SIMR Analiza 1, zadania: Zastosowania całki Riemanna, całka niewłaściwa

1. Obliczyć pole figury ograniczonej krzywymi

(a) y = x

2

, y = x + 2 , y = 2 − x

(b) x = y

2

, x + 2y

2

= 3

(c) y = ln x , y = 0 , x = e

(d) y = arc tg x , y =

π

4

x

(e) x

2

+ y

2

= 2 , y = x

2

(f) xy = 2 , y = x , 4y = x

2

(g) y =

1

1 + x

2

, y =

x

2

2

2. Obliczyć długość krzywej:

(a) y = ln x, x ∈ [

√

3,

√

8]

(b) y = ln(1 − x

2

), x ∈ [0, 1/2]

(c) y = ln

e

x

+ 1

e

x

− 1

, x ∈ [a, b]

(d) y =

√

1 − x

2

+ arc sin x, x ∈ [−1, 1]

(e) x =

1

4

y

2

−

1

2

ln y, x ∈ [1, e]

(f) y = 1 − ln(cos x), x ∈ [0, π/4]

3. Obliczyć objętość bryły powstałej z obrotu obszaru 0 ¬ y ¬ y(x) dookoła osi Ox

(a) y = x

2

, x ∈< 0, 2 >

(b) y =

4

√

4 − x

2

, x ∈< 0, 2 >

(c) y =

x

x

2

− 4

, x ∈< 0, 1 >

(d) y = sin

2

x , x ∈< 0, π >

(e) y =

q

| cos x|

1 + sin x

, x ∈< 0, π >

(f) y =

1

1 + e

x

, x ∈< 0, 1 >

(g) y = x

2

e

−x

2

, x ∈ [0, ∞)

(h) y =

1

1 + x

2

, x ∈ [0, ∞)

(i) y = 2x − x

2

, x ∈ [0, 2]

(j) x

2

− xy + y

2

= a

2

4. Oblicz pole powierzchni powstałej z obrotu krzywej dookoła osi Ox

(a) y = x

q

x/a, x ∈ [0, a]

(b) y = tg x, x ∈ [0, π/4]

(c) y = sin x, x ∈ [0, π]

(d) y = a cos

πx

2b

, |x| ¬ b

(e) y = cosh x , |x| ¬ b

5. Oblicz całki:

(a)

∞

Z

a

1

x

2

dx

(b)

1

Z

0

ln xdx

(c)

+∞

Z

−∞

1

1 + x

2

dx

(d)

2π

Z

0

1

2 + cos x

dx

(e)

1

Z

−1

dx

√

1 − x

2

(f)

∞

Z

2

dx

x

2

+ x − 2

(g)

∞

Z

0

1

x

2

+ x + 1

!

2

dx

(h)

∞

Z

0

x ln x

(1 + x

2

)

2

dx

(i)

∞

Z

0

arc tg x

(1 + x

2

)

3/2

dx

(j)

∞

Z

0

e

−ax

cos bxdx

(a > 0)