1
2009-10-21
1
Konstrukcje
Konstrukcje
betonowe
betonowe
Wyk
Wyk
ł
ł
ad:
ad:
Uproszczona metoda
Uproszczona metoda
bilinearna obliczania
bilinearna obliczania
Ŝ
Ŝ
elbetowych
elbetowych
przekroj
przekroj
ó
ó
w na napr
w na napr
ęŜ
ęŜ
enia normalne
enia normalne
σσσσ
σσσσ
2009-10-21
2
Rozkład sił i oznaczenia wielko
ś
ci: 1 –
ś
rodek ci
ęŜ
ko
ś
ci
przekroju betonu, 2 –
ś
rodek ci
ęŜ
ko
ś
ci bryły
ś
ciskaj
ą
cych
napr
ęŜ
e
ń
w betonie
Uproszczona metoda bilinearna obliczania
Ŝelbetowych przekrojów normalnych
na napręŜenia normalne
σσσσ
Uproszczona metoda bilinearna obliczania
Uproszczona metoda bilinearna obliczania
Ŝ
Ŝ
elbetowych przekroj
elbetowych przekroj
ó
ó
w normalnych
w normalnych
na napr
na napr
ęŜ
ęŜ
enia normalne
enia normalne
σσσσ
σσσσ
F
s2
=
σ
s 2
A
s 2
v
2
•
•
•
•
•
•
•
•
•
o
ś
elementu
o
ś
oboj
ę
tna
σ
c
≤
f
cd
_
+
ε
si
ε
s1
ε
c
•
•
F
c
2
1
ε
s2
a
1
=
d
=
d
v
1
a
2
A
cc
h
a
i
a
c
x
b
N
Ed
F
si
=
σ
si
A
si
F
s1
=
σ
s1
A
s1
A
s2
A
s1
e
s
1
e
s
2
e
to
t
2009-10-21
3
Zbiór rozkładów odkształce
ń
, które mog
ą
powsta
ć
w stanie granicznym no
ś
no
ś
ci przy
f
ck
≤
50 MPa w metodzie bilinearnej −
trójk
ą
tno-prostok
ą
tny,
Metoda bilinearna wg PN-EN 1992-1-1 …
1,75
‰
0
,5
h
−
ε
yd
0
a
1
=
d
h
M
Rd
3,5
‰
o
ś
elementu
0 1,75
‰
ε
s
ε
c
a
i
a
2
I
N
Rd
A
si
A
s2
A
s1
−
ε
ud
lub
−
25
‰
V
IV
III
II
2009-10-21
4
Granice przedziałów oraz odkształcenia stali wg obliczeniowego
modelu normowej metody bilinearnej, przy f
ck
≤
50 MPa
Metoda bilinearna wg PN-EN 1992-1-1 …
Prze-
dział N
Rd
Poło
Ŝ
enie osi
oboj
ę
tnej x
Parametr w
równaniach
(5.8) ÷ (5.16)
Odkształcenia stali
ε
si
1
2
3
4
5
I
> 0
x = h
0
≤
ε
c
≤
1,75
‰
(
)(
)
h
,
h
,
a
,
,
i
c
5
0
5
0
00175
0
00175
0
−
−
−
−
ε
II
> 0
h
x
,
d
,
ud
≤
≤
+
0035
0
0035
0
ε
x
x
a
x
,
i
−
0035
0
III
> 0
≤
0
0035
0
0035
0
00175
0
00175
0
,
d
,
x
,
d
,
ud
ud
+
≤
≤
+
ε
ε
IV
> 0
≤
0
0
≤
x
≤
00175
0
00175
0
,
d
,
ud
+
ε
x
d
x
a
x
i
ud
−
−
−
ε
V
< 0
x = 0
−
ε
ud
≤
ε
s2
≤
−
ε
ud
d
a
2
(
)(
)
2
2
2
2
a
d
a
a
i
s
ud
s
−
−
+
−
ε
ε
ε
2009-10-21
5
Granice przedziałów oraz odkształcenia stali wg obliczeniowego modelu
normowej metody bilinearnej, przy f
ck
≤
50 MPa i
εεεε
s
= −25
‰
Metoda bilinearna wg PN-EN 1992-1-1 …
Prze
dział N
Rd
Poło
Ŝ
enie osi
oboj
ę
tnej x
Parametr w równaniach
(5.8) ÷ (5.16)
Odkształcenia stali
ε
si
1
2
3
4
5
I
> 0
x = h
0
≤
ε
c
≤
1,75
‰
(
)(
)
h
,
h
,
a
,
,
i
c
5
0
5
0
00175
0
00175
0
−
−
−
−
ε
II
> 0
h
x
d
≤
≤
57
7
x
x
a
x
,
i
−
0035
0
III
> 0
≤
0
57
7
107
7
d
x
d
≤
≤
IV
> 0
≤
0
0
≤
x
≤
107
7d
x
d
x
a
x
,
i
−
−
−
025
0
V
< 0
x = 0
−
0,025
≤
ε
s2
≤
−
0,025
d
a
2
(
)(
)
2
2
2
2
025
0
a
d
a
a
,
i
s
s
−
−
+
−
ε
ε
2009-10-21
6
Okre
ś
laj
ą
ce no
ś
no
ść
przekroju równania
równowagi sił ustala si
ę
tak samo jak w metodzie
podstawowej −
podwójne całki
.
Znaczne ich uproszczenia uzyskuje si
ę
dopiero
przy prostych przekrojach, które da si
ę
sprowa-
dzi
ć
do przekroju prostok
ą
tnego, teowego lub
dwuteowego, oraz gdy
f
ck
≤
50
MPa.
Wtedy całki
mo
Ŝ
na zamieni
ć
na sumy
.
Metoda bilinearna wg PN-EN 1992-1-1 …
2
2009-10-21
7
Poszczególne równania równowagi uogól-
nionych sił w przekroju w SGN, okre
ś
laj
ą
ce
no
ś
no
ść
przekroju na
Metoda bilinearna wg PN-EN 1992-1-1 …
sił
ę
podłu
Ŝ
n
ą
moment zginaj
ą
cy
, okre
ś
lon
ą
wzgl
ę
dem
prostej równoległej do osi oboj
ę
tnej,
przechodz
ą
cej przez
ś
rodek ci
ęŜ
ko
ś
ci
przekroju betonu
(5.30)
(5.31)
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
++++
====
n
si
si
m
ccj
cj
Rd
A
A
N
1
1
σσσσ
σσσσ
((((
))))
((((
))))
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
−−−−
++++
−−−−
====
n
i
si
si
cj
m
ccj
cj
Rd
a
h
,
A
a
h
,
A
M
1
1
5
0
5
0
σσσσ
σσσσ
2009-10-21
8
m
– liczba betonowych elementów
ś
ciskanej
strefy przekroju o powierzchni
A
ccj
o
ś
rodkach
ci
ęŜ
ko
ś
ci oddalonych o
a
cj
od bardziej
ś
ciskanej
kraw
ę
dzi przekroju,
Metoda bilinearna wg PN-EN 1992-1-1 …
σσσσ
cj
–
ś
rednie napr
ęŜ
enie
ś
ciskaj
ą
ce na powie-
rzchni
A
ccj
,
2009-10-21
9
A
si
– powierzchnia przekroju pojedynczych pr
ę
tów
lub grupy pr
ę
tów,
n
– liczba warstw, grup pr
ę
tów lub pojedyn-
czych pr
ę
tów zbrojenia o powierzchni
A
si
, równo
oddalonych o
a
i
od bardziej
ś
ciskanej lub mniej
rozci
ą
ganej kraw
ę
dzi przekroju (w tym zapisie
a
i
w wypadku
A
s1
równa si
ę
d
),
a
c
– poło
Ŝ
enie
ś
rodka ci
ęŜ
ko
ś
ci bryły napr
ęŜ
e
ń
ś
ciskaj
ą
cych w betonie w
ś
ciskanej strefie o
powierzchni
A
cc
, wzgl
ę
dem bardziej
ś
ciskanej
kraw
ę
dzi przekroju, które w ogólno
ś
ci mo
Ŝ
na
obliczy
ć
ze wzoru
Metoda bilinearna wg PN-EN 1992-1-1 …
2009-10-21
10
Metoda bilinearna wg PN-EN 1992-1-1 …
Pomocnicze wzory do obliczania równa
ń
,
przy rozpatrywaniu prostok
ą
tnego przekroju
Ŝ
elbetowego wg metody bilinearnej
Prze-
dział
∑
m
ccj
cj
A
1
σ
(
)
cj
m
ccj
cj
a
h
,
A
−
∑
5
0
1
σ
1
2
3
I
(
)
bh
f
c
cd
σ
+
3
4
1
,
gdzie
σ
c
=
175
1000
ε
c
f
cd
(
)
2
12
1
bh
f
c
cd
σ
−
,
gdzie
σ
c
, jak w kol. 2
II
bx
f
cd
4
3
−
x
h
bx
f
cd
24
5
8
3
III
(
)
'
x
x
b
f
,
N
cd
Rd
+
=
5
0
,
gdzie
100
7
107
d
x
'
x
−
=
(
) (
)
,
'
x
x
h
'
x
x
'
x
h
'
x
b
f
cd
+
−
−
+
−
3
2
2
2
1
)
(
gdzie '
x
, jak w kol. 2
IV
bx
,
c
σ
5
0
gdzie
x
d
f
cd
c
109
7
=
σ
−
3
2
5
0
x
h
bx
,
c
σ
,
gdzie '
x
, jak w kol. 2
V
0
0
2009-10-21
11
moment zginaj
ą
cy
, okre
ś
lony wzgl
ę
dem
prostej równoległej do osi oboj
ę
tnej,
przechodz
ą
cej przez
ś
rodek ci
ęŜ
ko
ś
ci
zbrojenia A
s1
moment zginaj
ą
cy
, okre
ś
lony wzgl
ę
dem
prostej równoległej do osi oboj
ę
tnej,
przechodz
ą
cej przez
ś
rodek ci
ęŜ
ko
ś
ci
zbrojenia A
s2
((((
))))
((((
))))
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
−−−−
++++
−−−−
====
n
i
si
si
m
cj
ccj
cj
,
Rd
a
d
A
a
d
A
M
1
1
1
σσσσ
σσσσ
((((
))))
((((
))))
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
−−−−
−−−−
−−−−
====
n
i
si
si
m
cj
ccj
cj
,
Rd
a
a
A
a
a
A
M
1
2
1
2
2
σσσσ
σσσσ
Metoda podstawowa wg PN-EN 1992-1-1 …
2009-10-21
12
Przy ka
Ŝ
dej wyst
ę
puj
ą
cej w przekroju parze sił
wewn
ę
trznych
(M
Ed
, N
Ed
)
w SGN spełnione musz
ą
by
ć
2 warunki do wyboru z poni
Ŝ
szych 4.
Metoda bilinearna wg PN-EN 1992-1-1 …
Rd
Ed
N
N
≤≤≤≤
Rd
tot
Sd
Ed
M
e
N
M
≤≤≤≤
====
1
1
1
,
Rd
s
Sd
,
Ed
M
e
N
M
≤≤≤≤
====
2
2
2
,
Rd
s
Sd
,
Ed
M
e
N
M
≤≤≤≤
====
w których
e
s2
= e
tot
– v
2
+ a
2
.
(5.12)
(5.13)
(5.14)
e
s1
= e
tot
+ v
1
– a
1