Pochodna funkcji

Przyrost argumentu na osi x powoduje przyrost wartości funkcji f na osi y.
Niech funkcja f będzie określona w pewnym otoczeniu ustalonego punktu x

0

oraz niech ∆x oznacza przyrost argumentu. Niech ∆y oznacza odpowiadający
mu przyrost wartości funkcji f .

Wtedy

f (x

0

+ ∆x) = f (x

0

) + ∆y

Stąd
∆y = f (x

0

+ ∆x) − f (x

0

).

Definicja 1. Niech funkcja f będzie określona w pewnym otoczeniu ustalonego

punktu x

0

. Iloraz

∆y
∆x

=

f (x

0

+ ∆x) − f (x

0

)

∆x

nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w x

0

dla przyrostu ∆x.

Definicja 2. Jeżeli istnieje granica skończona

lim

∆x→0

∆y
∆x

,

to granicę tę nazywamy pochodną funkcji f w punkcie x

0

i oznaczamy ją przez:

f

0

(x),

dy
dx

.

Przykład. Obliczyć z definicji pochodną funkcji f (x) = x

2

.

Uwaga: Są funkcje (nawet ciągłe), które w pewnych punktach nie mają

pochodnej - np. y = |x| w x

0

= 0.

Definicja 3. Funkcja ma pochodną w zbiorze A, gdy ma pochodną w każdym

punkcie tego zbioru.

Wzory

Funkcja

Pochodna funkcji

Uwagi

c

0

c ∈ R

x

α

αx

α−1

α ∈ R, x zależne od α

a

x

a

x

ln a

a > 0, x ∈ R

e

x

e

x

x ∈ R

log

a

x

1

x ln a

0 < a 6= 1, x > 0

ln x

1

x

x > 0

sin x

cos x

x ∈ R

cos x

− sin x

x ∈ R

tg x

1

cos

2

x

x 6=

π

2

+ kπ, k ∈ Z

ctg x

−

1

sin

2

x

x 6= kπ, k ∈ Z

Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji f w punkcie.

1

Niech funkcja f będzie ciągła w pewnym otoczeniu ustalonego punktu x

0

oraz

niech P (x

0

, y

0

), Q(x

0

+ ∆x, y

0

+ ∆y).

Sieczną P Q nazywamy prostą przechodzącą przez punkty P i Q. Kąt na-

chylenia siecznej do dodatniej półosi osi x wyraża się wzorem

tg ϕ =

∆y
∆x

.

Podczas gdy Q przesuwa się wzdłuż wykresu funkcji f w kierunku punktu

P mamy ∆x → 0. Zatem przy przejściu granicznym otrzymujemy styczną do
wykresu funkcji f w punkcie x

0

, której kąt nachylenia do dodatniej półosi osi x

wyraża się wzorem:

tg α = lim

∆x→0

∆y
∆x

= f

0

(x

0

).

Równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x

0

, y

0

):

y = f

0

(x

0

)(x − x

0

) + f (x

0

)

Przykład. Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji f (x) = e

x

w P = (0, 1).

Twierdzenia o pochodnych

Twierdzenie 1. Jeżeli funkcje f oraz g mają pochodną właściwą w x, to

a) (f (x) ± g(x))

0

= f

0

(x) ± g

0

(x),

b)(f (x) · g(x))

0

= f

0

(x) · g(x) + f (x) · g

0

(x),

c) (

(f (x)

g(x)

)

0

=

f

0

(x)·g(x)−f (x)·g

0

(x)

g(x)

2

d) [(f (x))

g(x)

]

0

= (f (x))

g(x)

(g

0

(x) · ln(f (x)) + f

0

(x) ·

g(x)

f (x)

).

Przykłady y =

sin x

x

, y = x

2

· e

x

, y = x

sin x

.

Twierdzenie 2. Jeżeli funkcja y = f (x) ma pochodną właściwą w x

0

oraz

funkcja g(y) ma pochodną właściwą w y

0

= f (x

0

), to

[g(f (x))]

0

= g

0

(f (x)) · f

0

(x)

Przykłady y = log

2

(x

3

+x

2

−9), y = ln(3x−4), y = sin(2x

2

−5), y = (2x+3)

4

,

y = e

sin x

.

Pochodne wyższych rzędów

Pochodna f

0

(x) funkcji f (x) jest także funkcją, a zatem, możemy liczyć z

niej pochodną.

Definicja 4. Niech f

0

(x) będzie funkcją określoną w pewnym otoczeniu punktu

x

0

i mającą w nim pochodną. Wówczas

f

00

(x) = [f

0

(x)]

0

.

Definicja 5. Niech f (x) mającą pochodne do n−tego rzędu w pewnym otoczeniu

punktu x

0

. Wówczas

f

(n)

(x

0

) = [f

(n−1)

(x

0

)]

0

.

Przykłady (3x

4

+ 1)

00

, (e

3x

· cos 2x)

00

, sin

5

x.

2