1

Pochodna funkcji

[ ]

[ ]

b

a

x

b

a

D

R

R

f

f

,

,

:

0

∈

=

→

je eli

( ) ( )

0

0

0

lim

x

x

x

f

x

f

x

x

−

−

→

∃

,

( ) { }

0

\

,

x

b

a

x

∈

,

to definiujemy pochodn funkcji

f

w punkcie

x

0

:

( )

( ) ( )

0

0

0

lim

:

0

x

x

x

f

x

f

x

x

x

f

−

−

→

=

′

i o funkcji

f

mówimy, e jest ró niczkowalna w

x

0

(lub

f

ma pochodn w

x

0

).

Tworzymy funkcj :

( )

R

x

f

x

R

f

∈

′

∋

′:

o dziedzinie

( )

{

}

x

f

x

D

f

′

∃

=

′

:

wtedy

f ′

nazywamy funkcj pochodn funkcji

f

inne oznaczenie pochodnej funkcji

( )

x

f

:

dx

df

f

=

′

Oznaczenia klas funkcji

C(X)

- klasa funkcji ci głych w zbiorze

X

C

n

(X)

- klasa funkcji maj cych ci gł

n

– t pochodn ,

0

N

n

∈

C

0

(X):=C(X)

D(X)

- klasa funkcji ró niczkowalnych w zbiorze

X

D

n

(X)

- klasa funkcji

n

– krotnie ró niczkowalnych w zbiorze

X

,

N

n

∈

D

1

(X):=D(X)

2

niech

R

X

=

C

D

⊃

⊃

⊃

2

2

1

C

D

C

Pochodna funkcji odwrotnej

Twierdzenie

( )

(

)

b

a

C

f

,

∈

( )

b

a

f

,

:

R

( )

( )

{ }

( )

( )

R

D

f

D

f

R

C

f

x

x

f

∉

∉

∈

=

0

( )

( )

( )
( )

( )

R

D

f

x

x

x

f

x

x

x

x

x

f

R

C

f

x

x

x

x

x

f

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

∈

=

=

−

−

=

′

≠

∧

−

=

⋅

⋅

−

=

′

∈

=

=

≠

=

→

→

→

0

sin

lim

0

0

sin

lim

0

0

cos

sin

2

cos

sin

2

0

sin

lim

0

,

0

,

0

sin

1

0

1

2

0

1

1

1

2

1

1

1

2

0

1

2

2

poka my, e

( )

R

C

f

1

∉

wystarczy, e udowodnimy brak istnienia granicy

(

)

x

x

x

x

1

1

0

cos

sin

2

lim

−

→

0

sin

2

lim

1

0

=

→

x

x

x

, jednak mo emy pokaza , e

( )

x

x

1

0

cos

lim

~

→

∃

Wystarczy wskaza dwa ró ne ci gi

( ) ( )

N

n

n

N

n

n

x

x

∈

∈

′

,

d

ce do zera takie, e

n

n

n

n

x

x

′

≠

∞

→

∞

→

1

cos

lim

1

cos

lim

Niech

0

2

1



 →



=

∞

→

n

n

n

x

π

wtedy:

1

2

cos

cos

1



 →



=

∞

→

n

x

n

n

π

0

1

2



 →



+

=

′

∞

→

n

n

n

x

π

π

wtedy:

0

cos

1



 →



∞

→

′

n

x

n

wynika z tego, e

( )

R

C

f

1

∉

( )

( )

(

)

( )

( )

0

1

0

0

0

1

0

1

1

y

f

x

x

f

y

f

y

D

f

−

=

−

−

′

=

′

∧

∈

3

( )

( )

( )

( )

0

:

,

0

0

0

0

0

≠

′

∧

′

∃

=

∈

x

f

x

f

y

x

f

b

a

x

Dowód

( )

( )

( )

(

)

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

0

1

0

0

1

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

1

1

1

1

lim

lim

lim

0

0

0

0

1

0

y

f

x

x

f

x

f

x

f

x

x

x

x

y

f

y

f

y

y

x

f

y

y

y

y

f

y

f

x

x

x

f

x

f

x

x

x

x

iniekcja

f

C

f

C

f

y

y

−

−

−

−

→

→

−

−

−

∧

∈

∈

−

−

→

=

=

=

−

−

=

=

→

→

→

=

=

−

−

−

Obliczmy teraz

(

)

′

arctgx

(

)

(

)

(

)

2

2

,

,

2

2

π

π

π

π

−

∈

−

C

tg

funkcja

tg

jest bijekcj

(

)

2

2

,

π

π

−

∈

∀

x

( )

0

cos

1

2

≠

=

′

x

tgx

wynika z tego, e

(

)

′

∃ arctgx

(

)

( )

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

cos

sin

cos

cos

1

y

x

tg

x

x

x

x

tgx

arctgy

arctgy

x

arctgy

x

arctgy

x

arctgy

x

+

=

+

=

+

=

=

′

=

′

=

=

=

=

Podobnie mo na wyznaczy pochodne pozostałych funkcji cyklometrycznych:

(

)

2

1

1

x

arcctgx

+

−

=

′

(

)

(

)

2

2

1

1

arccos

1

1

arcsin

x

x

x

x

−

−

=

′

−

=

′

4

opracował Paweł Sztur