Józef Szymczak

Pochodna funkcji – zastosowania do badania funkcji jednej zmiennej (notatki z wykładu)

Twierdzenie (1) (tw. Rolle’a).

Jeżeli f ( x) jest funkcją ciągłą na przedziale domkniętym

[ a ; ]

b , różniczkowalną wewnątrz tego przedziału i

f ( )

a = f ( )

b , to istnieje taki punkt c ∈( a ; )

b , że f (

′ )

c = 0 .

Twierdzenie (2) (tw. Lagrange’a).

Jeżeli f ( x) jest funkcją ciągłą na przedziale domkniętym

[ a ; ]

b i różniczkowalną wewnątrz tego przedziału, to istnieje taki punkt c ∈( a ; )

b , że

f ( )

b − f ( a) = f (

′ )

c ( b − a) .

f b

( −

) f ( a

(Możemy też zapisać, że f ′

)

c

( ) =

= t ϕ

g ).

b a

−

Wniosek 1.

Jeżeli f (

′ )

x ≡ 0 dla każdego x ∈( a ; )

b , to funkcja f ( x) jest stała w przedziale ( a ; ) b .

Wniosek 2.

Jeżeli f (

′ )

x > 0 dla każdego x ∈( a ; )

b , to funkcja f ( x) jest rosnąca w tym przedziale; jeżeli natomiast f (

′ )

x < 0 dla każdego x ∈( a ; )

b , to funkcja f ( x) jest malejąca w tym przedziale.

Przykłady.

3

2

a) Określić przedziały monotoniczności funkcji f ( )

x = x −3 x + 3.

Wyznaczymy pochodną danej funkcji i miejsca zerowe pochodnej:

f (

′ x) = x

3 2 − 6 x ;

f (

′ )

x =

0

⇔ 3 (

x x − )

2 =

0

⇔ x = 0∨ x = 2 .

Analizujemy znak pochodnej, wykorzystując do tego metodę graficzną (najwygodniej). Na tle osi liczbowej kreślimy przebieg czynników występujących w pochodnej i stąd łatwo oszacować znak pochodnej w poszczególnych przedziałach. W tym przypadku pochodna jest wyrażona za pomocą wielomianu stopnia drugiego, którego wykresem jest parabola: Widzimy, że f (

′ )

x <

0

⇔ x∈

)

2

;

0

(

oraz f (

′ )

x >

0

⇔ x∈(−∞ )

0

; ∪( ;

2

)

∞ . Stąd wniosek, że

f ( x) jest malejąca w przedziale

)

2

;

0

(

natomiast jest rosnąca w przedziałach: (−∞ )

0

;

,

;

2

(

)

∞

(ale nie na sumie tych przedziałów!).

b) Określić przedziały monotoniczności funkcji f ( x) = x ⋅ ln x .

1

Mamy tu D

, f (

′ )

x = ln x +1, f (

′

−

x) = 0 ⇔ ln x = − ⇔ x = e

1

1

=

f =

;

0

(

)

∞

e

Na podstawie pomocniczego wykresu pochodnej możemy stwierdzić, że f ( ) x jest malejąca w

przedziale

1

;

0

(

)

1

e , natomiast jest rosnąca w przedziale ( ; )

∞

e

.

Twierdzenie (3) (tw. Taylora).

Jeżeli f ( x) jest n-krotnie różniczkowalna w pewnym otoczeniu U( x

;δ ) , to dla ka

0

żdego

x ∈ S( x ;δ ) istnieje taki punkt c le x i x ,

0

żący między

że

0

−

f (

′ x )

f ( n )

1 ( x

( n

)

)

0

2

0

n 1

f

c

( )

n

(*) f ( x) =

−

f ( x ) + f (

′ x ) x

( − x ) +

( x − x ) +...+

( x − x )

+

( x − x )

0

0

0

.

!

2

0

( n 1

− )!

0

n!

0

Wzór (*) nazywamy wzorem Taylora. Ostatni składnik nazywamy n-tą resztą wzoru Taylora i oznaczamy symbolem R :

n

f ( n) c

( )

n

R =

( x − x )

n

.

n!

0

W przypadku, gdy n =1, wzór Taylora redukuje się do wzoru z twierdzenia Lagrange’a: f ( x) = f ( x ) + f ′( c)( x − x ) .

0

0

Jeżeli x = 0 , to otrzymujemy wzór Taylora o środku w tym punkcie (zwany też wzorem 0

Mac Laurina):

−

f ′ )

0

(

2

f ( n )

1

( n

)

0

(

)

n 1

f

c

( ) n

(**) f ( x) =

−

f

)

0

(

+ f ′ )

0

(

⋅ x +

x + ...+

x

+

x ,

!

2

n

( − )

1 !

n!

a c jest liczbą zawartą między x i 0.

Wzór Taylora służy do przybliżonego przedstawiania wartości funkcji różniczkowalnych za pomocą wielomianu odpowiednio wysokiego stopnia.

Oto wzory Tylora dla niektórych funkcji:

2

3

n 1

−

c

x

x

x

x

e

n

c

e =1+ x +

+

+ ...+

+

x , (tu

e

n

R =

x ),

!

2

!

3

( n− )

1 !

n!

n

n!

x 3

x 5

x 7

sin x = x −

+

−

+...+ Rn ,

!

3

!

5

!

7

x 2

x 4

x 6

cos x =1−

+

−

+...+ R ,

n

!

2

!

4

!

6

x 2

x 3

x 4

n 1

xn

ln x

( +

+

)

1 = x −

+

−

+...+(− )

1

n

, (tu

n 1

+

x

= −

).

n

2

3

4

R

(

)

1

n c

( + )

1

n

n

n( c+ )

1

Szacując wartość n-tej reszty wzoru Taylora możemy z dowolną dokładnością podać przybliżoną wartość funkcji w danym punkcie x.

Na przykład

c

1

1

1

1

1

e

n

e = e =1+1+

+ + + +...+ x

!

2

!

3

!

4

!

5

n!

,

a ponieważ c∈

)

1

;

0

(

więc

3

R <

(bo e < 3 ), zatem uwzględniając tylko pierwszych sześć n

!

n

wyrazów mamy:

1

1

1

1

e ≈1+1+ + +

+

3

3

=

≈

2

6

24 120 z błędem nie przekraczającym

,

0 00357 .

!

7

840

Ekstrema funkcji (maksima i minima)

Definicja.

Funkcja f ( x) określona w pewnym otoczeniu U( x

;δ ) ma w punkcie x ,

0

0

a) minimum lokalne właściwe ⇔ ∃δ x

∀ : ( x S( x ;δ) ⇒

∈

f ( )

x > f ( x ))

0

0

b) maksimum lokalne właściwe ⇔ ∃δ x

∀ : ( x S( x ;δ) ⇒

∈

f ( )

x < f ( x ))

0

0

Maksima i minima nazywamy ekstremami. Są to pojęcia lokalne odnoszące się do dostatecznie małego otoczenia punktu x i nie należy ich mylić z pojęciami: wartość największa, 0

wartość najmniejsza funkcji w pewnym zbiorze.

Dla argumentów x

i x funkcja ma minima

1

3

lokalne. Dla argumentów x

i x funkcja ma

2

4

maksima lokalne.

f ( a) jest wartością największą funkcji f ( x) w przedziale [ a

; ]

b .

f ( x ) jest wartością najmniejszą funkcji f ( x) w 3

przedziale [ a

; ]

b .

Zauważmy też, że f (

′ x ) = 0 , f (′ x ) = 0 ,

1

2

f (

′ x ) nie istnieje, f (′ x ) nie istnieje.

3

4

Twierdzenie (4) (tw. Fermata) (warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji różniczko-walnej)

Jeżeli istnieje f (

′ x ) i jeżeli funkcja f ( x) ma w punkcie ( x , f ( x )) ekstremum, to f (′ x ) = 0 .

0

0

0

0

Punkty, w których pochodna funkcji jest równa zero, nazywamy punktami stacjonarnymi tej funkcji. Punkty krytyczne funkcji, to punkty stacjonarne lub punkty, w których funkcja ciągła nie ma pochodnej.

Twierdzenie (5) (warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji ciągłej).

Jeżeli funkcja f ( x) jest ciągła w punkcie x , a ponadto różniczkowalna w pewnym 0

sąsiedztwie S ( x ,δ ) , przy czym f (

′ )

x < 0 dla x < x oraz f (

′ )

x > 0 dla x > x , to w punkcie

0

0

0

x funkcja ma minimum lokalne właściwe; jeśli natomiast f (

′ )

x > 0 dla x < x i f (

′ )

x < 0 dla

0

0

x > x , to w punkcie x funkcja ma maksimum lokalne właściwe.

0

0

Twierdzenie (6)

Jeżeli f (

′ x ) = 0 i f (′ x ) ≠ 0 , to w punkcie x funkcja ma maksimum lokalne w przypadku 0

0

0

gdy f (

′ x ) < 0 , natomiast minimum lokalne w przypadku gdy f (′ x ) > 0 .

0

0

Twierdzenie (7)

Jeżeli f ( x) ma n-tą pochodną w punkcie x , przy czym f ′

n−

( x ) = f (

′ x ) = ...

(

)

1

= f

( x ) = 0 i

0

0

0

0

( n)

f

( x ) ≠ 0 , a ponadto n jest liczbą parzystą, to w punkcie x funkcja ma maksimum lokalne 0

0

jeżeli ( n)

f

( x ) < 0 , natomiast minimum lokalne jeżeli ( n) f

( x ) > 0 . Gdy n jest liczbą nieparzystą,

0

0

to w punkcie x funkcja nie ma ekstremum.

0

Przykłady.

Określić ekstrema lokalne funkcji:

2

3

a)

x

f ( x) =

f ( )

x = ( x − )

5

f ( x) = sin2 x + 2cos

x∈

2

;

0

(

π

1 x

− , b)

, c)

x dla

) .

Ad a) Zauważmy, że D

. Wyznaczamy pochodn

f = (−∞ )

1

; ∪ ;

1

(

)

∞

ą danej funkcji i miejsca

zerowe pochodnej (punkty stacjonarne):

2

2 x⋅ 1

( − )

x − x (

⋅ − )

1

⋅ −

f (

′ )

x =

2

2

2

x (2 x)

= 2 x−2 x + x = 2 x− x =

;

2

1

( − )

x

2

1

( − x)

2

1

( − x)

2

1

( − x)

f (

′ )

x =

0

⇔ (

x 2 − )

x =

0

⇔ x = 0∨ x = 2 .

Po przeanalizowaniu znaku pochodnej (wykonać to metodą graficzną), zauważamy, że f ( x) jest malejąca w przedziałach: (−∞ )

0

;

,

;

2

(

)

∞ , natomiast jest rosnąca w przedziałach:

)

1

;

0

(

,

)

2

;

1

(

.

Zatem badana funkcja ma minimum lokalne dla x = 0 o wartości 0 oraz ma maksimum lokalne dla x = 2 o wartości − 4 . Zapisuje się to symbolicznie: f

)

0

(

= 0

f

( )

2 = −

min

,

4

max

.

3

Ad b) f ( )

x = ( x − )

5 .

2

Zauważmy, że f (

′ )

x = (

3 x − )

5 . Mamy dalej, że f (

′ )

x = 0 ⇔ x = 5 (jest to punkt stacjonarny).

Ale widzimy, że f (

′ x) > 0 dla x < 5 , a także f (′ x) > 0 dla x > 5. Pochodna nie zmianie znaku przy przejściu przez punkt stacjonarny (funkcja jest rosnąca dla x < 5 oraz jest rosnąca dla x > 5 ), więc dla x = 5 funkcja nie ma ekstremum.

Ad c) f ( x) = sin2 x + 2cos x w przedziale 2

;

0

(

π). Posłużymy się tu twierdzeniem (6).

Obliczamy pochodną:

f (

′ )

x = 2co 2

s x − 2sin x = (

2 cos2 x −sin2 )

x − 2sin x = 1

(

2 −sin2 x −sin2 )

x − 2sin x =

= 4

− sin2 x −2sin x + .

2

Wyznaczając miejsca zerowe pochodnej zastosujemy podstawienie sin x = t i otrzymujemy równanie − 4 2

t − 2 t + 2 = 0 , które ma dwa pierwiastki: t = 1

− oraz

1

t =

. Stąd sin x = 1

− lub

2

1

sin x =

. Uwzględniając warunek, że x∈

2

;

0

(

π) , mamy:

2

jeśli sin x = 1

− , to

3

x = π ,

2

jeśli

1

sin x =

, to

1

x = π lub

5

x = π .

2

6

6

Są zatem trzy punkty stacjonarne:

1

x = π ,

5

x = π ,

3

x = π . Wyznaczymy teraz drugą

6

6

2

pochodną badanej funkcji: f (

′ x) = −4sin 2 x − 2cos x .

1

π

3

3

f (

′

π

π ) = 4

− sin( ) − 2cos( ) = 4

−

− 2

= 3

− 3 < 0 ,

6

3

6

2

2

5

5π

5

3

3

f (

′

π

π ) = 4

− sin(

) − 2 cos(

) = 4

+ 2

= 3 3 > 0 ,

6

3

6

2

2

3

3

f (

′

π

π ) = 4

− sin 3π − 2cos( ) = 4

− ⋅ 0 − 2⋅ 0 = 0 .

2

2

Uwzględniając znak drugiej pochodnej w punktach stacjonarnych, określamy ekstrema: 1

π

3 3

π

f

( π ) =

π

sin( ) + 2 cos( ) =

,

5

5

5

3 3

f

( π ) =

π

sin(

) + 2 cos(

) = −

, natomiast w

max

6

3

6

2

min

6

3

6

2

punkcie

3

x = π funkcja nie ma ekstremum (sprawdzić, że

3

f (

′ π ) ≠ 0 ).

2

2

Zadanie. Wykazać, że spośród wszystkich prostokątów mających taki sam obwód k, największe pole powierzchni ma kwadrat.

k

Wiadomo, że k = 2 x + 2 y , skąd y =

− x

p = x ⋅

2

. Pole prostokąta

y

2

k

k

zapiszemy wzorem: (

p )

x = x⋅( − )

x = x − x

2

2

jako funkcję zależną od x.

k

Wyznaczając pochodną tej funkcji, mamy p (

′ x) = − 2 x .

2

p (

′ ) = 0

k

x

⇔ −2 x = 0

k

⇔ x =

2

4 . W tym punkcie funkcja opisująca pole może mieć ekstremum.

Z kolei otrzymujemy, że p (

′ )

x = 2

− , więc też (′ k

p

) = 2

− < 0

k

4

, a to oznacza, że dla x =

jest

4

maksimum. Wtedy te

k

k

k

ż y =

− = = x

2

4

4

, a więc taki prostokąt o maksymalnym polu jest

kwadratem.

Wyznaczanie wartości największej i najmniejszej funkcji ciągłej na przedziale domkniętym Wartości te (zwane też ekstremami globalnymi) dla ciągłej funkcji f ( x) , gdzie a ≤ x ≤ b , mogą znajdować się na końcach przedziału lub w tych punktach przedziału ( a

; b) , w których

funkcja f ( x) osiąga ekstrema.

Aby znaleźć te wartości, obliczamy pochodną funkcji i wyznaczamy punkty stacjonarne oraz punkty, w których pochodna może nie istnieć (punkty te wraz z punktami stacjonarnymi nazywamy punktami krytycznymi). Następnie obliczamy wartości funkcji we wszystkich punktach krytycznych, a także wartości funkcji na końcach przedziału.

Porównujemy otrzymane wartości i wybieramy największą i najmniejszą z nich Wartości te można oznaczać symbolicznie: max f ( x) , min f ( x) .

[ a; b]

[ a; b]

Przykład. Wyznaczy

−

ć wartość największą i najmniejszą funkcji

1

f ( )

x

x =

na przedziale

]

3

;

1

[

.

2

x

2

− x − 1

( − x)2 x

2

x( x

−

−2)

x

2 x

x−2

f ′( x) =

=

=

=

. f (

′ x) = 0 dla x = 2 ( 2∈

)

3

;

1

(

).

4

4

4

3

x

x

x

x

1−2

1

−

−

f (2) =

= − ,

1 1

f

)

1

(

=

= 0 ,

1 3

2

f ( )

3 =

= − .

22

4

12

32

9

Z porównania trzech obliczonych wartości widzimy, że max f ( x) = 0 , 1

min f ( x) = − .

;

1

[ 3]

;

1

[ 3]

4

Rodzaje wypukłości funkcji.

Funkcja f ( x) jest wypukła w dół na przedziale I ⊂ D , jeżeli każdy odcinek łączący dwa f

dowolne punkty wykresu tej funkcji leży ponad wykresem lub się z nim pokrywa.

Funkcja f ( x) jest ściśle wypukła w dół na przedziale I ⊂ D , jeżeli każdy odcinek łączący f

dwa dowolne punkty wykresu tej funkcji leży ponad wykresem.

Funkcja f ( x) jest wypukła w górę na przedziale I ⊂ D , jeżeli każdy odcinek łączący dwa f

dowolne punkty wykresu tej funkcji leży pod wykresem lub się z nim pokrywa.

Funkcja f ( x) jest ściśle wypukła w górę na przedziale I ⊂ D , jeżeli każdy odcinek łączący f

dwa dowolne punkty wykresu tej funkcji leży pod wykresem.

Na rysunkach przedstawiono funkcje wypukłe w dół i w górę (nie są one ściśle wypukłe).

Twierdzenie (8)

Jeżeli dla każdego x ∈ ( a; b) funkcja f ( x) spełnia nierówność f (

′ x) > 0 , to jest ona ściśle

wypukła w dół.

Jeżeli dla każdego x ∈ ( a; b) funkcja f ( x) spełnia nierówność f (

′ x) < 0 , to jest ona ściśle

wypukła w górę.

Punkt ( x , f ( x )) wykresu funkcji f ( x) jest punktem 0

0

przegięcia funkcji, jeżeli funkcja ma w tym punkcie styczną

i zmienia w nim rodzaj wypukłości.

Jeżeli ( x , f ( x )) jest punktem przegięcia funkcji f ( x) i 0

0

istnieje f (

′ x ) , to f (′ x ) = 0 .

0

0

Przykładowo w ekonomii punkt przegięcia rosnącej funkcji

opisującej popyt na pewien rodzaj towaru określa moment

rozpoczęcia spadkowej tendencji wzrostu.

Postępowanie przy badaniu funkcji.

1. Ustalenie dziedziny funkcji.

2. Określenie niektórych podstawowych własności funkcji: parzystość lub nieparzystość, okresowość, miejsca zerowe, ciągłość.

3. Obliczenie granic funkcji na końcach dziedziny i wyznaczenie ewentualnych asymptot funkcji.

4. Wyznaczenie pierwszej pochodnej, ustalenie przedziałów monotoniczności funkcji oraz ekstremów funkcji.

5. Wyznaczenie drugiej pochodnej , ustalenie przedziałów wypukłości i punktów przegięcia.

6. Sporządzenie tabeli przebiegu zmienności funkcji.

7. Sporządzenie wykresu funkcji.

Zadanie. Przeprowadzić badanie funkcji

1

a)

−

f ( )

x

x =

, b)

x

f ( x) = ( x − )

3 e , c) f ( x)

x 2

=

ln x , d)

2

3 x

f ( x) = x e

, d)

x

f ( x) = xe .

2

1+ x