1
Wyznaczanie figury Ziemi
Wyznaczanie figury Ziemi
Janusz Walo
Janusz Walo
Janusz Walo
ver
ver
ver
. 1.0 (06.2009)
. 1.0 (06.2009)
. 1.0 (06.2009)
Janusz Walo
Janusz Walo
2
2
Koncepcja
Koncepcja
Stokes
Stokes
’
’
a
a
(Wprowadzenie
(Wprowadzenie
…
…
)
)
Dotychczas om
Dotychczas om
ó
ó
wione zosta
wione zosta
ł
ł
y zagadnienia:
y zagadnienia:
1.
1.
Geodezyjny uk
Geodezyjny uk
ł
ł
ad odniesienia (np. GRS80)
ad odniesienia (np. GRS80)
-
-
> parametry
> parametry
definiuj
definiuj
ą
ą
ce geocentryczn
ce geocentryczn
ą
ą
elipsoid
elipsoid
ę
ę
i zwi
i zwi
ą
ą
zane z ni
zane z ni
ą
ą
pole
pole
normalne
normalne
2.
2.
Zwi
Zwi
ą
ą
zki na elipsoidzie
zki na elipsoidzie
(uk
(uk
ł
ł
ady wsp
ady wsp
ó
ó
ł
ł
rz
rz
ę
ę
dnych, transformacje,
dnych, transformacje,
odwzorowania etc.)
odwzorowania etc.)
3.
3.
Pomiary parametr
Pomiary parametr
ó
ó
w rzeczywistego pola si
w rzeczywistego pola si
ł
ł
y ci
y ci
ęŜ
ęŜ
ko
ko
ś
ś
ci na
ci na
powierzchni Ziemi
powierzchni Ziemi
Mo
Mo
Ŝ
Ŝ
emy opisa
emy opisa
ć
ć
przebieg geoidy wzgl
przebieg geoidy wzgl
ę
ę
dem elipsoidy
dem elipsoidy
ekwipotencjalnej
ekwipotencjalnej
…
…
2
Janusz Walo
Janusz Walo
3
3
Koncepcja
Koncepcja
Stokes
Stokes
’
’
a
a
(Potencja
(Potencja
ł
ł
zak
zak
ł
ł
ó
ó
caj
caj
ą
ą
cy
cy
…
…
I )
I )
Potencja
Potencja
ł
ł
em zak
em zak
ł
ł
ó
ó
caj
caj
ą
ą
cym
cym
nazywa si
nazywa si
ę
ę
r
r
ó
ó
Ŝ
Ŝ
nic
nic
ę
ę
potencja
potencja
ł
ł
u
u
rzeczywistego si
rzeczywistego si
ł
ł
y ci
y ci
ęŜ
ęŜ
ko
ko
ś
ś
ci
ci
W
W
i potencja
i potencja
ł
ł
u normalnego
u normalnego
U
U
. Jest zatem
. Jest zatem
„
„
miar
miar
ą
ą
”
”
nieregularno
nieregularno
ś
ś
ci rozk
ci rozk
ł
ł
adu rzeczywistego pola si
adu rzeczywistego pola si
ł
ł
y ci
y ci
ęŜ
ęŜ
ko
ko
ś
ś
ci.
ci.
Potencja
Potencja
ł
ł
zak
zak
ł
ł
ó
ó
caj
caj
ą
ą
cy zale
cy zale
Ŝ
Ŝ
y od po
y od po
ł
ł
o
o
Ŝ
Ŝ
enia punktu w przestrzeni i jest
enia punktu w przestrzeni i jest
potencja
potencja
ł
ł
em grawitacyjnym
em grawitacyjnym
(potencja
(potencja
ł
ł
rzeczywisty i normalny zawieraj
rzeczywisty i normalny zawieraj
ą
ą
ten sam potencja
ten sam potencja
ł
ł
od
od
ś
ś
rodkowy)
rodkowy)
, a wi
, a wi
ę
ę
c w przestrzeni zewn
c w przestrzeni zewn
ę
ę
trznej
trznej
spe
spe
ł
ł
nia r
nia r
ó
ó
wnanie
wnanie
Laplace
Laplace
’
’
a
a
(jest funkcj
(jest funkcj
ą
ą
harmoniczn
harmoniczn
ą
ą
)
)
:
:
U
W
T
−
=
0
=
∆T
(1)
(1)
(2)
(2)
Janusz Walo
Janusz Walo
4
4
Koncepcja
Koncepcja
Stokes
Stokes
’
’
a
a
(Potencja
(Potencja
ł
ł
zak
zak
ł
ł
ó
ó
caj
caj
ą
ą
cy
cy
…
…
II )
II )
Tworz
Tworz
ą
ą
c r
c r
ó
ó
Ŝ
Ŝ
nic
nic
ę
ę
potencja
potencja
ł
ł
ó
ó
w rzeczywistego i normalnego potencja
w rzeczywistego i normalnego potencja
ł
ł
zak
zak
ł
ł
ó
ó
caj
caj
ą
ą
cy mo
cy mo
Ŝ
Ŝ
na zapisa
na zapisa
ć
ć
w postaci szeregu harmonicznych
w postaci szeregu harmonicznych
sferycznych tzn.:
sferycznych tzn.:
gdzie
gdzie
T
T
n
n
to powierzchniowe harmoniczne sferyczne.
to powierzchniowe harmoniczne sferyczne.
(
)
(
)
(
)
(
)
∑∑
∑
∞
=
=
∞
=
⋅
⋅
+
⋅
=
=
2
0
2
cos
sin
cos
,
,
n
n
m
nm
nm
nm
n
n
P
m
K
m
J
R
M
G
T
T
ϑ
λ
λ
κ
λ
ϑ
λ
ϑ
(3)
(3)
3
Janusz Walo
Janusz Walo
5
5
Koncepcja
Koncepcja
Stokes
Stokes
’
’
a
a
(Anomalie grawimetryczne
(Anomalie grawimetryczne
…
…
I )
I )
Chocia
Chocia
Ŝ
Ŝ
z definicji potencja
z definicji potencja
ł
ł
geoidy i elipsoidy ekwipotencjalnej s
geoidy i elipsoidy ekwipotencjalnej s
ą
ą
sobie r
sobie r
ó
ó
wne
wne
(
(
U
U
0
0
=W
=W
0
0
=const
=const
)
)
, to wektor przyspieszenia rzeczywistego na
, to wektor przyspieszenia rzeczywistego na
geoidzie i wektor przyspieszenia normalnego na elipsoidzie r
geoidzie i wektor przyspieszenia normalnego na elipsoidzie r
ó
ó
Ŝ
Ŝ
ni
ni
ą
ą
si
si
ę
ę
zar
zar
ó
ó
wno kierunkiem jak i warto
wno kierunkiem jak i warto
ś
ś
ci
ci
ą
ą
.
.
R
R
ó
ó
Ŝ
Ŝ
nic
nic
ę
ę
tych dw
tych dw
ó
ó
ch wektor
ch wektor
ó
ó
w nazywamy
w nazywamy
wektorem anomalii
wektorem anomalii
grawimetrycznej
grawimetrycznej
:
:
r
r
ó
ó
Ŝ
Ŝ
nic
nic
ę
ę
ich modu
ich modu
ł
ł
ó
ó
w
w
anomali
anomali
ą
ą
grawimetryczn
grawimetryczn
ą
ą
:
:
e
g
g
γ
r
r
r
−
=
∆
0
(
)
e
g
γ
θ
r
r
,
0
∠
=
e
g
g
γ
−
=
∆
0
a k
a k
ą
ą
t mi
t mi
ę
ę
dzy nimi to
dzy nimi to
odchylenie pionu
odchylenie pionu
…
…
(4)
(4)
(5)
(5)
Janusz Walo
Janusz Walo
6
6
Koncepcja
Koncepcja
Stokes
Stokes
’
’
a
a
(Anomalie grawimetryczne
(Anomalie grawimetryczne
…
…
II )
II )
Przyspieszenie si
Przyspieszenie si
ł
ł
y ci
y ci
ęŜ
ęŜ
ko
ko
ś
ś
ci na geoidzie
ci na geoidzie
g
g
0
0
i przyspieszenie normalne
i przyspieszenie normalne
na elipsoidzie ekwipotencjalnej
na elipsoidzie ekwipotencjalnej
γγγγ
γγγγ
0
0
…
…
4
Janusz Walo
Janusz Walo
7
7
Koncepcja
Koncepcja
Stokes
Stokes
’
’
a
a
(Odchylenie pionu
(Odchylenie pionu
…
…
I )
I )
Odchylenie pionu
Odchylenie pionu
θ
θ
i jego sk
i jego sk
ł
ł
adowe
adowe
-
-
> po
> po
ł
ł
udnikowa
udnikowa
ξ
ξ
i w pierwszym
i w pierwszym
wertykale
wertykale
η
η
…
…
O
B
B
λ-L
ϕ
ξ
η
θ
n
o
rm
a
ln
a
ge
o
id
y
no
rm
al
na
el
ip
so
id
y
I w
ert
yka
ł
Janusz Walo
Janusz Walo
8
8
Koncepcja
Koncepcja
Stokes
Stokes
’
’
a
a
(Odchylenie pionu
(Odchylenie pionu
…
…
II )
II )
Kierunek wektora
Kierunek wektora
γγγγ
γγγγ
e
e
okre
okre
ś
ś
laj
laj
ą
ą
wsp
wsp
ó
ó
ł
ł
rz
rz
ę
ę
dne geodezyjne
dne geodezyjne
B,L
B,L
(zwi
(zwi
ą
ą
zane
zane
z kierunkiem normalnej elipsoidy)
z kierunkiem normalnej elipsoidy)
, a wektora
, a wektora
g
g
0
0
wsp
wsp
ó
ó
ł
ł
rz
rz
ę
ę
dne
dne
astronomiczne
astronomiczne
φ,λ
φ,λ
(zwi
(zwi
ą
ą
zane z kierunkiem linii pionu)
zane z kierunkiem linii pionu)
.
.
Sk
Sk
ł
ł
adowe odchylenia pionu mo
adowe odchylenia pionu mo
Ŝ
Ŝ
na zapisa
na zapisa
ć
ć
:
:
a odchylenie pionu w dowolnym azymucie wynosi:
a odchylenie pionu w dowolnym azymucie wynosi:
(
)
B
L
B
cos
⋅
−
=
−
=
λ
η
ϕ
ξ
A
A
A
sin
cos
η
ξ
θ
+
=
Odchylenia pionu to niewielkie k
Odchylenia pionu to niewielkie k
ą
ą
ty, rzadko si
ty, rzadko si
ę
ę
gaj
gaj
ą
ą
ce 20
ce 20
”…
”…
(6)
(6)
(7)
(7)
5
Janusz Walo
Janusz Walo
9
9
Koncepcja
Koncepcja
Stokes
Stokes
’
’
a
a
(Podstawowe r
(Podstawowe r
ó
ó
wnanie geodezji fizycznej
wnanie geodezji fizycznej
…
…
I )
I )
Do wyznaczenia figury Ziemi niezb
Do wyznaczenia figury Ziemi niezb
ę
ę
dne jest geometryczne
dne jest geometryczne
powi
powi
ą
ą
zanie elipsoidy i geoidy poprzez wyznaczenie odleg
zanie elipsoidy i geoidy poprzez wyznaczenie odleg
ł
ł
o
o
ś
ś
ci tych
ci tych
figur. Ta odleg
figur. Ta odleg
ł
ł
o
o
ść
ść
, liczona wzd
, liczona wzd
ł
ł
u
u
Ŝ
Ŝ
normalnej do elipsoidy, nazywana
normalnej do elipsoidy, nazywana
jest
jest
wysoko
wysoko
ś
ś
ci
ci
ą
ą
geoidy
geoidy
N
N
. Czasem u
. Czasem u
Ŝ
Ŝ
ywa si
ywa si
ę
ę
te
te
Ŝ
Ŝ
okre
okre
ś
ś
lenia
lenia
undulacja geoidy
undulacja geoidy
…
…
Potencja
Potencja
ł
ł
normalny w punkcie
normalny w punkcie
P
P
0
0
na geoidzie wynosi:
na geoidzie wynosi:
T
N
U
T
U
W
e
+
⋅
−
=
+
=
γ
N
U
N
n
U
U
U
e
e
e
⋅
−
=
∂
∂
+
=
γ
a potencja
a potencja
ł
ł
rzeczywisty w tym samym punkcie jest r
rzeczywisty w tym samym punkcie jest r
ó
ó
wny:
wny:
Janusz Walo
Janusz Walo
10
10
Koncepcja
Koncepcja
Stokes
Stokes
’
’
a
a
(Podstawowe r
(Podstawowe r
ó
ó
wnanie geodezji fizycznej
wnanie geodezji fizycznej
…
…
II )
II )
Pami
Pami
ę
ę
taj
taj
ą
ą
c,
c,
Ŝ
Ŝ
e potencja
e potencja
ł
ł
y geoidy i elipsoidy s
y geoidy i elipsoidy s
ą
ą
sobie r
sobie r
ó
ó
wne tzn.
wne tzn.
W=W
W=W
0
0
=U
=U
e
e
mo
mo
Ŝ
Ŝ
emy napisa
emy napisa
ć
ć
:
:
γ
γ
e
U
W
T
N
−
=
=
N
T
⋅
=
γ
Sk
Sk
ą
ą
d otrzymujemy zwi
d otrzymujemy zwi
ą
ą
zek potencja
zek potencja
ł
ł
ó
ó
w geoidy i elipsoidy z
w geoidy i elipsoidy z
wysoko
wysoko
ś
ś
ci
ci
ą
ą
geoidy
geoidy
(wysoko
(wysoko
ś
ś
ci
ci
ą
ą
geometryczn
geometryczn
ą
ą
)
)
zwany
zwany
r
r
ó
ó
wnaniem
wnaniem
Brunsa
Brunsa
:
:
(8)
(8)
(9)
(9)
6
Janusz Walo
Janusz Walo
11
11
Koncepcja
Koncepcja
Stokes
Stokes
’
’
a
a
(Podstawowe r
(Podstawowe r
ó
ó
wnanie geodezji fizycznej
wnanie geodezji fizycznej
…
…
III )
III )
Wz
Wz
ó
ó
r na potencja
r na potencja
ł
ł
zak
zak
ł
ł
ó
ó
caj
caj
ą
ą
cy odnosz
cy odnosz
ą
ą
cy si
cy si
ę
ę
do punktu
do punktu
P
P
0
0
na
na
geoidzie ma posta
geoidzie ma posta
ć
ć
:
:
γ
δ
−
=
∂
∂
−
=
0
g
n
T
g
U
W
T
−
=
0
kt
kt
ó
ó
ry po zr
ry po zr
ó
ó
Ŝ
Ŝ
niczkowaniu wzgl
niczkowaniu wzgl
ę
ę
dem normalnych do geoidy i elipsoidy
dem normalnych do geoidy i elipsoidy
przyjmie posta
przyjmie posta
ć
ć
:
:
Otrzyman
Otrzyman
ą
ą
r
r
ó
ó
Ŝ
Ŝ
nic
nic
ę
ę
przyspiesze
przyspiesze
ń
ń
δ
δ
g
g
rzeczywistego i normalnego, obu
rzeczywistego i normalnego, obu
wzi
wzi
ę
ę
tych w tym samym punkcie na geoidzie, nazywamy
tych w tym samym punkcie na geoidzie, nazywamy
zak
zak
ł
ł
ó
ó
ceniem
ceniem
grawimetrycznym
grawimetrycznym
lub rzadziej
lub rzadziej
w
w
ł
ł
a
a
ś
ś
ciw
ciw
ą
ą
anomali
anomali
ą
ą
grawimetryczn
grawimetryczn
ą
ą
.
.
(10)
(10)
Janusz Walo
Janusz Walo
12
12
Koncepcja
Koncepcja
Stokes
Stokes
’
’
a
a
(Podstawowe r
(Podstawowe r
ó
ó
wnanie geodezji fizycznej
wnanie geodezji fizycznej
…
…
IV )
IV )
Przyspieszenie normalne na geoidzie mo
Przyspieszenie normalne na geoidzie mo
Ŝ
Ŝ
na zapisa
na zapisa
ć
ć
:
:
...
+
∂
∂
+
=
N
n
e
e
γ
γ
γ
Po wstawieniu za
Po wstawieniu za
N
N
wyra
wyra
Ŝ
Ŝ
enia z wzoru
enia z wzoru
Brunsa
Brunsa
mamy:
mamy:
Dodaj
Dodaj
ą
ą
c do obydwu stron warto
c do obydwu stron warto
ść
ść
przyspieszenia na geoidzie
przyspieszenia na geoidzie
g
g
0
0
otrzymamy:
otrzymamy:
...
+
⋅
∂
∂
+
=
e
e
e
T
n
γ
γ
γ
γ
...
+
⋅
∂
∂
+
−
=
−
e
e
o
e
o
T
n
g
g
γ
γ
γ
γ
7
Janusz Walo
Janusz Walo
13
13
Koncepcja
Koncepcja
Stokes
Stokes
’
’
a
a
(Podstawowe r
(Podstawowe r
ó
ó
wnanie geodezji fizycznej
wnanie geodezji fizycznej
…
…
V )
V )
Zaniedbuj
Zaniedbuj
ą
ą
c r
c r
ó
ó
Ŝ
Ŝ
nic
nic
ę
ę
kierunk
kierunk
ó
ó
w normalnych do geoidy i elipsoidy
w normalnych do geoidy i elipsoidy
otrzymamy wyra
otrzymamy wyra
Ŝ
Ŝ
enie nazywane
enie nazywane
podstawowym r
podstawowym r
ó
ó
wnaniem geodezji
wnaniem geodezji
fizycznej
fizycznej
albo
albo
podstawowym r
podstawowym r
ó
ó
wnaniem r
wnaniem r
ó
ó
Ŝ
Ŝ
niczkowym grawimetrii
niczkowym grawimetrii
:
:
N
U
g
g
albo
T
n
n
T
g
ZZ
⋅
+
=
∆
⋅
∂
∂
+
∂
∂
−
=
∆
δ
γ
γ
R
R
ó
ó
wnanie powy
wnanie powy
Ŝ
Ŝ
sze spe
sze spe
ł
ł
nia
nia
trzecie zagadnienie brzegowe teorii potencja
trzecie zagadnienie brzegowe teorii potencja
ł
ł
u
u
na powierzchni geoidy (kombinacja liniowa potencja
na powierzchni geoidy (kombinacja liniowa potencja
ł
ł
u zak
u zak
ł
ł
ó
ó
caj
caj
ą
ą
cego i jego
cego i jego
pochodnej w kierunku normalnej). Jest
pochodnej w kierunku normalnej). Jest
warunkiem brzegowym
warunkiem brzegowym
teorii
teorii
potencja
potencja
ł
ł
u.
u.
R
R
ó
ó
wnanie to wi
wnanie to wi
ąŜ
ąŜ
e anomalie i zak
e anomalie i zak
ł
ł
ó
ó
cenia grawimetryczne z wysoko
cenia grawimetryczne z wysoko
ś
ś
ciami
ciami
geoidy. Dla przybli
geoidy. Dla przybli
Ŝ
Ŝ
enie sferycznego r
enie sferycznego r
ó
ó
wnanie przyjmie posta
wnanie przyjmie posta
ć
ć
:
:
R
T
r
T
g
2
−
∂
∂
−
≈
∆
(11)
(11)
(12)
(12)
Janusz Walo
Janusz Walo
14
14
Koncepcja
Koncepcja
Stokes
Stokes
’
’
a
a
(Wz
(Wz
ó
ó
r
r
Stokes
Stokes
’
’
a
a
…
…
I )
I )
Stokes
Stokes
w 1849r.
w 1849r.
poda
poda
ł
ł
rozwi
rozwi
ą
ą
zanie zagadnienia brzegowego geodezji
zanie zagadnienia brzegowego geodezji
fizycznej. Podstaw
fizycznej. Podstaw
ą
ą
rozwi
rozwi
ą
ą
zania by
zania by
ł
ł
o za
o za
ł
ł
o
o
Ŝ
Ŝ
enie,
enie,
Ŝ
Ŝ
e potencja
e potencja
ł
ł
zak
zak
ł
ł
ó
ó
caj
caj
ą
ą
cy w przestrzeni zewn
cy w przestrzeni zewn
ę
ę
trznej jest funkcj
trznej jest funkcj
ą
ą
harmoniczn
harmoniczn
ą
ą
(spe
(spe
ł
ł
nia r
nia r
ó
ó
wnanie
wnanie
Laplace
Laplace
’
’
a
a
).
).
Aby tak by
Aby tak by
ł
ł
o musz
o musz
ą
ą
by
by
ć
ć
spe
spe
ł
ł
nione pewne
nione pewne
warunki:
warunki:
1.
1.
ś
ś
adne masy nie b
adne masy nie b
ę
ę
d
d
ą
ą
znajdowa
znajdowa
ć
ć
si
si
ę
ę
ponad geoid
ponad geoid
ą
ą
(stosowa
(stosowa
ć
ć
nale
nale
Ŝ
Ŝ
y odpowiednie redukcje grawimetryczne np. redukcj
y odpowiednie redukcje grawimetryczne np. redukcj
ę
ę
wolnopowietrzn
wolnopowietrzn
ą
ą
)
)
2.
2.
Elipsoida ekwipotencjalna ma tak
Elipsoida ekwipotencjalna ma tak
ą
ą
sam
sam
ą
ą
mas
mas
ę
ę
jak geoida, a
jak geoida, a
ś
ś
rodki ich mas pokrywaj
rodki ich mas pokrywaj
ą
ą
si
si
ę
ę
.
.
3.
3.
Osie g
Osie g
ł
ł
ó
ó
wnych moment
wnych moment
ó
ó
w bezw
w bezw
ł
ł
adno
adno
ś
ś
ci geoidy i elipsoidy
ci geoidy i elipsoidy
pokrywaj
pokrywaj
ą
ą
si
si
ę
ę
ze sob
ze sob
ą
ą
.
.
8
Janusz Walo
Janusz Walo
15
15
Koncepcja
Koncepcja
Stokes
Stokes
’
’
a
a
(Wz
(Wz
ó
ó
r
r
Stokes
Stokes
’
’
a
a
…
…
II )
II )
Pochodn
Pochodn
ą
ą
potencja
potencja
ł
ł
u zak
u zak
ł
ł
ó
ó
caj
caj
ą
ą
cego mo
cego mo
Ŝ
Ŝ
na zapisa
na zapisa
ć
ć
:
:
(
) (
)
∑
∞
=
⋅
+
=
∂
∂
−
=
2
,
1
1
n
n
T
n
R
r
T
g
λ
ϑ
δ
Po wstawieniu do r
Po wstawieniu do r
ó
ó
wnania podstawowego r
wnania podstawowego r
ó
ó
wnania geodezji fizycznej
wnania geodezji fizycznej
(12)
(12)
otrzymamy rozwini
otrzymamy rozwini
ę
ę
cie anomalii grawimetrycznej w szereg harmonicznych
cie anomalii grawimetrycznej w szereg harmonicznych
sferycznych:
sferycznych:
(13)
(13)
(14)
(14)
(
) (
)
∑
∞
=
⋅
−
=
∆
2
,
1
1
n
n
T
n
R
g
λ
ϑ
(
)
(
)
(
)
∑ ∑
∞
=
=
⋅
⋅
+
⋅
=
∆
2
0
2
cos
sin
cos
,
n
n
m
nm
nm
nm
P
m
K
m
J
R
M
G
g
ϑ
λ
λ
κ
λ
ϑ
Janusz Walo
Janusz Walo
16
16
Koncepcja
Koncepcja
Stokes
Stokes
’
’
a
a
(Wz
(Wz
ó
ó
r
r
Stokes
Stokes
’
’
a
a
…
…
III )
III )
Wsp
Wsp
ó
ó
ł
ł
czynniki we wzorze
czynniki we wzorze
(14)
(14)
mo
mo
Ŝ
Ŝ
na wyznaczy
na wyznaczy
ć
ć
dysponuj
dysponuj
ą
ą
c
c
wystarczaj
wystarczaj
ą
ą
c
c
ą
ą
liczb
liczb
ą
ą
warto
warto
ś
ś
ci anomalii w punktach r
ci anomalii w punktach r
ó
ó
wnomiernie
wnomiernie
rozmieszczonych na powierzchni Ziemi. Mo
rozmieszczonych na powierzchni Ziemi. Mo
Ŝ
Ŝ
na te
na te
Ŝ
Ŝ
je wyznaczy
je wyznaczy
ć
ć
poprzez ca
poprzez ca
ł
ł
kowanie anomalii po ca
kowanie anomalii po ca
ł
ł
ej powierzchni.
ej powierzchni.
Wed
Wed
ł
ł
ug koncepcji
ug koncepcji
Stokes
Stokes
’
’
a
a
nie wyznacza si
nie wyznacza si
ę
ę
bezpo
bezpo
ś
ś
rednio
rednio
wsp
wsp
ó
ó
ł
ł
czynnik
czynnik
ó
ó
w, ale wykorzystuje si
w, ale wykorzystuje si
ę
ę
wz
wz
ó
ó
r ca
r ca
ł
ł
kowy opisuj
kowy opisuj
ą
ą
cy
cy
potencja
potencja
ł
ł
zak
zak
ł
ł
ó
ó
caj
caj
ą
ą
cy postaci:
cy postaci:
(
)
( )
σ
ψ
π
σ
d
g
P
n
n
R
T
n
n
⋅
∆
⋅
−
+
=
∫∫ ∑
∞
=
cos
1
1
2
4
2
gdzie
gdzie
∆
∆
g
g
oznacza anomali
oznacza anomali
ę
ę
przyporz
przyporz
ą
ą
dkowan
dkowan
ą
ą
elementowi
elementowi
d
d
σ
σ
, a
, a
ψ
ψ
to
to
odleg
odleg
ł
ł
o
o
ść
ść
sferyczna elementu
sferyczna elementu
d
d
σ
σ
od punktu, w kt
od punktu, w kt
ó
ó
rym liczymy warto
rym liczymy warto
ść
ść
potencja
potencja
ł
ł
u
u
T
T
.
.
(15)
(15)
9
Janusz Walo
Janusz Walo
17
17
Koncepcja
Koncepcja
Stokes
Stokes
’
’
a
a
(Wz
(Wz
ó
ó
r
r
Stokes
Stokes
’
’
a
a
…
…
IV )
IV )
Ostatecznie wyra
Ostatecznie wyra
Ŝ
Ŝ
enie (15) mo
enie (15) mo
Ŝ
Ŝ
na zapisa
na zapisa
ć
ć
w postaci:
w postaci:
( )
( )
∫∫
⋅
⋅
∆
=
σ
σ
ψ
π
d
S
g
R
T
4
gdzie wyra
gdzie wyra
Ŝ
Ŝ
enie
enie
S(
S(
ψ
ψ
)
)
nosi nazw
nosi nazw
ę
ę
funkcji
funkcji
Stokes
Stokes
’
’
a
a
postaci:
postaci:
(16)
(16)
( )
(
)
+
−
−
−
+
=
−
+
=
∑
∞
=
2
sin
2
sin
ln
cos
3
2
sin
6
cos
5
1
2
sin
1
cos
1
1
2
2
2
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
n
n
P
n
n
S
(17)
(17)
Wstawiaj
Wstawiaj
ą
ą
c wyra
c wyra
Ŝ
Ŝ
enie (16) do wzoru
enie (16) do wzoru
Brunsa
Brunsa
dostaniemy
dostaniemy
wzory
wzory
Stokes
Stokes
’
’
a
a
lub
lub
ca
ca
ł
ł
ki
ki
Stokes
Stokes
’
’
a
a
pozwlaj
pozwlaj
ą
ą
ce
ce
na wyznaczenie geoidy z danych
na wyznaczenie geoidy z danych
grawimetrycznych:
grawimetrycznych:
( )
( )
∫∫
⋅
⋅
∆
=
=
σ
σ
ψ
γ
π
γ
d
S
g
R
T
N
m
m
4
(18)
(18)
Janusz Walo
Janusz Walo
18
18
Koncepcja
Koncepcja
Stokes
Stokes
’
’
a
a
(Wz
(Wz
ó
ó
r
r
Stokes
Stokes
’
’
a
a
…
…
V )
V )
Do praktycznych zastosowa
Do praktycznych zastosowa
ń
ń
wzoru (18) wybra
wzoru (18) wybra
ć
ć
nale
nale
Ŝ
Ŝ
y dogodny
y dogodny
uk
uk
ł
ł
ad wsp
ad wsp
ó
ó
ł
ł
rz
rz
ę
ę
dnych biegunowych na sferze jednostkowej, w kt
dnych biegunowych na sferze jednostkowej, w kt
ó
ó
rym
rym
element powierzchni wyra
element powierzchni wyra
Ŝ
Ŝ
a zale
a zale
Ŝ
Ŝ
no
no
ść
ść
:
:
α
ψ
ψ
σ
d
d
d
⋅
⋅
= sin
(19)
(19)
10
Janusz Walo
Janusz Walo
19
19
Koncepcja
Koncepcja
Stokes
Stokes
’
’
a
a
(Wz
(Wz
ó
ó
r
r
Stokes
Stokes
’
’
a
a
…
…
VI )
VI )
Wprowadzaj
Wprowadzaj
ą
ą
c
c
(19)
(19)
do wzoru
do wzoru
Stokes
Stokes
’
’
a
a
(18)
(18)
dostaniemy:
dostaniemy:
Niestety warto
Niestety warto
ść
ść
funkcji
funkcji
S(
S(
ψ
ψ
)
)
w punkcie
w punkcie
P
P
jest niesko
jest niesko
ń
ń
czona, co
czona, co
uniemo
uniemo
Ŝ
Ŝ
liwia jej praktyczne zastosowanie do wyznaczenia wysoko
liwia jej praktyczne zastosowanie do wyznaczenia wysoko
ś
ś
ci geoidy.
ci geoidy.
W zwi
W zwi
ą
ą
zku z tym zast
zku z tym zast
ę
ę
puje si
puje si
ę
ę
j
j
ą
ą
funkcj
funkcj
ą
ą
o znacznie korzystniejszym
o znacznie korzystniejszym
przebiegu postaci:
przebiegu postaci:
(
) ( )
∫ ∫
⋅
⋅
⋅
⋅
∆
=
π π
α
ψ
ψ
ψ
α
ψ
γ
π
2
0 0
sin
,
4
d
d
S
g
R
N
m
(20)
(20)
( )
( )
ψ
ψ
ψ
sin
2
1
⋅
=
S
F
(21)
(21)
Janusz Walo
Janusz Walo
20
20
Koncepcja
Koncepcja
Stokes
Stokes
’
’
a
a
(Wz
(Wz
ó
ó
r
r
Stokes
Stokes
’
’
a
a
…
…
VII )
VII )
Funkcja
Funkcja
Stokes
Stokes
’
’
a
a
S(
S(
ψ
ψ
)
)
i funkcja
i funkcja
F(
F(
ψ
ψ
)
)
…
…
11
Janusz Walo
Janusz Walo
21
21
Koncepcja
Koncepcja
Stokes
Stokes
’
’
a
a
(Wz
(Wz
ó
ó
r
r
Stokes
Stokes
’
’
a
a
…
…
VIII )
VIII )
Ostatecznie zatem wz
Ostatecznie zatem wz
ó
ó
r
r
Stokes
Stokes
’
’
a
a
przyjmie posta
przyjmie posta
ć
ć
:
:
(
) ( )
∫ ∫
⋅
⋅
⋅
∆
=
π π
α
ψ
ψ
α
ψ
γ
π
2
0 0
,
2
d
d
F
g
R
N
m
(22)
(22)
Janusz Walo
Janusz Walo
22
22
Koncepcja
Koncepcja
Stokes
Stokes
’
’
a
a
(Wzory
(Wzory
Vening
Vening
-
-
Meinesza
Meinesza
…
…
I )
I )
W roku 1928 holenderski geodeta
W roku 1928 holenderski geodeta
F.Vening
F.Vening
-
-
Meinesz
Meinesz
(prawie 80 lat po
(prawie 80 lat po
opublikowaniu teorii
opublikowaniu teorii
Stokes
Stokes
’
’
a
a
)
)
przedstawi
przedstawi
ł
ł
metod
metod
ę
ę
wykorzystania
wykorzystania
anomalii grawimetrycznych do wyznaczenia odchyle
anomalii grawimetrycznych do wyznaczenia odchyle
ń
ń
pionu na
pionu na
geoidzie. Wykorzysta
geoidzie. Wykorzysta
ł
ł
w tym celu prost
w tym celu prost
ą
ą
zale
zale
Ŝ
Ŝ
no
no
ść
ść
geometryczn
geometryczn
ą
ą
:
:
ds
dN
−
=
θ
(23)
(23)
12
Janusz Walo
Janusz Walo
23
23
Koncepcja
Koncepcja
Stokes
Stokes
’
’
a
a
(Wzory
(Wzory
Vening
Vening
-
-
Meinesza
Meinesza
…
…
II )
II )
C.d.n.
C.d.n.
…
…