Matura 2005

Matura 2005

Matura 2005

Matura 2005

Zadania dla poziomu rozszerzonego wyróżnione są kursywą.

Z

Z

A

A

D

D

A

A

N

N

I

I

A

A

D

D

O

O

P

P

O

O

W

W

T

T

A

A

R

R

Z

Z

A

A

N

N

I

I

A

A

P

P

R

R

Z

Z

E

E

D

D

M

M

A

A

T

T

U

U

R

R

Ą

Ą

Zestaw XI Ciągłość i pochodna funkcji

Zadanie 1.
Naszkicuj wykres funkcji f określonej następująco:











=

≠













−

=

0

dla

0

0

dla

6

,

5

max

)

(

x

x

x

x

x

f

i zbadaj jej ciągłość, jeśli relacja max(a, b) jest określona w następujący sposób:







<

≥

=

b

a

b,

b

a

a

b

a

gdy

gdy

,

)

,

max(

Zadanie 2.
Uzasadnij, że równanie

0

10

5

3

2

3

4

=

−

−

−

+

x

x

x

x

ma co najmniej jedno rozwiązanie.

Zadanie 3.
Oblicz na podstawie definicji pochodną funkcji

1

2

)

(

2

−

+

=

x

x

x

f

w punkcie

1

0

−

=

x

.

Zadanie 4.

Napisz równanie stycznej do wykresu funkcji

x

x

x

g

1

)

(

+

=

, równoległej do prostej o równaniu

1

4

1

+

−

=

x

y

. Następnie zilustruj rozwiązanie zadania na płaszczyźnie z prostokątnym układem

współrzędnych.

Zadanie 5.
Zbadaj, ile rozwiązań ma równanie

0

1

9

6

2

3

=

+

+

+

x

x

x

i wskaż przedziały o długości 1

i o końcach będących liczbami całkowitymi, do których należą te rozwiązania.

Zadanie 6.

Wykaż, że dla każdej liczby

2

≥

x

prawdziwa jest nierówność:

5

1

2

2

1

≥

+

x

x

.

Zadanie 7.

Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji

1

4

4

3

)

(

2

2

+

+

+

+

=

x

x

x

x

x

h

w przedziale

1

,

2

−

.

Zadanie 8.
Dany jest trójkąt ABC, w którym AC = b, AB = c i kąt CAB ma

°

30 . W trójkąt wpisujemy równo-

ległoboki w ten sposób, że jednym z wierzchołków każdego równoległoboku jest A, a pozostałe 3
wierzchołki należą odpowiednio do boków AB, BC i AC trójkąta. Który z tych równoległoboków
ma największe pole i ile procent pola danego trójkąta stanowi pole tego równoległoboku?

Matura 2005

Matura 2005

Matura 2005

Matura 2005

Odpowiedzi:

1.















>

<

<

=

≤

≤

<

−

3

lub

2

0

6

0

0

3

2

lub

0

,

5

x

x

dla

x

x

dla

x

x

dla

x

Ponieważ funkcje

x

x

g

−

=

5

)

(

i

x

x

h

6

)

(

=

są ciągłe, więc wystarczy zbadać ciągłość funkcji f

w punktach: 0, 2 i 3. Odp. Funkcja nie jest ciągła w punkcie x = 0

2.

Łatwo można sprawdzić, że W(2) < 0 i W(3) > 0 (W(x) to wielomian po lewej stronie równania).
Stąd, z ciągłości funkcji wielomianowej, wynika, że w przedziale (2,3) istnieje rozwiązanie da-
nego równania

3.

0

)

1

(

'

=

−

f

4.

Są dwie takie styczne:

2

4

1

+

−

=

x

y

i

x

y

4

1

−

=

5.

Równanie ma trzy rozwiązania należące do przedziałów: (

−

4,

−

3); (

−

3,

−

2); (

−

1, 0)

6.

Wskazówka

: Rozważ najpierw funkcję

x

x

x

f

1

)

(

2

2

1

+

=

i wykaż, że w przedziale

)

∞

,

2

jest to

funkcja rosnąca. Następnie oblicz

)

2

(

f

7.

Największą wartością jest 4, a najmniejszą

3

8

8.

Największe pole ma równoległobok o bokach

2

,

2

c

b

i stanowi ono 50% pola danego trójkąta