1
2009-10-21
1
Konstrukcje
Konstrukcje
betonowe
betonowe
Wyk
Wyk
ł
ł
ad:
ad:
Metoda podstawowa
Metoda podstawowa
obliczania
obliczania
Ŝ
Ŝ
elbetowych przekroj
elbetowych przekroj
ó
ó
w
w
na napr
na napr
ęŜ
ęŜ
enia normalne
enia normalne
σσσσ
σσσσ
2009-10-21
2
Rozkład sił i oznaczenia wielko
ś
ci: 1 –
ś
rodek ci
ęŜ
ko
ś
ci
przekroju betonu, 2 –
ś
rodek ci
ęŜ
ko
ś
ci bryły
ś
ciskaj
ą
cych
napr
ęŜ
e
ń
w betonie
Metoda podstawowa obliczania
Ŝelbetowych przekrojów normalnych
na napręŜenia normalne
σσσσ
Metoda podstawowa obliczania
Metoda podstawowa obliczania
Ŝ
Ŝ
elbetowych przekroj
elbetowych przekroj
ó
ó
w normalnych
w normalnych
na napr
na napr
ęŜ
ęŜ
enia normalne
enia normalne
σσσσ
σσσσ
F
s2
=
σ
s2
A
s2
v
2
•
•
•
•
•
•
•
•
•
o
ś
elem entu
o
ś
oboj
ę
tna
σ
c
≤
f
cd
_
+
ε
si
ε
s1
ε
c
•
•
F
c
2
1
ε
s2
a
1
=
d
v
1
a
2
A
cc
h
a
i
a
c
x
b
N
Ed
F
si
=
σ
si
A
si
F
s1
=
σ
s1
A
s1
A
s2
A
s1
e
s1
e
s2
e
to
t
y
2009-10-21
3
Zbiór rozkładów odkształce
ń
, które mog
ą
powsta
ć
w stanie granicznym no
ś
no
ś
ci przy
f
ck
≤
50 MPa w metodzie podstawowej −
paraboliczno-prostok
ą
tny,
h
7
3
−
ε
yd
0
2
‰
M
Rd
3,5
‰
o
ś
elementu
0
2
‰
ε
s
ε
c
a
i
a
1
=
d
a
2
I
h
N
Rd
A
si
A
s2
A
s1
−
ε
ud
lub
−
25
‰
V
IV
III
II
Metoda podstawowa wg PN-EN 1992-1-1 …
2009-10-21
4
Metoda podstawowa wg PN-EN 1992-1-1 …
Granice przedziałów oraz odkształcenia stali wg obliczeniowego
modelu normowej metody podstawowej, przy f
ck
≤
50 MPa
Prze-
d ział N
Rd
Poło
Ŝ
enie osi
obo j
ę
tne j x
Parametr w
równa niach
(5.8) ÷ (5.16)
Odkształcenia sta li
ε
si
1
2
3
4
5
I
> 0
x = h
0
≤
ε
c
≤
2
‰
(
)(
)
002
0
4
7
3
002
0
,
h
a
h
,
i
c
+
−
−
ε
II
> 0
h
x
,
d
,
ud
≤
≤
+
0 035
0
003 5
0
ε
x
x
a
x
,
i
−
0035
0
III
> 0
≤
0
0035
0
0035
0
002
0
002
0
,
d
,
x
,
d
,
ud
ud
+
≤
≤
+
ε
ε
IV
> 0
≤
0
0
≤
x
≤
00 2
0
002
0
,
d
,
ud
+
ε
x
d
x
a
x
i
ud
−
−
−
ε
V
< 0
x = 0
−
ε
ud
≤
ε
s2
≤
−
ε
ud
d
a
2
(
)(
)
2
2
2
2
a
d
a
a
i
s
ud
s
−
−
+
−
ε
ε
ε
2009-10-21
5
Metoda podstawowa wg PN-EN 1992-1-1 …
Granice przedziałów oraz odkształcenia stali wg obliczeniowego
modelu normowej metody podstawowej, przy f
ck
≤
50 MPa i
εεεε
s
= −25
‰
Prze-
dział
N
Rd
Poło
Ŝ
enie osi
oboj
ę
tnej x
Parametr w
równaniach (5.8) ÷
(5.16)
Odkształcenia stali
ε
si
1
2
3
4
5
I
> 0
x = h
0
≤
ε
c
≤
2
‰
(
)(
)
002
0
4
7
3
002
0
,
h
a
h
,
i
c
+
−
−
ε
II
> 0
h
x
d
≤
≤
57
7
x
x
a
x
,
i
−
0035
0
III
> 0
≤
0
57
7
27
2
d
x
d
≤
≤
IV
> 0
≤
0
0
≤
x
≤
27
2d
x
d
x
a
x
,
i
−
−
−
025
0
V
< 0
x = 0
−
0,025
≤
ε
s2
≤
−
0,025
d
a
2
(
)(
)
2
2
2
2
025
0
a
d
a
a
,
i
s
s
−
−
+
−
ε
ε
2009-10-21
6
Poszczególne równania równowagi uogól-
nionych sił w przekroju w SGN, okre
ś
laj
ą
ce
no
ś
no
ść
przekroju na
Metoda podstawowa wg PN-EN 1992-1-1 …
sił
ę
podłu
Ŝ
n
ą
moment zginaj
ą
cy
, okre
ś
lon
ą
wzgl
ę
dem
prostej równoległej do osi oboj
ę
tnej,
przechodz
ą
cej przez
ś
rodek ci
ęŜ
ko
ś
ci
przekroju betonu
∑
∑
∑
∑
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
++++
====
n
si
si
A
cc
c
Rd
A
A
N
cc
1
σσσσ
σσσσ
d
((((
))))
((((
))))
∑
∑
∑
∑
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
−−−−
++++
−−−−
====
n
i
si
si
A
cc
c
c
Rd
a
v
A
A
a
v
M
cc
1
2
2
σσσσ
σσσσ
d
(5.8)
(5.9)
2
2009-10-21
7
A
si
– powierzchnia przekroju pojedynczych pr
ę
tów
lub grupy pr
ę
tów,
n
– liczba warstw, grup pr
ę
tów lub pojedyn-
czych pr
ę
tów zbrojenia o powierzchni
A
si
, równo
oddalonych o
a
i
od bardziej
ś
ciskanej lub mniej
rozci
ą
ganej kraw
ę
dzi przekroju (w tym zapisie
a
i
w wypadku
A
s1
równa si
ę
d
),
a
c
– poło
Ŝ
enie
ś
rodka ci
ęŜ
ko
ś
ci bryły napr
ęŜ
e
ń
ś
ciskaj
ą
cych w betonie w
ś
ciskanej strefie o
powierzchni
A
cc
, wzgl
ę
dem bardziej
ś
ciskanej
kraw
ę
dzi przekroju, które w ogólno
ś
ci mo
Ŝ
na
obliczy
ć
ze wzoru
Metoda podstawowa wg PN-EN 1992-1-1 …
2009-10-21
8
ś
rodek ci
ęŜ
ko
ś
ci
(5.5)
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
−−−−
====
cc
cc
A
cc
c
A
cc
c
c
A
A
y
x
a
d
d
σσσσ
σσσσ
y
– poło
Ŝ
enie napr
ęŜ
enia
σ
c
w stosunku do osi
oboj
ę
tnej przekroju.
Metoda podstawowa wg PN-EN 1992-1-1 …
2009-10-21
9
moment zginaj
ą
cy
, okre
ś
lony wzgl
ę
dem
prostej równoległej do osi oboj
ę
tnej,
przechodz
ą
cej przez
ś
rodek ci
ęŜ
ko
ś
ci
zbrojenia A
s1
moment zginaj
ą
cy
, okre
ś
lony wzgl
ę
dem
prostej równoległej do osi oboj
ę
tnej,
przechodz
ą
cej przez
ś
rodek ci
ęŜ
ko
ś
ci
zbrojenia A
s2
((((
))))
((((
))))
∑
∑
∑
∑
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
−−−−
++++
−−−−
====
n
i
si
si
A
cc
c
c
,
Rd
a
d
A
A
a
d
M
cc
1
1
σσσσ
σσσσ
d
((((
))))
((((
))))
∑
∑
∑
∑
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
−−−−
++++
−−−−
−−−−
====
n
i
si
si
A
cc
c
c
,
Rd
a
a
A
A
a
a
M
cc
1
2
2
2
σσσσ
σσσσ
d
(5.11)
(5.10)
Metoda podstawowa wg PN-EN 1992-1-1 …
2009-10-21
10
Przy ka
Ŝ
dej wyst
ę
puj
ą
cej w przekroju parze sił
wewn
ę
trznych
(M
Ed
, N
Ed
)
w SGN spełnione musz
ą
by
ć
2 warunki do wyboru z poni
Ŝ
szych 4.
Metoda podstawa wg PN-EN 1992-1-1 …
Rd
Ed
N
N
≤≤≤≤
Rd
tot
Sd
Ed
M
e
N
M
≤≤≤≤
====
1
1
1
,
Rd
s
Sd
,
Ed
M
e
N
M
≤≤≤≤
====
2
2
2
,
Rd
s
Sd
,
Ed
M
e
N
M
≤≤≤≤
====
w których
e
s2
= e
tot
– v
2
+ a
2
.
(5.12)
(5.13)
(5.14)
e
s1
= e
tot
+ v
1
– a
1
2009-10-21
11
Du
Ŝ
e uproszczenia uzyskuje si
ę
w wypadku
przekroju prostok
ą
tnego, przy którym równania
przybieraj
ą
postacie:
Metoda podstawowa wg PN-EN 1992-1-1 …
na
sił
ę
podłu
Ŝ
n
ą
na
moment zginaj
ą
cy
, okre
ś
lony wzgl
ę
dem
prostej równoległej do osi oboj
ę
tnej,
przechodz
ą
cej przez
ś
rodek ci
ęŜ
ko
ś
ci
przekroju betonu
∑
∑
∑
∑
∫∫∫∫
++++
====
n
si
si
x
c
Rd
A
y
b
N
1
0
σσσσ
σσσσ
d
((((
))))
((((
))))
∑
∑
∑
∑
∫∫∫∫
−−−−
++++
−−−−
====
n
i
si
si
c
x
c
Rd
a
h
,
A
y
a
h
,
b
M
1
0
5
0
5
0
σσσσ
σσσσ
d
(5.16)
(5.15)
2009-10-21
12
Metoda podstawowa wg PN-EN 1992-1-1 …
moment zginaj
ą
cy
, okre
ś
lony wzgl
ę
dem
prostej równoległej do osi oboj
ę
tnej,
przechodz
ą
cej przez
ś
rodek ci
ęŜ
ko
ś
ci
zbrojenia A
s1
moment zginaj
ą
cy
, okre
ś
lony wzgl
ę
dem
prostej równoległej do osi oboj
ę
tnej,
przechodz
ą
cej przez
ś
rodek ci
ęŜ
ko
ś
ci
zbrojenia A
s2
((((
))))
((((
))))
∑
∑
∑
∑
∫∫∫∫
−−−−
++++
−−−−
====
n
i
si
si
c
x
c
Rd
a
h
,
A
y
a
h
,
b
M
1
0
5
0
5
0
σσσσ
σσσσ
d
((((
))))
((((
))))
∑
∑
∑
∑
∫∫∫∫
−−−−
−−−−
−−−−
====
n
i
si
si
c
x
c
Rd
a
a
A
y
a
a
b
M
1
2
2
0
σσσσ
σσσσ
d
(5.17b)
(5.16a)
3
2009-10-21
13
Metoda podstawowa wg PN-EN 1992-1-1 …
Przy znajomo
ś
ci odkształcenia
εεεε
si
, napr
ęŜ
enia
σσσσ
si
w dowolnie poło
Ŝ
onych w przekroju elementu
pr
ę
tach stalowych (lub warstwach pr
ę
tów) o prze-
kroju
A
si
i odległo
ś
ci
a
i
wyznacza si
ę
z
wykresu z
pochył
ą
półk
ą
uplastycznienia
s
si
si
E
εεεε
σσσσ
====
si
εεεε
gdy
≤≤≤≤
εεεε
yd
,
((((
))))
−−−−
−−−−
−−−−
++++
±±±±
====
yd
uk
yd
si
yd
yd
yd
si
f
kf
f
εεεε
εεεε
εεεε
εεεε
σσσσ
si
ε
gdy
εεεε
yd
<
≤≤≤≤
εεεε
ud
lub 25‰.
(5.19)
(5.20)
Ujemnym warto
ś
ciom odkształce
ń
εεεε
si
odpowiadaj
ą
ujemne warto
ś
ci napr
ęŜ
e
ń
σσσσ
si
.
2009-10-21
14
Metoda podstawowa wg PN-EN 1992-1-1 …
Pomocnicze wzory do obliczania całek
równa
ń
, przy rozpatrywaniu prostok
ą
tnego
przekroju
Ŝ
elbetowego wg metody podstawowej
Prze-
dział
y
b
x
c
d
0
∫
σ
(
)
y
a
h
,
b
c
x
c
d
5
0
0
−
∫
σ
1
2
3
I
(
)
bh
f
c
cd
σ
4
17
21
1
+
,
σ
c
, jak
w kol. 3
(
)
2
147
10
bh
f
c
cd
σ
−
, gdzie
σ
c
= 1000
ε
c
(1 – 250
ε
c
)
f
cd
II
bx
f
cd
21
17
−
x
h
bx
f
cd
98
33
42
17
III
15
16
d
x
b
f
cd
−
300
10
22
171
160
2
2
d
dh
dx
x
hx
b
f
cd
−
−
+
−
IV
(
)
(
)
2
2
8
3
3
5
x
d
x
d
bx
f
cd
−
−
(
)
(
)
(
)
(
)
−
−
−
−
−
x
d
x
d
x
h
x
d
x
d
bx
f
cd
8
3
2
9
4
8
3
6
5
2
2
V
0
0