjne obci

ąż

zmiennych)

0,7 dla obci

ąż

zmiennych w budynkach dla powierzchni kategorii: A -mieszkalne,

biurowe, C- miejsca zebra

, D- powierzchnie handlowe, F i G- powierzchnie ruchu

pojazdów

1,0 dla obci

ąż

zmiennych w budynkach dla powierzchni kategorii: E –

magazynowe

0,0 dla obci

ąż

zmiennych w budynkach dla powierzchni kategorii: H –dachy bez

stałego dost

0,5 dla obci

ąż

enia budynku

niegiem w Polsce – miejscowo

ci na wysoko

H<=1000 m nad poziomem morza

0,7 dla obci

ąż

enia budynku

niegiem w Polsce – miejscowo

ci na wysoko

H>1000 m nad poziomem morza

0,6 dla obci

ąż

enia wiatrem

0,6 dla obci

ąż

enia temperatur

(niepo

arow

)

Uwagi:

1. Zaleca si

aby efekty oddziaływa

, które ze wzgl

dów fizycznych b

z uwagi na

przewidywane u

ytkowanie nie mog

wyst

równocze

nie, nie były uwzgl

dniane

cznie w jednej kombinacji

(przykład wiatr z lewej i wiatr z prawej jednocze

nie – nie kombinujemy)

2. Warto

ci charakterystyczne wszystkich oddziaływa

stałych, pochodz

cych z jedne-

ródła mno

y si

przez

= 1,35, je

eli cały wynikaj

cy stad efekt jest nie-

korzystny, a przez

= 1,00 je

li jest korzystny. Np. wszystkie oddziaływania

pochodz

ce od ci

ęż

aru własnego konstrukcji mo

na uwa

za pochodz

z jednego

ródła; dotyczy to równie

przypadku, kiedy materiały s

ró

ne.

1.3 Uwagi o stanach granicznych konstrukcji

Jako miarodajne nale

y sprawdzi

nast

puj

ce stany graniczne:

EQU: Utrata równowagi statycznej konstrukcji lub jakiejkolwiek jej cz

ęś

ci,

uwa

anej za ciało sztywne , kiedy:

- małe zmiany warto

ci lub rozkładu w przestrzeni oddziaływa

, wywołanych

przez jedn

przyczyn

mog

znacz

- wytrzymało

ść

materiałów konstrukcji lub podło

a na ogół jest bez znaczenia

STR: Zniszczenie wewn

trzne lub nadmierne odkształcenia konstrukcji lub

elementów konstrukcji, ł

cznie ze stopami fundamentowymi, palami,

cianami cz

ci podziemne, itp., np. w przypadku których decyduj

ce znaczeni ma wytrzymało

ść

materiałów konstrukcji

GEO: Zniszczenie lub nadmierne odkształcenie podło

a, kiedy istotne zna-

czenie dla no

ci konstrukcji ma wytrzymało

ść

podło

a lub skały

FAT: Zniszczenie zm

czeniowe konstrukcji lub elementu konstrukcji

W stanie granicznym równowagi (EQU) , np. wypór obiektu przez wod

gruntow

wyznaczenia warto

ci obliczeniowych stosuje si

współczynniki zgodnie z tabl

A1.2(1) EC0

W stanie granicznym geotechnicznym GEO, np. no

ść

fundamentów do wyzna-

czania warto

ci obliczeniowych nale

y stosowa

zalecenia zawarte w tab. A.1.2(B)

oraz A.1.2(C)

Wyj

tkowe i sejsmiczne kombinacje oddziaływa

nale

y przyjmowa

zgodnie z pkt

A1.3.2 EC0 oraz tabl. A1.3 EC0

Dla stanów granicznych u

ytkowalno

ci nale

y stosowa

zasady podane w pkt A1.4

EC0. Sprawdzeniu podlegaj

w szczególno

ci odkształcenia i przemieszczenia

poziome , ugi

cia pionowe, drgania oraz zarysowania (np. w konstrukcjach

elbetowych)

Stanami granicznymi EQU,

GEO, FAT oraz u

ytkowalno

ci nie b

dziemy zajmowa

w niniejszym opracowaniu

1.4 Proste przykłady wyznaczenia warto

ci kombinacyjnych

1.4.1 Przykład 1 [obci

ąż

enie obiektu]

Wyznaczy

obci

ąż

enia kombinacyjne działaj

ce na poła

dachow

budynku, przy

wyznaczonych obci

ąż

eniach prostych:

a) Oddziaływania stałe:

#1 Ci

ęż

ar własny konstrukcji

0,4 kN/m

#2 Ci

ęż

ar pokrycia dachowego

0,35 kN/m

b) Oddziaływania zmienne

#3 Obci

ąż

enia podwieszone

0,5

kN/m

(przyj

te jako zmienne elementy instalacji oraz architektury)

#4 Obci

ąż

enie u

ytkowe dachu od obsługi dla dachu kat. H 0,4 kN/m

nieg 0,72 kN/m

#6 Wiatr ssanie na poła

0,4 kN/m

#7 Wiatr parcie na poła

(otwarte bramy) 0,2 kN/m

Rozwi

zanie

Przyj

to nast

puj

c kombinacje:

(6.10a):
K1 = 1,35*(#1+ #2) +1,5*(0,7#3+ 0,0#4 + 0,5#5 + 0,6#7)
=1,35(0,4+0,35)+1,5*(0,7*0,5+0*0,4+0,5*0,72+0,6*0,2)
= 2,26

kN/m

(6.10b):

K2 =1,35*0,85(#1+#2)+1,5*#4+1,5*(0,7#3+0,5#5+0,6#7)

=1,15*(0,4+0,35)+1,5*(0,4+0,7*0,5+0,5*0,72+0,6*0,2)==2,71 kN/m

K3 =1,35*0,85(#1+#2) +1,5#5+1,5*(0,7#3 +0,0#4+0,6#7)
=1,15*(0,4+0,35)+1,5*(0,72+0,0*0,4+0,7*0,5+0,6*0,2)=2,65 kN/m

(6.10) dla działania korzystnego obci

ąż

enia stałego dla sytuacji obliczeniowej

maksymalnego odrywania dachu – ssania wiatru

K4 = 1,0*(#1+#2)+1,5#6+0,0*(0,7#3++0,0#4+0,5#5)=1,0*(0,4+0,35)+1,5*(-0,4)=0,15
kN/m

Wyniki:

1) do oblicze

przyj

to obci

ąż

enie 2,71 kN/m

2) nie wyst

pi odrywanie dachu przez wiatr - w kombinacji K4 wynikowe

obci

ąż

enie dachu działa w dół.

1.4.2 Przykład 2 [obci

ąż

enia elementu]

Wyznaczy

obliczeniow

(kombinacyjn

) reakcj

podci

gu stropu w budynku biuro-

wym. Podci

g ma schemat statyczny belki wolnopodpartej o długo

ci obliczeniowej

L=7,5 m jest obci

ąż

ony nast

puj

co:

rodku rozpi

cian

z wy

szych kondygnacji, której reakcja oddziałuje

sił

skupion

o warto

#1 od ci

ęż

aru stałego wy

szej kondygnacji

100 kN; reakcja 100/2=50 kN

#2 od

niegu

110 kN; reakcja 110/2=55 kN

na całej długo

ci obci

ąż

eniem równomiernie rozło

onym od stropu mi

dzykon-

dygnacyjnego

#3 ci

ęż

ar własny stropu i podci

14 kN/m;

reakcja 14*7,5/2=52,5 kN

#4 obci

ąż

enie u

ytkowe

18 kN/m;

reakcja 18*7,5/2= 67,5 kN

Rozwi

zanie

Reakcja obliczeniowa belki wynosi:

(6.10a):
K1 = 1,35 (#1+#3) +1,5*[0,5#2+0,7#3)
=1,35*(50+52,5)+1,5*(0,5*55+0,7*67,5)=250,5

(6.10b):
K2 =1,35*0,85(#1+#3)+1,5*(#2+0,7#4)
=1,15(50+52,5)+1,5*(55+0,7*67,5)= 271,3 kN
K3  =1,35*0,85(#1+#3)+1,5*(#4+0,5#2)  =1,15*(50+52,5)+1,5*(67,5+0,5*55)=  260,4
kN

Do dalszych oblicze

przyj

to 271,3 kN

2 Oszacowania obliczeniowych sił przekrojowych

2.1 Wyznaczanie sił przekrojowych lub reakcji podpór

Sposoby obliczania reakcji podpór lub sił przekrojowych w prostych schematach
konstrukcji statycznie wyznaczalnych podano w podr

czniku:

Janik G., Konstrukcje budowlane. Statyka budowli. Podr

cznik dla technikum ,

WSiP, Warszawa 2004

2.2 Technika obliczeniowa

Podstawow

zasad

wykorzystan

w przedstawionej metodzie obliczeniowej jest

zasada superpozycji skutków słuszna w zakresie spr

ęż

ysto-liniowej pracy

konstrukcji.

Zasada superpozycji skutków:

Gdy działa kilka przyczyn, skutek jest równy sumie skutków od pojedynczych
przyczyn.

W celu wyznaczenia siły przekrojowej lub reakcji od kilku obci

ąż

prostych

wykonamy nast

puj

ce kroki:

Krok 1:

Obci

ąż

enia proste tej samej natury (o tych samych współczynnikach obliczeniowych

oraz redukcyjnych) oznaczamy kolejnymi numerami, np.:

#1 – obci

ąż

enie stałe

#2 – obci

ąż

enie

niegiem

#3.1 obci

ąż

enie wiatrem-schemat 1

#3.2. obci

ąż

enie wiatrem-schemat 2

#4 obci

ąż

enie u

ytkowe - kat H

#5 obci

ąż

enie u

ytkowe - kat B

# n …

Krok 2:

Wyznaczamy poszukiwan

sił

przekrojow

lub reakcj

dla poszczególnych

schematów obci

ąż

charakterystycznych wyznaczonych w kroku 1. Indeks (k)

oznacza rekcj

wywołan

obci

ąż

eniem prostym charakterystycznym. Wyznaczamy

kolejno

k,…,

Sposoby wyznaczania X s

standardowe (poz. 5.1.)

Krok 3:

Warto

ci obliczeniowe X

siły lub reakcji X, wyznaczamy z formuł kombinacyjnych,

podstawiaj

c w miejsce G lub Q odpowiednie siły wyznaczone w kroku 2. Siły te

stowarzyszone s

ze współczynnikami obci

ąż

enia i współczynnikami redukcyjnymi

stosownie do swej natury i rozpatrywanej sytuacji obliczeniowej.

Wnioski:

Podsumowuj

c, zaleca si

najpierw wyznaczenie siły przekrojowej lub reakcji od

obci

ąż

prostych charakterystycznych , a warto

ci kombinacyjne (zredukowane

obliczeniowe) wyznaczamy, stosuj

c współczynniki obci

ąż

i współczynniki

redukcyjne dla wyznaczonych reakcji prostych.

3 Przykłady

3.1 Przykład: Belka L02 (2013-05-08)

Wyznaczymy maksymalny i minimalny obliczeniowy moment zginaj

cy w przekroju

a-a

belki pokazanej na rysunku L02 belka (2013-05-08)

Krok 1:

Belka obci

ąż

ona jest obci

ąż

eniami prostymi o ró

nej naturze, które oznaczymy

nast

puj

co:

#1 obci

ąż

enie stałe G (rozło

one 5 kN/m na odcinku 4m)-

Uwaga: W ogólno

ci G mo

e działa

na ró

ne miejsca konstrukcji i zawsze mo

oznaczone jednym symbolem, bowiem ma takie same współczynniki obci

ąż

oraz współczynniki redukcyjne

#2 obci

ąż

enie zmienne Q (kat E) (rozło

one 6 kN/m na odcinku 4m)

#3 obci

ąż

enie zmienne Q (kat H) (skupione 300 kN na ko

cu wspornika)

nieg S (rozło

one 3 kN/m na odcinku 3m)

#5 wiatr1 W+ (rozło

one + 2 kN/m na odcinku 3 m)

#6 wiatr2 W- (rozło

one - 2 kN/m na odcinku 3 m)

Uwaga:
1) obci

ąż

enia #2 i #3 rozró

niamy, poniewa

maj

inne współczynniki redukcyjne,

2) obci

ąż

enia #5 i #6 rozró

niamy, poniewa

mog

mie

inne współczynniki

obci

ąż

(działanie korzystne-niekorzystne)

Krok 2: Siła przekrojowa od prostych obci

ąż

#1 (stałe)

⋅

(= + 5 kN)

⋅

−

(=5*4= + 20 kNm)

#2 (kat. E)

⋅

(= + 6 kN)

⋅

−

(=6*4= + 24 kNm)

#3 (kat. H)

300

⋅

(= + 412,5 kN)

300

⋅

−

⋅

−

(= -

450

kNm)

#4 (

nieg)

)

(

⋅

(=+ 10,7 kN)

)

(

⋅

−

⋅

−

(= -

6,75

kNm)

#5 (Wiatr1)

)

(

⋅

(= + 7,13 kN)

)

(

⋅

−

⋅

−

(= -

4,5

kNm)

#6 (Wiatr2)

)

(

)

(

⋅

−

⋅

(= -

7,13

kN)

)

(

)

(

⋅

−

⋅

−

(= + 4,5 kNm)

Krok 3: Sytuacje kombinacyjne

K1: maksymalna siła

−

bez redukcji G oraz bez S i +W (ujemne momenty). ale z

-W

)

(

−

⋅

(= -61,5 kNm)

lub

K2: maksymalna siła

−

z redukcj

G, wiod

ce Q (kat.H)

)

(

−

⋅

lub …

K3: minimalna siła

−

korzystne działanie G, Q(kat.E),+W, wiod

Q(kat.H)

)

(

)

(

−

⋅

3.2 Przykład: Rama L02 (2013-05-08)

Wyznaczymy maksymaln

i minimaln

obliczeniow

reakcj

V ramy pokazanej na

rysunku L02 rama (2013-05-08)

#3 (

nieg)

⋅

(= +7,5 kN)

#4 Wiatr1 rygiel

⋅

(=+ 4,0 kN)

#5 Wiatr2 rygiel

)

(

⋅

−

(= -

4,0

kN)

#6 Wiatr1 słup

⋅

(= + 1,96 kN)

#6 Wiatr2 słup

)

(

⋅

−

⋅

(= -

1,96

kN)

Krok 3: Sytuacje kombinacyjne

zgodnie ze znanymi regułami …

3.3 Przykład L01, rz

d 1 (2013-05-23)

Wyznaczmy maksymaln

i minimalna obliczeniow

(indeks (d)) reakcj

podporow

w utwierdzeniu pkt (A) belki pokazanej na rysunku.

Belka obci

ąż

ona jest:

•

w przegubie (B) sił

skupion

o warto

ci 100 kN od oddziaływa

stałych i o

warto

ci 50 kN od oddziaływa

ytkowych pomieszcze

kategorii C2.

•

w prz

ęś

le (C-D) obci

ąż

eniem rozło

onym 3 kN/m od obci

ąż

enia

niegiem

oraz 2 kN/m od oddziaływa

stałych

•

w w

ęź

le (D) momentem skupionym od wiatru o warto

ci +10 kNm lub -10

kNm w zale

ci od kierunku wiatru.

Uwaga: Na rysunku zdefiniowano podporow

reakcj

( symbol momentu naniesiony

lini

przerywan

) jako moment prawoskr

tny.

Poszukiwa

dziemy maksymalnego i minimalnego momentu o zwrocie

zdefiniowanym na rysunku ( najwi

kszego i najmniejszego z uwzgl

dnieniem

znaku).

3.3.1 Definicja obci

ąż

prostych

Na belk

działaj

obci

ąż

enia proste, które numerujmy zale

nie od ich natury:

#1 obci

ąż

enia stałe

#2 obci

ąż

enie

niegiem

#3 obci

ąż

enie u

ytkowe (kat C2)

#4 obci

ąż

enie wiatrem +(plus) 10 kNm

#5 obci

ąż

enie wiatrem – (minus) 10 kNm

Uwaga: Obci

ąż

enia tej samej natury maj

takie same współczynniki obci

ąż

oraz

współczynniki redukcyjne (kombinacyjne)

3.3.2 Siły od obci

ąż

prostych (tej samej natury)

Najpierw znajdziemy moment podporowy M

kolejno od obci

ąż

prostych.

Rozwi

zujemy belk

obci

ąż

TYLKO jednym obci

ąż

eniem prostym. Inne

obci

ąż

enia pomijamy.

#1 obci

ąż

enie stałe

Rozwi

ąż

emy belk

Uwaga:

1) Podpory zast

pili

my siłami reakcji.

2) Na lewy koniec belki działa moment M

przeciwnie skierowany do reakcji

(moment lini

przerywan

na rysunku zadania i moment lini

gł

wyt

ęż

ruby).

W celu lepszego zrozumienia zadania przyj

my ,

e belka jest

przytwierdzona do podpory za pomoc

dwóch

rub:

ruba górna (g) oraz

ruba dolna (d).

Poszukujemy sił wyt

ęż

cych te

ruby. Je

li M

jest dodatni (zgodnie z

definicj

dodatniego zwrotu przyj

na wst

pie), to rozci

gane s

ruby )(d).

li M

jest ujemny, to rozci

gane s

ruby (g)

3) Podpora przesuwna ustawiona pod k

tem

do pr

ta powoduje ,

e kierunek

reakcji R jest ustalony i składowe pozioma R

oraz pionowa R

zwi

zane

cisłymi zale

ciami, pokazanymi na rysunku. Wystarczy wyznaczy

dowoln

składow

(R lub R

lub R

). Zauwa

my ponadto,

e składowa R

nie

daje momentu wzgl

dem osi belki. Składow

nietrywialn

jest R

i t

dziemy wyznacza

. W rozwa

anym zadaniu pochylenie podpory mo

emy

zignorowa

Do wyznaczenia M

potrzebujemy znajomo

ci reakcji R

Reakcja R

Równania równowagi belki daj

zapisujemy w postaci układu równa

∑

X=0 (1)

∑

Y=0 (2)

∑

=0 (3)

gdzie (O) jest dowolnym punktem na płaszczy

nie.

∑

C [prawa lub lewa]

=0 (4)

W rozwa

anym przypadku mamy:

)

(

→

, gdzie R

– pozioma reakcja w utwierdzeniu

Zauwa

amy,

e równanie (1) nie jest przydatne do wyznaczenia R

C,x

i dalej je

pomijamy.

)

(

→

Zauwa

amy,

e równie

równanie (2) nie jest przydatne do wyznaczenia R

C,y

i dalej

je pomijamy.

)

(

100

)

(

)

(

⋅

−

⋅

→

Zauwa

amy,

e w równaniu (3) mamy dwie poszukiwane niewiadome, wi

c równie

nie jest u

yteczne.

Powinni

my od razu zauwa

e równaniem wła

ciwym do wyznaczenia R

C,y

jest

(4), to znaczy warunek,

e w przegubie moment, liczony jak siła przekrojowa (suma

momentów prawej lub lewej strony przegubu) musi by

zerowy

)

(

)

(

⋅

→

⋅

−

⋅

→

(=16,25kN)

d mogliby

my wyznaczy

C,y

/sin

oraz R

C,X

=R cos

, lecz jest to

zbyteczne.

Moment M

Teraz, znaj

c wszystkie siły z lewej strony podpory obliczymy moment podporowy

jako sił

przekrojow

, licz

c lewostronnie:

kNm

375

)

(

100

−

→

⋅

−

⋅

#2 obci

ąż

enie

niegiem

Rozwi

ąż

emy belk

Reakcja R

)

(

)

(

⋅

→

⋅

−

⋅

→

(=24,375 kN)

Moment M

kNm

)

(

375

→

⋅

−

⋅

−

#3 obci

ąż

enie u

ytkowe (kat C2)

Rozwi

ąż

emy belk

Reakcja R

)

(

→

⋅

→

(=0 kN)

Moment M

kNm

200

−

→

⋅

#4 obci

ąż

enie wiatrem +10 kNm

Rozwi

ąż

emy belk

Reakcja R

⋅

→

−

⋅

→

)

(

(=2,5 kN)

Moment M

kNm

→

−

⋅

−

#5 obci

ąż

enie wiatrem -10 kNm

Rozwi

ąż

emy belk

Reakcja R

−

⋅

→

⋅

→

)

(

)

(

(=-2,5 kN)

Moment M

kNm

−

→

⋅

Zestawienie momentów podporowych dla prostych obci

ąż

#1 (stałe)

-375 kNm

#2 (

nieg)

+37,5 kNm

#3 (u

ytkowe kat C2)

-200 kNm

#4 (wiatr +10)

+10 kNm

#2 (wiatr -10)

-10 kNm

3.4 Kombinacje obci

ąż

3.4.1 Sytuacje kombinacyjne dla

max M

(max M

odpowiada rozci

ganiu dolnych ł

czników podporowych –

ruba (d))

K1 : #1 korzystne

kNm

309

)

200

(

)

375

(

−

⋅

−

⋅

−

⋅

Komentarz:

1) Obci

ąż

enie wiatrem #4 ma działanie niekorzystne i wzi

to je jako wiod

obci

ąż

enie zmienne. Wiatr #5 nie wyst

pi w kombinacji , bo nie mo

e działa

równocze

nie z #4.

2) w rozpatrywanej sytuacji kombinacyjnej obci

ąż

enie stałe #1 ma tylko działanie

korzystne, wi

c nie rozpatrujemy innych kombinacji

3) Wniosek:

ruby dolne(d) nigdy nie b

rozci

gane.

3.4.2 Sytuacje kombinacyjne dla

min MA

K2 : #1 bez redukcji

kNm

725

]

)

200

(

)

[)(

)

375

(

−

⋅

−

⋅

−

⋅

−

⋅

K3 : #1 z redukcj

, wiod

ce #3

kNm

739

]

)

[(

)

200

(

)

375

(

−

⋅

−

⋅

−

⋅

−

⋅

3.4.3 Rozwi

zanie zadania

kNm

309

max

−

kNm

739

min

−

3.5 Przykład L01, rz

d2 (2013--05-23).

Zamieszczono w pliku „Przykład L01 rz.2 (23-05-2013).pdf”

3.6 Przykład L01, rz

d 3 (2013-05-23).

Zamieszczono w pliku „Przykład L01 rz.3 (23-05-2013).pdf”

3.7 Przykład L04, rz

d 1 (2013-05-29)

Wyznaczy

maksymaln

i minimaln

, obliczeniow

reakcj

poziom

podpory A

konstrukcji pokazanej na rysunku:

Poszukiwan

reakcj

oznaczono jako H

, a jej dodatni zwrot przyj

to w prawo. Tak

definicj

oznaczono lini

przerywan

na rysunku. Reakcja maksymalna jest wi

najwi

ksz

dodatni

reakcj

oznaczon

na rysunku. Taka reakcja powoduje

dociskanie konstrukcji do podpory. Je

li najmniejsza warto

ść

tej reakcji b

dzie

ujemna, to b

dzie ona odrywa

konstrukcj

od podpory.

3.7.1 Analiza schematu konstrukcji

Sprawdzamy statyczn

wyznaczalno

ść

konstrukcji !

liwe równania do okre

lenia niewiadomych reakcji:

∑

X=0,

∑

Y=0,

∑

M=0 (r=3 równania równowagi konstrukcji jako cało

ci)

∑

przegub

=0 (p równa

, gdzie p-liczba przegubów)

W tym przypadku nie mo

emy zestawi

równania

∑

przegub

=0,

p=0

Liczba niewiadomych (reakcji H

, V

, H

, V

) wynosi

n=4

Stopie

statycznej niewyznaczalno

ci s:

s= n-r-p=4-3-0=1

Z analizy konstrukcji wynika, ze jest ona jednokrotnie statycznie niewyznaczalna.

Fakt ten zgłaszamy projektantowi i po obustronnym uzgodnieniu zwalniamy jeden
stopnie

swobody, w tym przypadku przesuw pionowy w podporze w pkt. E, co

oznaczono kolorem czerwonym na rysunku.

3.7.2 Definicja obci

ąż

prostych (tej samej natury)

Z analizy natury obci

ąż

, działaj

cych na konstrukcj

, wynika,

e mo

emy przyj

ąć

nast

puj

ce obci

ąż

enia proste:

#1 – obci

ąż

enia stałe (6 kN/m „+” 30 kN)

#2 – u

ytkowe, kat H ( 5 kN)

nieg (8 kN/m)

#4 wiatr 1 ( +60 kN)

#5 wiatr 2 (-60 kN)

3.7.3 Reakcja H

od obci

ąż

prostych

Analizujemy układ dla kolejnych obci

ąż

prostych. W schemacie prostym pomijamy

obci

ąż

enia przynale

ne do innych schematów. Konfiguracja geometryczna (w tym

podpory) układu konstrukcyjnego pozostaje niezmienna dla ka

dego schematu

obci

ąż

−

→

−

⋅

−

→

⋅

−

⋅

−

⋅

−

→

−

→

⋅

−

⋅

−

→

⋅

−

→

⋅

−

⋅

−

⋅

→

⋅

−

⋅

→

−

→

−

→

⋅

−

→

−

Zestawienie reakcji od prostych obci

ąż

#1 (stałe)

28 kN

#2 (u

ytkowe H)

3,33 kN

#3 (

nieg)

10,67 kN

#4 (wiatr 1

10,00 kN

#5 (wiatr 2)

-10,00 kN

3.7.4 Kombinacje obci

ąż

3.7.4.1

Sytuacja kombinacyjna

max H

W tej sytuacji kombinacyjnej poszukujemy takiego układu obci

ąż

, dla którego HA

osi

gnie warto

ść

maksymaln

Stale obci

ąż

enie działa w ka

dej kombinacji, a dla maksimum HA trzeba wzi

ąć

jeszcze u

ytkowe ,

nieg oraz wiatr 1 (wiatr2 pomijamy bo działa korzystnie w tej

sytuacji – pomniejsza HA ). Dla tych składowych przeliczamy poszczególne formuły
kombinacyjne:

K1 (stałe niekorzystne, bez redukcji)

)

(

⋅

(=54,80 kN)

K2 (stałe niekorzystne, z redukcj

, wiod

cy u

ytkowe)

)

(

⋅

(=57,13 kN) (=54,12 kN)

K3 (stałe niekorzystne, z redukcj

, wiod

nieg) (=54,80 kN)

)

(

⋅

(=55,13 kN) (=57,13 kN)

K4 (stałe niekorzystne, z redukcj

, wiod

cy wiatr)

)

(

⋅

(=55,13 kN)

3.7.4.2

Sytuacja kombinacyjna

minH

W tej sytuacji kombinacyjnej poszukujemy takiego układu obci

ąż

, dla którego H

osi

gnie warto

ść

minimaln

Poniewa

obci

ąż

enie stałe zwi

ksza reakcj

, wi

c w tej sytuacji kombinacyjnej jego

działanie jest korzystne. Rozpatrujemy wi

c TYLKO sytuacje z korzystnym

działaniem obci

ąż

enia stałego:

K5 (stałe korzystne, bez redukcji)

)

(

)]

[(

korzystne

zmienne

pozostało

⋅

−

⋅

(=13,00 kN)

3.7.5 Rozwi

zanie zadania

max

) (=57,13 kN)

min

(=13,00 kN)

3.8 Przykład L04, rz.2 (2013-05-20)

Wyznaczy

maksymaln

i minimaln

, obliczeniow

reakcj

poziom

podpory D na

konstrukcj

pokazan

na rysunku:

Poszukiwan

reakcj

oznaczono jako V

, a jej dodatni zwrot przyj

to w gór

. Tak

definicj

oznaczono lini

przerywan

na rysunku. Reakcja maksymalna jest wi

najwi

ksz

dodatni

reakcj

oznaczon

na rysunku. Taka reakcja powoduje

dociskanie konstrukcji do podpory. Je

li najmniejsza warto

ść

tej reakcji b

dzie

ujemna, to b

dzie ona odrywa

konstrukcj

od podpory.

3.8.1 Analiza schematu konstrukcji

Sprawdzamy statyczn

wyznaczalno

ść

konstrukcji.

W celu okre

lenia niewiadomych reakcji mamy do dyspozycji nast

puj

ce równania.

∑

X=0,

∑

Y=0,

∑

M=0, (czyli r=3 równania równowagi całej konstrukcji);

oraz

∑

przegub

=0 (p dodatkowych równa

sił wewn

trz konstrukcji)

W tym przypadku mo

emy zestawi

jedno równania

∑

przegub

=0 (w przegubie D),

p=1

Niewiadome s

reakcje: H

, V

, M

, V

), a ich liczba wynosi

n=5

Stopie

statycznej niewyznaczalno

ci s, wynosi

s= n-r-p=5-3-1=1

Z analizy konstrukcji wynika,

e jest ona jednokrotnie statycznie niewyznaczalna.

Fakt ten zgłaszamy projektantowi i po obustronnym uzgodnieniu zwalniamy jeden
stopnie

swobody. W tym przypadku uzgadniamy zwolnienie obrotu w podporze w

pkt. A, co oznaczono kolorem czerwonym na rysunku.

3.8.2 Definicja obci

ąż

prostych (tej samej natury)

Z analizy natury obci

ąż

, działaj

cych na konstrukcj

, wynika,

e mo

emy przyj

ąć

nast

puj

ce obci

ąż

enia proste, to znaczy takie, do których mamy takie dame

współczynniki obci

ąż

i redukcyjne:

#1 – obci

ąż

enia stałe (150 kN „+” 4 kN/m)

#2 – u

ytkowe, kat B ( 20 kNm)

nieg (150 kN)

#4 wiatr 1 ( +6 kN/m)

#5 wiatr 2 (-6 kN/m)

3.8.3 Reakcja H

od obci

ąż

prostych

Analizujemy układ dla kolejnych obci

ąż

prostych. W schemacie prostym

pomijamy (!) obci

ąż

enia przynale

ne do innych schematów. Konfiguracja

geometryczna (w tym podpory) układu konstrukcyjnego pozostaje niezmienna dla
ka

dego schematu obci

ąż

−

(1)

150

⋅

−

(2)

150

⋅

−

⋅

−

⋅

(3)

)

150

(

⋅

→

(2)

150

−

⋅

→

−

→

⋅

100

200

→

⋅

−

⋅

−

→

⋅

→

⋅

−

⋅

Zestawienie reakcji od prostych obci

ąż

#1 (stałe)

75 kN

#2 (u

ytkowe B)

-3,3 kN

#3 (

nieg)

100,0 kN

#4 (wiatr 1)

-12,5 kN

#5 (wiatr 2)

12,50 kN

3.8.4 Kombinacje obci

ąż

3.8.4.1

Sytuacja kombinacyjna

maxH

W tej sytuacji kombinacyjnej poszukujemy takiego układu obci

ąż

, dla którego H

osi

gnie warto

ść

maksymaln

Stałe obci

ąż

enie działa w ka

dej kombinacji. W sytuacji max H

obci

ąż

enie stałe ma

działanie niekorzystne. Niekorzystne obci

ąż

enia zmienne s

te, które powi

kszaj

poszukiwan

wielko

ść

, czyli w tym przypadku:

nieg oraz wiatr 2, a inne zmienne

ytkowe, wiatr 1) s

korzystne, bo pomniejszaj

poszukiwan

wielko

ść

K1 (stałe bez redukcji)

187

)]

(

[

)

100

(

−

⋅

(=187,50 kN)

K2 (stałe z redukcj

, wiod

nieg)

)]

(

[

)

(

100

−

⋅

(=247,31 kN)

K3 (stałe z redukcj

, wiod

cy wiatr)

(=54,80 kN)

)

(

⋅

(=55,13 kN) (=57,13 kN)

3.8.4.2

Sytuacja kombinacyjna

min H

W tej sytuacji kombinacyjnej poszukujemy takiego układu obci

ąż

, dla którego H

osi

gnie warto

ść

minimaln

Poniewa

obci

ąż

enie stałe ma w rozwa

anym przypadku zawsze działanie

korzystne, wi

c wystarczy rozpatrzy

tylko jedn

kombinacj

K4 (stałe korzystne)

)

(

)]

[(

korzystne

zmienne

pozostało

⋅

−

⋅

(=13,00 kN)

Rozwi

zanie zadania

max

(=57,13 kN);

min

(=13,00 kN)

3.9 Przykład L04, rz.2 (2013-05-20

Wyznaczy

maksymaln

i minimaln

, obliczeniow

reakcj

poziom

podpory D na

konstrukcj

pokazan

na rysunku:

Poszukiwan

reakcj

oznaczono jako V

, a jej dodatni zwrot przyj

to w gór

. Tak

definicj

oznaczono lini

przerywan

na rysunku. Reakcja maksymalna jest wi

najwi

ksz

dodatni

reakcj

oznaczon

na rysunku. Taka reakcja powoduje

dociskanie konstrukcji do podpory. Je

li najmniejsza warto

ść

tej reakcji b

dzie

ujemna, to b

dzie ona odrywa

konstrukcj

od podpory.

3.9.1 Analiza schematu konstrukcji

Sprawdzamy statyczn

wyznaczalno

ść

konstrukcji.

W celu okre

lenia niewiadomych reakcji mamy do dyspozycji nast

puj

ce równania.

∑

X=0,

∑

Y=0,

∑

M=0, (czyli r=3 równania równowagi całej konstrukcji);

oraz

∑

przegub

=0 (p dodatkowych równa

sił wewn

trz konstrukcji)

W tym przypadku mo

emy zestawi

jedno równania

∑

przegub

=0 (w przegubie D),

p=1

Niewiadome s

reakcje: H

, V

, M

, V

), a ich liczba wynosi

n=5

Stopie

statycznej niewyznaczalno

ci s, wynosi

s= n-r-p=5-3-1=1

Z analizy konstrukcji wynika,

e jest ona jednokrotnie statycznie niewyznaczalna.

Fakt ten zgłaszamy projektantowi i po obustronnym uzgodnieniu zwalniamy jeden
stopnie

swobody. W tym przypadku uzgadniamy zwolnienie obrotu w podporze w

pkt. A, co oznaczono kolorem czerwonym na rysunku.

3.9.2 Definicja obci

ąż

prostych (tej samej natury)

Z analizy natury obci

ąż

, działaj

cych na konstrukcj

, wynika,

e mo

emy przyj

ąć

nast

puj

ce obci

ąż

enia proste, to znaczy takie, do których mamy takie dame

współczynniki obci

ąż

i redukcyjne:

#1 – obci

ąż

enia stałe (150 kN „+” 4 kN/m)

#2 – u

ytkowe, kat B ( 20 kNm)

nieg (150 kN)

#4 wiatr 1 ( +6 kN/m)

#5 wiatr 2 (-6 kN/m)

3.9.3 Reakcja H

od obci

ąż

prostych

Analizujemy układ dla kolejnych obci

ąż

prostych. W schemacie prostym

pomijamy (!) obci

ąż

enia przynale

ne do innych schematów. Konfiguracja

geometryczna (w tym podpory) układu konstrukcyjnego pozostaje niezmienna dla
ka

dego schematu obci

ąż

−

(1)

150

⋅

−

(2)

150

⋅

−

⋅

−

⋅

(3)

)

150

(

⋅

→

(2)

150

−

⋅

→

−

→

⋅

100

200

→

⋅

−

⋅

−

→

⋅

→

⋅

−

⋅

Zestawienie reakcji od prostych obci

ąż

#1 (stałe)

75 kN

#2 (u

ytkowe B)

-3,3 kN

#3 (

nieg)

100,0 kN

#4 (wiatr 1)

-12,5 kN

#5 (wiatr 2)

12,50 kN

3.9.4 Kombinacje obci

ąż

3.9.4.1

Sytuacja kombinacyjna

max H

W tej sytuacji kombinacyjnej poszukujemy takiego układu obci

ąż

, dla którego H

osi

gnie warto

ść

maksymaln

Stałe obci

ąż

enie działa w ka

dej kombinacji. W sytuacji max H

obci

ąż

enie stałe ma

działanie niekorzystne. Niekorzystne obci

ąż

enia zmienne s

te, które powi

kszaj

poszukiwan

wielko

ść

, czyli w tym przypadku:

nieg oraz wiatr 2, a inne zmienne

ytkowe, wiatr 1) s

korzystne, bo pomniejszaj

poszukiwan

wielko

ść

K1 (stałe bez redukcji)

187

)]

(

[

)

100

(

−

⋅

(=187,50 kN)

K2 (stałe z redukcj

, wiod

nieg)

)]

(

[

)

(

100

−

⋅

(=247,31 kN)

K3 (stałe z redukcj

, wiod

cy wiatr)

(=54,80 kN)

)

(

⋅

(=55,13 kN) (=57,13 kN)

3.9.4.2

Sytuacja kombinacyjna m

in H

W tej sytuacji kombinacyjnej poszukujemy takiego układu obci

ąż

, dla którego H

osi

gnie warto

ść

minimaln

Poniewa

obci

ąż

enie stałe ma w rozwa

anym przypadku zawsze działanie

korzystne, wi

c wystarczy rozpatrzy

tylko jedn

kombinacj

K4 (stałe korzystne)

)

(

)]

[(

korzystne

zmienne

pozostało

⋅

−

⋅

(=13,00 kN)

Rozwi

zanie zadania

max

(=57,13 kN);

min

(=13,00 kN)

3.10 Przykład (2013-06-04) rz.1.

Wyznaczy

maksymaln

i minimaln

, obliczeniow

reakcj

poziom

momentu zgi-

naj

cego

aa,

w przekroju

a-a

konstrukcji pokazanej na rysunku:

Poszukiwan

sił

przekrojow

(pr

tow

) b

dziemy znakowa

zgodnie ze standar-

dow

umow

, tzn przyjmowa

jako dodatni

li rozci

ga włókna dolne rygla, a

ujemn

li rozci

ga górne włókna rygla.

3.10.1 Analiza schematu konstrukcji

Sprawdzamy statyczn

wyznaczalno

ść

konstrukcji.

W celu okre

lenia niewiadomych reakcji mamy do dyspozycji nast

puj

ce równania.

X=0,

Y=0,

M=0, (czyli r=3 równania równowagi całej konstrukcji); i nie mamy

dodatkowych równa

lokalnych (p=0)

Niewiadomych (reakcji) mamy równie

n=3
wi

c konstrukcje jest statycznie wyznaczalna.

3.10.2 Definicja obci

ąż

prostych (tej samej natury)

Z analizy natury obci

ąż

, działaj

cych na konstrukcj

, wynika,

e mo

emy przyj

ąć

nast

puj

ce obci

ąż

enia proste, to znaczy takie, do których mamy takie same współ-

czynniki obci

ąż

i redukcyjne:

#1 – obci

ąż

enia stałe (150 kN „+” 4 kN/m)

#2 – u

ytkowe, kat D1 ( 3 kN/m)

nieg (5 kN/m)

#4 wiatr 1 – parcie ( +30 kN i 8 kN/m)

#5 wiatr 2 –ssanie (-30 kN i - 8 kN/m)

3.10.3 Reakcja V

i M

od obci

ąż

prostych

Analizujemy układ dla kolejnych obci

ąż

prostych. W schemacie prostym pomija-

my
(!) obci

ąż

enia przynale

ne do innych schematów. Konfiguracja geometryczna (w

tym podpory) układu konstrukcyjnego pozostaje niezmienna dla ka

dego schematu

obci

ąż

0 : H

0 (1)

0 :V

0 (2)

0 :V

⋅

150

0 (3)

(3) V

( 150) 25kN

→

= ⋅ − = −

−

= +

(

−

25)

⋅

= −

75kNm

Uwaga: Powy

ej obliczono moment zginaj

z lewej

strony momentu skupionego 150 kNm.

Po prawej stronie moment zginaj

cy wynosiłby

-75+150=75 kNm

Zgodnie z poleceniem interesuje nas moment
zginaj

cy rygiel po lewej stronie momentu

skupionego.

0 : H

0 (1)

0 :V

−

⋅

0 (2)

−

0 :V

⋅

−

⋅

→

(3)

(co wida

od razu z racji symetrii obci

ąż

ustroju)

Z(3) i (2) V

3 6 9kN

→

⋅ ⋅ =

To samo mo

na uzyska

np. z

0 :V

⋅

−

⋅

M 9 3 3 3 13,5kNm 2

3 #2 = + × - × × = a -a

SMD = 0 :VA × 6 - 5 × 6 ×3 =
0®VA = 15kN

M 15 3 5 3 0 M #3 22,5kNm

2 3

= #3 = + × - × × = ® = a -a a -a

MD 0 :VA 6 30 4 8 4 0 VA 30,67kN
2

4 S = × + × + × × = ® = -

Ma#4-a = +(-30,67) × 3 - 30 × 4 =
0® Ma#4-a = -212,0kNm

MD 0 :VA 6 30 4 8 4 0 VA 30,67kN
2

4 S = × - × - × × = ® = +

Ma#4-a = +(+30,67) ×3 + 30 × 4 =
0® Ma#4-a = +212,0kNm

Zestawienie momentu zginaj

cego od prostych obci

ąż

#1 (stałe) -75 kNm

#2 (u

ytkowe B) +13,5kNm

#3 (

nieg) +22,5 kNm

#4 (wiatr 1) -212,0 kNm

#5 (wiatr 2) +212,0 kNm

3.10.4 Kombinacje obci

ąż

3.10.4.1 Sytuacja kombinacyjna

max

W tej sytuacji kombinacyjnej poszukujemy takiego układu obci

ąż

, dla którego Maa

osi

gnie warto

ść

maksymaln

(najwi

ksz

dodatni

)

W sytuacji max Maa obci

ąż

enie stałe ma działanie korzystne (daje ujemny moment,

czyli zmniejsza moment maksymalny)

Niekorzystne obci

ąż

enia zmienne s

te, które powi

kszaj

poszukiwan

wielko

ść

czyli w tym przypadku: u

ytkowe,

nieg oraz wiatr 2, a inne zmienne (u

ytkowe,

(wiatr 1) s

korzystne, bo pomniejszaj

poszukiwan

wielko

ść

K1 (stałe korzystne, wiod

cy wiatr 2)

−

1,00

⋅

(

−

75)

1,5

⋅

212

1,5(0,5

⋅

22,5

0,7

⋅

13,5)

274,05kNm

−

K2 (stałe korzystne , wiod

nieg)

−

1,00

⋅

(

−

75)

1,5

⋅

22,5

1,5(

0,7

⋅

13,5

0,6

⋅

212,0)

163,73kNm

−

K3 (stałe korzystne, wiod

ce u

ytkowe)

−

1,00

⋅

(

−

75)

1,5

⋅

13,5

1,5(

0,5

⋅

22,5

0,6

⋅

212,0)

152,93kN

3.10.4.2 Sytuacja kombinacyjna

min

W tej sytuacji kombinacyjnej poszukujemy takiego układu obci

ąż

, dla którego M

osi

gnie warto

ść

minimaln

Obci

ąż

enie stałe ma w rozwa

anym przypadku działanie niekorzystne, wi

ropatrujemy kombinacje standardowe:

K4 (stałe bez redukcji)

1,35

⋅

(

−

75)

1,5

⋅

[0,6

⋅

(

−

212)]

⋅

( pozostałe_ zmienne)

292,05kNm

−

K5 (stałe z redukcj

, wiatr 1 wiod

cy)

1,35

⋅

0,85(

−

75)

1,5

⋅

(

−

212)

0,0

⋅

( pozostałe_ zmienne _ korzystne)

= −

404,06kNm

−

3.10.5 4.11.5 Rozwi

zanie zadania

max M

−

274,05kNm min M

−

= −

404,06kNm

3.11 Przykład L04, rz.2 (2013-06-12)

Wyznaczy

maksymaln

i minimaln

, obliczeniow

moment zginaj

cy w przekroju

(poni

ej załamania rygla) konstrukcji pokazanej na rysunku:

Poszukiwan

mement zginaj

cy oznaczono jako M

(indeks d oznacza

obliczeniowy – design i dalej b

dzie pomijany) Zgodnie z umow

znakowania

moment zginaj

cy jest dodatni, je

li rozci

ga włókna dolne pr

ta. je

li rozci

ga (je

okre

lenie włókien dolnych nie jest jednoznaczne , to wprowadzamy oznaczenie

spodów- w tym przypadku nie jest to potrzebne, bo włókna dolne s

jednoznacznie

zdefiniowane) Maksymalny jst to najwi

kszy najwi

kszy rozci

gaj

cy włókna dolne ,

a minimalny w skrajnym przypadku mo

e przyj

ąć

warto

ść

ujemn

– b

dzie

ciskał

włókna dolne i rozci

gał górne.

3.11.1 Analiza schematu konstrukcji

Od razu widzimy,

e układ jest statycznie wyznaczalny. Jest to bowiem wspornik,

który ma trzy reakcje w utwierdzeniu , do wyznaczenia których mamy trzy równania
równowagi. Rekcje mo

emy wi

c bez trudu wyznaczy

Obliczenie siły przekrojowej w przekroju

nie wymaga jednak znajomo

reakcji, bowiem sił

na wyznaczy

poprzez sumowanie oddziaływa

z lewej lub

prawej strony przekroju. Oddziaływania b

dziemy sumowa

z prawej strony

analizowanego przekroju.

3.11.2 Definicja obci

ąż

prostych (tej samej natury)

Z analizy natury obci

ąż

, działaj

cych na konstrukcj

, wynika,

e mo

emy przyj

ąć

nast

puj

ce obci

ąż

enia proste, to znaczy takie, do których mamy takie same

współczynniki obci

ąż

i redukcyjne:

#1 – obci

ąż

enia stałe (15 kNm)

#2 – u

ytkowe, (80 kN)

nieg (4 kN/m)

#4 wiatr 1 ( +5 kN/m „+” -10 kNm)

#5 wiatr 2 (-5 kN/m „+” +10 kNm)

3.11.3 Siła przekrojowa (moment zginaj

cy) M

od obci

ąż

prostych

Poka

emy wyznaczenie poszukiwanego momentu bez wyznaczania reakcji. W tym

podej

ciu pochylenie rygla nie ma

adnego wpływu na obliczenia .

liwe jest te

najpierw wyznaczenie reakcji podporowych , a nast

pnie wyzna-

czanie siły przekrojowej poprzez sumowanie oddziaływa

z lewej strony przekroju.

W tym przykładzie jest to jednak nie tylko zb

dne , ale równie

bardziej

kNm

−

Zewn

trzny moment 15 kNm rozci

włókna dolne, daje wi

c dodatni moment

przekrojowy. Analizuj

sposób wyt

ęż

enia

przekroju, niezale

nie od znakowania ob-

ąż

. Odchodz

od mechanicznych obli-

cze

i za ka

dym razem analizuj

skutek

jaki wywołuje obci

ąż

enie. W ten sposób

unikam pomyłek, niezale

nie od zło

ono-

ci sytuacji i przyj

tych układów współrz

nych

kNm

240

−

⋅

−

kNm

⋅

−

kNm

−

kNm

−

Obci

ąż

enie rozło

one w tym przypadku nie odgrywa roli, poniewa

„nie zd

ąż

yło”

wej

ść

do formuł na moment zginaj

liby

my jednak chcieli w schemacie #4 obliczy

moment zginaj

cy w utwierdze-

niu, to wówczas mieliby

(

)

kNm

−

⋅

−

⋅

−

Zestawienie reakcji od prostych obci

ąż

#1 (stałe)

15 kNm

#2 (u

ytkowe)

-240 kNm

#3 (

nieg)

13,5 kNm

#4 (wiatr 1)

-10 kNm

#5 (wiatr 2)

+10 kNm

3.11.4 Kombinacje obci

ąż

Obliczenia prowadzimy zgodnie ze znanymi zasadami, przy czym zwracamy uwag

1) dla sytuacji max M

#1, #3, #5 jest niekorzystne

#2 i #4 jest korzystne

( ale pami

tajmy,

e wiatr nie mo

e jednocze

nie wia

z dwóch stron, wiec w danej

sytuacji mamy albo #4 albo #5 (obci

ąż

enia wykluczaj

ce si

)

da sytuacji min M

Działania korzystne-niekorzystne si

zmieniaj