SIMR Analiza 1, zadania: Granice ciągów c.d, Elementy topologii

1. Obliczyć granicę ciągu lim

n→∞

a

n

(a) a

n

=

n+(−1)

n

n

(b) a

n

=

√

n

2

+ n −

√

n

2

− n

(c) a

n

=

√

n

2

+

√

n+1−

√

n

2

−

√

n−1

√

n+1−

√

n

(d) a

n

= n(

3

√

n

3

+ 1 − n)

(e) a

n

= n(ln(n + 3) − ln n)

(f) a

n

=





n

2

+ 3n

n

2

+ 4





n−1

(g) a

n

=





n

3

+ n − 1

n

3

+ 4





2n

2

−4

(h) a

n

=





n

2

+

√

n

n

2

+

3

√

n





2n+1

(i) a

n

=





n + 2n

2

n + n

2

− 1





n−3

(j) a

n

=





n

3

+ 2n − 1

n

3

+ 3n

2

− n





n

2

−3

2. Pokazać, że dla dowolnych zbiorów A, B, A

n

⊂ R :

(a) int



A ∩ B



= intA ∩ intB

(b) intA ∪ intB ⊂ int



A ∪ B



, podać przykład zbiorów dla których nie zachodzi

równość

(c) A ∪ B = A ∪ B

(d) A ∩ B ⊂ A ∩ B , podać przykład zbiorów dla których nie zachodzi równość

(e) Jeżeli A

n

są otwarte to

∞

S

n=1

A

n

też jest otwarty

(f) Jeżeli A

n

są domknięte to

∞

T

n=1

A

n

też jest domknięty

(g) Podać przykład zbiorów otwartych A

n

, takich, że

∞

T

n=1

A

n

nie jest otwarty