Monotoniczność funkcji
Twierdzenie 1. Niech I oznacza dowolny przedział. Jeżeli dla każdego x ∈ I
funkcja f spełnia warunek:
1. f
0
(x) = 0, to jest stała na I;
2. f
0
(x) > 0, to jest rosnąca na I;
3. f
0
(x) < 0, to jest malejąca na I;
4. f
0
(x) ≥ 0, to jest niemalejąca na I;
5. f
0
(x) ≤ 0, to jest nierosnąca na I.
Zastosowania twierdzenia
1. Dowodzenie tożsamości np. sin
2
x + cos
2
x = 1.
2. Dowodzenie nierówności np. sin x < x, dla x > 0.
3. Badanie monotoniczności funkcji np. wyznaczyć przedziały monotonicz-
ności funkcji y = e
−x
2
.
Ekstrema lokalne
Definicja 1. Funkcja f ma w punkcie x
0
maksimum lokalne właściwe, gdy
_
δ>0
^
x
(x ∈ (x
0
− δ, x
0
+ δ) ∧ x 6= x
0
) ⇒ f (x) < f (x
0
).
Analogicznie
Definicja 2. Funkcja f ma w punkcie x
0
minimum lokalne właściwe, gdy
_
δ>0
^
x
(x ∈ (x
0
− δ, x
0
+ δ) ∧ x 6= x
0
) ⇒ f (x) > f (x
0
).
Twierdzenie 2. Jeżeli funkcja f ma w punkcie x
0
ekstremum lokalne oraz
pochodną f
0
(x
0
), to f
0
(x
0
) = 0.
Uwaga:
1) Funkcja może mieć ekstremum i nie mieć pochodnej - np. y = |x| w x
0
= 0.
2) Funkcja może nie mieć ekstremum choć pochodna f
0
(x
0
) = 0. - np. y = x
3
w x
0
= 0.
Warunek ten pozwala na wyszukiwanie punktów, w których funkcja może
mieć ekstremum lokalne, gdyż funkcja może mieć ekstrema jedynie w punktach,
w których f
0
się zeruje lub , w których f
0
nie istnieje.
Weryfikację czy tak rzeczywiście jest umożliwiają warunki wystarczające.
Twierdzenie 3. Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
1. f
0
(x
0
) = 0 ( lub funkcja jest ciągła w x
0
)
2.
W
δ > 0 taka, że
• f
0
(x
0
) > 0 dla każdego x ∈ S(x
−
0
, δ) (t.j f ↑),
• f
0
(x
0
) < 0 dla każdego x ∈ S(x
+
0
, δ) (t.j f ↓),
to funkcja ma w punkcie x
0
maksimum lokalne właściwe.
Twierdzenie 4. Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
1. f
0
(x
0
) = 0 ( lub funkcja jest ciągła w x
0
)
2.
W
δ > 0 taka, że
• f
0
(x
0
) < 0 dla każdego x ∈ S(x
−
0
, δ) (t.j f ↓),
• f
0
(x
0
) > 0 dla każdego x ∈ S(x
+
0
, δ) (t.j f ↑),
to funkcja ma w punkcie x
0
minimum lokalne właściwe.
Ekstrema globalne.
Niech funkcja f (x) będzie określona na przedziale domkniętym [a, b].
Przez największą wartość funkcji rozumiemy największą ze wszystkich wartości,
a przez wartość najmniejszą - najmniejszą ze wszystkich wartości, które funkcja
przyjmuje na tym przedziale.
Uwagi:
1. Funkcja może mieć tylko jedną wartość największą i najmniejszą.
2. Wartości największej i najmniejszej można także szukać w przedziale
otwartym (a, b) lub w przedziale nieskończonym. Wtedy jednak funkcja może
nie posiadać ekstremów globalnych, a jedynie kresy górny lub dolny.
Szukanie ekstremów globalnych.
Niech funkcja f (x) będzie ciągła i różniczkowalna w przedziale [a, b] lub niech
f (x) będzie ciągła w [a, b] i różniczkowalna w przedziale [a, b] poza skończoną
liczbą punktów, w których pochodna właściwa nie istnieje.
I. Znajdujemy punkty wewnątrz przedziału [a, b], w których spełniony jest
warunek konieczny istnienia ekstremum i obliczamy wartości jakie funkcja przyj-
muje w tych punktach.
II. Obliczamy wartości jakie funkcja przyjmuje w tych punktach, w których
pochodna właściwa nie istnieje (a funkcja jest określona).
III. Obliczamy wartości funkcji na końcach przedziału, czyli f (a) i f (b)
IV. Porównujemy otrzymane wartości: największa z nich jest wartością naj-
większą, a najmniejsza - wartością najmniejszą funkcji f w przedziale [a, b]
Jeśli przedział jest otwarty w III liczymy granice na końcach przedziałów i
porównując w IV sprawdamy, czy wartość najmniejsza i największa jest osią-
galna wewnątrz (a, b).
Wklęsłość i wypukłość funkcji
Twierdzenie 5. Jeżeli dla każdego x ∈ (a, b) funkcja f spełnia warunek:
1. f
00
(x) > 0, to jest ściśle wypukła na (a, b);
2
2. f
00
(x) < 0, to jest ściśle wklęsła na (a, b).
Punkty przegięcia wykresu funkcji .
Twierdzenie 6. Jeżeli punkt (x
0
, f (x
0
)) jest punktem przegięcia wykresu funk-
cji oraz istnieje f
00
(x
0
), to f
00
(x
0
) = 0.
Uwaga:
2) Punkt (x
0
, f (x
0
)) może nie być punktem przegięcia choć pochodna f
00
(x
0
) =
0. - np. y = x
4
w x
0
= 0.
UWAGA: Funkcja może mieć punkty przegięcia jedynie w punktach, w któ-
rych f
00
się zeruje lub , w których f
00
nie istnieje.
Twierdzenie 7. Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
1. f ma w punkcie x
0
pochodną właściwą lub niewłaściwą
2.
W
δ > 0 taka, że
• f
00
(x
0
) > 0 dla każdego x ∈ S(x
−
0
, δ) ,
• f
00
(x
0
) < 0 dla każdego x ∈ S(x
+
0
, δ) ,
(lub nierówności dla f
00
są odwrotne), to punkt (x
0
, f (x
0
)) jest punktem prze-
gięcia wykresu funkcji f .
3
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Wybrane zastosowania pochodnej funkcji, Analiza matematyczna
Lista 7 - Zastosowania pochodnych funkcji jednej zmiennej, Studia, Matematyka
POCHODNA FUNKCJI ZASTOSOWANIE POCHODNYCH
pochodna-funkcji-zastosowania
Pochodna funkcji – teoria oraz przykładowe zastosowania
Zastosowania pochodnej, Matematyka i Statystyka, Funkcje
Pochodna funkcji zastosowania id 364366
6 Zastosowanie pochodnych do badania własności funkcji
W 3 Pochodna funkcji i jej zastosowania
4 pochodna funkcji jednej zmiennej
10 Pochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodne funkcji, IB i IŚ, 2011 12
Przed maturą Zestaw XI Ciągłość i pochodna funkcji
5 Zastosowanie pochodnej
więcej podobnych podstron