SIMR 2010/11, Analiza 1, wykład 4, 2010-10-28
Funkcja ciągła c.d.
Rodzaje punktów nieciągłości
Przykłady funkcji f :< 0, ∞) → R nieciągłej tylko w jednym punkcie x
0
= 0
1. Funkcja ma granicę skończoną w x
0
, ale granica ta nie jest równa wartości funkcji w x
0
f (x) =
(
1
dla x > 0
0
dla x = 0
W punkcie x
0
= 0 funkcja ma skok skończony.
2. Funkcja ma granicę nieskończoną w x
0
f (x) =
1
x
dla x > 0
0
dla x = 0
W punkcie x
0
= 0 funkcja ma skok nieskończony.
3. Funkcja nie ma granicy w x
0
(nieskończenie wiele oscylacji w otoczeniu x
0
)
f (x) =
(
sin
1
x
dla x > 0
0
dla x = 0
Uwaga: W każdym punkcie nieciągłości funkcja zachowuje się podobnie jak w powyższych
przykładach. Zachowanie się funkcji nieciągłej może być bardziej złożone niż w powyższych
prostych przykładach:
1. Amplituda oscylacji może być nieskończona
2. Funkcja może być ciągła z np. lewej strony i nieciągła z prawej
3. Typy nieciągłości funkcji z lewej i prawej strony mogą być różne
4. Może być wiele (nieskończenie wiele) punktów nieciągłości np. funkcja Dirichleta nieciągła
w każdym punkcie:
f (x) =
(
1 dla x ∈ Q
0 dla x /
∈ Q
Zastosowania funkcji ciągłej:
Twierdzenie 1 Jeżeli funkcja f : D → R jest ciągła, a zbiór D jest domknięty i ograniczony
to f jest ograniczona (tzn. zbiór f (D) jest ograniczony).
Twierdzenie 2 Jeżeli funkcja f : D → R jest ciągła, a zbiór D jest domknięty i ograniczony
to f ma na D maksimum i minimum globalne (tzn.
∃x
1
∈ D
f (x
1
) = max (D) oraz
∃x
2
∈ D
f (x
2
) = min (D) ).
Twierdzenie 3 Jeżeli funkcja f : D → R jest ciągła, a zbiór D jest przedziałem to zbiór
f (D) jest też przedziałem.
Z tego twierdzenie wynika, że dla D =< a, b > jeżeli f (a) > 0 oraz f (b) < 0 to istnieje
x
0
∈ (a, b) takie, że f (x
0
) = 0
Uwaga: Ważnym założeniem w powyższych twierdzeniaech są założenia o zbiorze D.
Przykład: Pokazać, że równanie e
x
= 2 − x ma rozwiązanie.
Niech f (x) = e
x
+ x − 2. Mamy f (0) = −1 < 0 , f (1) = e − 1 > 0. Funkcja f jest ciągła
na przedziale < 0, 1 >. Wynika stąd, że w przedziale (0, 1) ma przynajmniej jedno miejsce
zerowe: f (x
0
) = 0 , x
0
∈ (0, 1) . c
0
jest rozwiązaniem równania.
Pochodna funkcji
Definicja:
1
Niech będzie dana funkcja f : D → R oraz punkt x ∈ intD. Wtedy pochodną funkcji f w
punkcie x nazywamy granicę (o ile istnieje i jest skończona):
f
0
(x) = lim
h→0
f (x + h) − f (x)
h
Uwaga 1: Wyrażenie
f (x + h) − f (x)
h
nazywamy ilorazem różnicowym; iloraz ten oznacza
się rózwnież
∆f
∆x
- stosunek przyrostu wartości funkcji do przyrostu argumentu. Pochodna
jest to granica ilorazu różnicowego, gdy przyrost argumentu dąży do zera. Pochodną funkcji
oznaczamy też:
f
0
=
df
dx
Uwaga 2: Jeżeli funkcja f ma pochodną w punkcie x to mówimy, że jest różniczkowalna
w punkcie x. Jeżeli ma pochodną w każdym punkcie x ∈ D to mówimy, że funkcja jest
różniczkowalna. Obliczanie pochodnej nazywamy też różniczkowaniem funkcji.
Interpretacja geometryczna pochodnej
Iloraz różnicowy jest równy współczynnikowi kierunkowemu prostej siecznej wykresu funkcji:
prostej przechodzącej przez punkty P (x, f (x)) i Q(x + h, f (x + h)) . Pochodna jest współ-
czynnikiem kierunkowym prostej stycznej do wykresu funkcji w punkcie P
Interpretacja fizyczna pochodnej
Niech x(t) będzie położenima ciała w chwili t. Prędkością średnią nazywamy iloraz różnicowy:
v
s
(t, ∆t) =
x(t + ∆t) − x(t)
∆t
Prędkość średnia jest funkcją dwóch zmiennych: t i ∆t. Prędkością chwilową nazywamy
granicę prędkości średniej:
v(t) = lim
∆t→0
v
s
(t, ∆t)
Prędkość chwilowa jest funkcją jednej zmiennej t. Widać, że:
v(t) = x
0
(t)
Podobnie:
a(t) = v
0
(t)
Przykład: Obliczyć pochodną funkcji f (x) = a (funkcja stała)
Dziedzina f D = R.jest zbiorem otwartym, a więc każdy pukt x ∈ R jest punktem wewnętrz-
nym dziedziny.
Dla ustalonego x obliczamy granicę:
f
0
(x) = lim
h→0
f (x + h) − f (x)
h
= lim
h→0
a − a
h
= 0
Granica ta istnieje dla każdego x ∈ R a więc funkcja f (x) = a jest różniczkowalna i jej
pochodna jest równa:
(a)
0
= 0
Przykład: Obliczyć pochodną funkcji f (x) = x
3
Dziedzina f D = R.jest zbiorem otwartym, a więc każdy pukt x ∈ R jest punktem wewnętrz-
nym dziedziny.
Dla ustalonego x obliczamy granicę:
f
0
(x) = lim
h→0
f (x + h) − f (x)
h
= lim
h→0
(x + h)
3
− x
3
h
= lim
h→0
x
3
+ 3x
2
h + 3xh
2
+ h
3
− x
3
h
=
lim
h→0
3x
2
h + 3xh
2
+ h
3
h
= lim
h→0
(3x
2
+ 3xh + h
2
) = 3x
2
Granica ta istnieje dla każdego x ∈ R a więc funkcja f (x) = x
3
jest różniczkowalna i jej
pochodna jest równa:
(x
3
)
0
= 3x
2
2
Uwaga: Wzór ten jest prawdziwy dla x > 0.
Dla x < 0 wzór ten jest prawdziwy, jeśli α =
p
q
(liczba wymierna, ułamek nieskracalny),
p, q ∈ Z , q jest liczbą nieparzystą. Jeżeli ponadto α > 1 to zwór oboiązuja dla x = 0.
Przykład: Obliczyć pochodną funkcji f (x) = sin x
Dziedzina f D = R.jest zbiorem otwartym, a więc każdy pukt x ∈ R jest punktem wewnętrz-
nym dziedziny.
Dla ustalonego x obliczamy granicę:
f
0
(x) = lim
h→0
f (x + h) − f (x)
h
= lim
h→0
sin(x + h) − sin x
h
= lim
h→0
2 sin
h
2
cos
2x + h
2
h
=
lim
h→0
sin
h
2
h
2
cos
2x + h
2
= cos x
Granica ta istnieje dla każdego x ∈ R a więc funkcja f (x) = sin x jest różniczkowalna i jej
pochodna jest równa:
(sin x)
0
= cos x
Analogicznie pokazujemy, że:
(cos x)
0
= − sin x
Przykład: Obliczyć pochodną funkcji f (x) = ln x
Dziedzina f D = (0, ∞) jest zbiorem otwartym, a więc każdy pukt x ∈ (0, ∞) jest punktem
wewnętrznym dziedziny.
Dla ustalonego x obliczamy granicę:
f
0
(x) = lim
h→0
f (x + h) − f (x)
h
= lim
h→0
ln(x + h) − ln x
h
= lim
h→0
ln(1 +
h
x
)
h
= lim
h→0
ln(1 +
h
x
)
h
x
·
1
x
=
1
x
Granica ta istnieje dla każdego x ∈ (0, ∞) a więc funkcja f (x) = ln x jest różniczkowalna i
jej pochodna jest równa:
(ln x)
0
=
1
x
Własności pochodnej:
Jeżeli istnieją pochodna funkcji f
0
(x) i g
0
(x) to istnieją też poniższe pochodne i są równe:
1. (af (x))
0
= af
0
(x) , a ∈ R
2. (f (x) + g(x))
0
= f
0
(x) + g
0
(x)
3. (f (x) − g(x))
0
= f
0
(x) − g
0
(x)
4. (f (x) · g(x))
0
= f
0
(x) · g(x) + f (x) · g
0
(x)
5.
f (x)
g(x)
!
0
=
f
0
(x) · g(x) − f (x) · g
0
(x)
g
2
(x)
, jeśli g(x) 6= 0
6. Jeżeli y = g(x) i istnieje f
0
(y) to (f (g(x)))
0
= f
0
(y) · g
0
(x)
Uwaga 1: Własności pochodnej 1,2,3 są takie same jak własości granic funkcji, natomiast
własności 4,5,6 są inne!
Uwaga 2: Własność 6 jest to pochodna złożenia (superpozycji) funkcji. Funkcję f nazywamy
funkcją zewnętrzną, a funkcję g funkcją wewnętrzną. Pochodna złożenia jest więc równa
iloczynowi pochodnej funkcji zewnętrzej i pochodnej funkcji wewnętrznej (w odpowiednich
punktach).
3
Przykłady Obliczyć pochodne funkcji:
(6x
4
− 4x
2
+ 7)
0
= 6(x
4
)
0
− 4(x
2
)
0
+ (7)
0
= 6 · 4x
3
− 4 · 2x
1
+ 0 = 24x
3
− 8x
2x
3
− 6x + 2
√
x
!
0
=
2x
5
2
− 6x
1
2
+ 2x
−
1
2
0
= 5x
3
2
− 3x
1
2
− x
−
3
2
= 5
√
x
3
− 3
1
√
x
−
1
√
x
3
(x
3
ln x)
0
= (x
3
)
0
ln x + x
3
(ln x)
0
= 3x
2
ln x + x
3
1
x
= 3x
2
ln x + x
2
= x
2
(3 ln x + 1)
x
2
+ 1
x
2
− 1
!
0
=
(x
2
+ 1)
0
· (x
2
− 1) − (x
2
+ 1) · (x
2
− 1)
0
(x
2
− 1)
2
=
2x · (x
2
− 1) − (x
2
+ 1) · 2x
(x
2
− 1)
2
=
−4x
(x
2
− 1)
2
(tg x)
0
=
sin x
cos x
0
=
(sin x)
0
cos x − sin x(cos x)
0
cos
2
x
=
cos x cos x − sin x(− sin x)
cos
2
x
=
1
cos
2
x
(ctg x)
0
= −
1
sin
2
x
(analogicznie)
(ln(cos x))
0
Wykorzystujemy wzór na pochodną złożenia funkcji: y = g(x) = cos x , f (y) = ln y . Wtedy:
f
0
(y) =
1
y
, g
0
(x) = − sin x , a więc:
(ln(cos x))
0
=
1
y
· (− sin x) = −
sin x
cos x
= − tg x
√
x
2
+ 1
0
Mamy: y = x
2
+ 1 , f (y) =
√
y
√
x
2
+ 1
0
=
1
2
√
y
· 2x =
2x
√
x
2
+ 1
(sin(ln x))
0
Mamy: y = ln x , f (y) = sin y
(sin(ln x))
0
= cos y ·
1
x
=
1
x cos(ln x)
(ln(sin x
2
))
0
Jest to złożenie trzech funkcji. Mamy: y = ln x
2
, z = sin y , f (z) = ln z
(ln(sin x
2
)
0
=
1
z
· cos y · 2x =
2x cos(x
2
)
sin(x
2
)
ln(x
3
+ x sin
2
x))
0
=
3x
2
+ sin
2
x + x · 2 sin x cos x
x
3
+ x sin
2
x
(x
α
)
0
= (e
ln x
α
)
0
= (e
α ln x
)
0
= e
α ln x
·
1
x
= x
α
·
1
x
= αx
α−1
, α ∈ R , x > 0
Pochodna funkcji odwrotnej
Twierdzenie: Dana jest funkcja f : D
1
→ D
2
ciągła, odwracalna oraz punkt x ∈ D
1
taki, że
f
0
(x) 6= 0 . Wtedy funkcja odwrotna do f ma pochodną w punkcie y = f (x) i jej pochodna
jest równa:
(f
−1
(y))
0
=
1
f
0
(x)
Przykład: Obliczyć pochodną funkcji e
x
Funkcja f (x) = ln x spełnia założenia twierdzenia w każdym punkcie x ∈ (0, ∞) . Funkcją
odwrotną jest e
x
:
4
y = ln x ⇐⇒ x = e
y
Stąd
(e
y
)
0
=
1
(ln x)
0
=
1
1
x
= x = e
y
Lub zmieniając oznaczenie argumentu:
(e
x
)
0
= e
x
Przykład zastosowania pochodnej
Dane jest położenie ciała w czasie t :
x(t) = t
3
+ 4 cos t. Obliczyć prędkość chwilową v(t) i przyśpieszenie chwilowe a(t) w czasie t
v(t) = (x(t))
0
= 3t
2
− 4 sin t
a(t) = (v(t))
0
= 6t − 4 cos t
Funkcje hiperboliczne
Sinus hiperboliczny
sinh x =
e
x
− e
−x
2
Dziedzina: D = R
Zbiór wartości: sinh(D) = R
Funkcja nieparzysta, rosnąca
Cosinus hiperboliczny
cosh x =
e
x
+ e
−x
2
Dziedzina: D = R
Zbiór wartości: cosh(D) =< 1, ∞)
Funkcja parzysta, rosnąca w przedziale < 0, ∞)
Tangens hiperboliczny
tgh x =
sinh x
cosh x
Dziedzina: D = R
Zbiór wartości: tgh(D) = (−1, 1)
Funkcja nieparzysta, rosnąca
Cotangens hiperboliczny
ctgh x =
cosh x
sinh x
Dziedzina: D = (−∞, 0) ∪ (0, ∞)
Zbiór wartości: ctgh(D) = (−∞, −1) ∪ (1, ∞)
Funkcja nieparzysta, malejąca w przedziale (−∞, −1) oraz w przedziale (1, ∞)
Pewne własności funkcji hiperbolicznych:
cosh
2
x − sinh
2
x = 1
cosh
2
x + sinh
2
x = cosh 2x
(sinh x)
0
= cosh x
(cosh x)
0
= sinh x
(tgh x)
0
=
1
cosh
2
x
(ctgh x)
0
= −
1
sinh
2
x
Funkcje cyklometryczne
Chcemy zdefiniować funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych. Aby funkcja odwrotna
istniała musimy ograniczyć dzidzinę i przeciwdziedzinę funkcji trygonometrycznych, aby uzy-
skać funkcją różnowartościową i “na”.
5
Funkcja f :< −
π
2
,
π
2
>→< −1, 1 > , f (x) = sin x ma funkcję odwrotną. Funkcję tę nazy-
wamy arcus sinus:
arc sin x :< −1, 1 >→< −
π
2
,
π
2
>
y = arc sin x ⇐⇒
x = sin y
y ∈< −
π
2
,
π
2
>
Funkcja f :< 0, π >→< −1, 1 > , f (x) = cos x ma funkcję odwrotną. Funkcję tę nazywamy
arcus cosinus:
arc cos x :< −1, 1 >→< 0, π >
y = arc cos x ⇐⇒
(
x = cos y
y ∈< 0, π >
Funkcja f : (−
π
2
,
π
2
) → (−∞, ∞) , f (x) = tg x ma funkcję odwrotną. Funkcję tę nazywamy
arcus tangens:
arc tg x : (−∞, ∞) → (−
π
2
,
π
2
)
y = arc tg x ⇐⇒
x = tg y
y ∈ (−
π
2
,
π
2
)
Funkcja f : (0, π) → (−∞, ∞) , f (x) = ctg x ma funkcję odwrotną. Funkcję tę nazywamy
arcus cotangens:
arc ctg x : (−∞, ∞) → (0, π)
y = arc ctg x ⇐⇒
(
x = ctg y
y ∈ (0, π)
Uwaga Powyższe funkcje są funkjami odwrotnymi tylko do jednej gałęzi danej funkcji try-
gonometrycznej.
Przykład 1: Obliczyć y = sin(arc sin x)
Oznaczmy z = arc sin x
Wtedy x = sin z , z ∈< −
π
2
,
π
2
>
Oraz:
y = sin z
Stąd:
y = x ∀x ∈< −1, 1 >
Przykład 2: Obliczyć y = arc sin(sin x)
Oznaczmy z = sin x
Wtedy y = arc sin z , czyli
z = sin y , y ∈< −
π
2
,
π
2
>
Mamy:
sin y = sin x
więc
y = x + 2kπ lub y = π − x + 2kπ , k ∈ Z i k jest takie aby otrzymać wartość y z przedziału
< −
π
2
,
π
2
>
Pochodne funkcji cyklometrycznych
Obliczmy (arc sin y)
0
dla y ∈ (−1, 1) z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej. Niech
x = arc sin y, wtedy
(arc sin y)
0
=
1
(sin x)
0
=
1
cos x
=
1
√
1 − sin
2
x
=
1
√
1 − y
2
6
Zmieniając oznaczenie argumentu:
(arc sin x)
0
=
1
√
1 − x
2
Analogicznie:
(arc cos x)
0
= −
1
√
1 − x
2
Obliczmy (arc tg y)
0
dla y ∈ (−∞, ∞) z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej. NIech
x = arc tg y, wtedy
(arc tg y)
0
=
1
(tg x)
0
=
1
1
cos
2
x
= cos
2
x =
cos
2
x
cos
2
x + sin
2
x
=
1
1 + tg
2
x
=
1
1 + y
2
Zmieniając oznaczenie argumentu:
(arc tg x)
0
=
1
1 + x
2
Analogicznie:
(arc ctg x)
0
= −
1
1 + x
2
Przykłady: Obliczyć pochodne:
(arc tg(x
2
))
0
=
1
1 + x
4
· 2x =
2x
1 + x
4
(x cosh x)
0
= cosh x + x sinh x
(arc sin
√
x)
0
=
1
√
1 − x
·
1
2
√
x
=
1
2
√
x − x
2
7