SIMR Analiza 1, zadania: Granice funkcji, Ciągłość, Elementy topologii
1. Pokazać, że dla dowolnych zbiorów A, B, A
n
⊂ R :
(a) int
A ∩ B
= intA ∩ intB
(b) intA ∪ intB ⊂ int
A ∪ B
, podać przykład zbiorów dla których nie zachodzi
równość
(c)
A ∪ B = A ∪ B
(d) A ∩ B ⊂ A ∩ B , podać przykład zbiorów dla których nie zachodzi równość
(e) Jeżeli A
n
są otwarte to
∞
S
n=1
A
n
też jest otwarty
(f) Jeżeli A
n
są domknięte to
∞
T
n=1
A
n
też jest domknięty
(g) Podać przykład zbiorów otwartych A
n
, takich, że
∞
T
n=1
A
n
nie jest otwarty
2. Obliczyć granicę funkcji:
(a) lim
x→2
x
3
− x − 6
x
4
− 3x
2
− 2x
(b)
lim
x→+∞
q
x+
√
x+
√
x
√
x+1
(c) lim
x→0
x sin x
sin
2
x
(d) lim
x→0
sin
2
x
cos x − 1
(e) lim
x→0
sin(x
2
+ x
3
)
tg(2x
2
+ 3x
3
)
(f) lim
x→∞
x sin(
1
x
)
cos
1
x
(g) lim
x→
π
2
sin 2x + cos x
x −
π
2
(h) lim
x→π
sin
2
x
1 + cos 5x
(i) lim
x→1
(1 − x) tg
πx
2
3. Dla jakich wartości parametrów funkcja f : R → R jest ciągła:
