POCHODNA FUNKCJI . ZASTOSOWANIE POCHODNYCH.

1. Obliczyć pochodne funkcji: a)

x

tg

)

4

x

1

(

)

x

(

f

4

⋅

+

+

=

b)

x

sin

arc

e

)

x

(

f

3

x

4

=

c)

x

cos

x

sin

2

2

3

2

)

x

(

f

=

d)

x

2

cos

3

e

x

tg

)

x

(

f

=

e)

x

sin

arc

x

1

x

)

x

(

f

2

⋅

−

−

=

f)

x

sin

1

x

cos

)

x

(

f

2

+

⋅

=

g)

x

ln

)

x

sin(

)

x

(

f

2

2

⋅

=

h)

x

a

cos

aarc

a

x

)

x

(

f

2

2

−

−

=

i)

3

2

x

cos

x

sin

)

x

(

f

⋅

=

j)

x

3

ctg

tg

arc

)

x

(

f

=

k)

x

ln

)

x

sin(

)

x

(

f

2

2

⋅

=

l)

x

a

a

x

)

x

(

f

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

m)

x

sin

arc

x

)

x

(

f

=

n)

( )

x

cos

2

x

ln

)

x

(

f

=

.

2. Sprawdzić, że podana niżej funkcja

)

x

(

f

y

=

spełnia dane obok równanie różniczkowe:

a)

x

2

x

2

e

x

y

y

x

;

e

)

1

x

(

x

y

+

′

=

′′

−

+

=

b)

0

y

2

y

2

y

;

x

sin

e

y

x

=

+

′

−

′′

=

c)

y

)

1

y

(

)

y

(

2

;

2

x

5

x

y

2

′′

−

=

′

+

−

=

d)

.

y

x

y

)

x

1

(

;

x

sin

arc

y

2

′

=

′′

−

=

3. Znaleźć wzór funkcyjny n-tej pochodnej funkcji:

a)

x

a

)

x

(

f

=

b)

x

log

)

x

(

f

a

=

c)

b

ax

1

)

x

(

f

+

=

d)

x

xe

)

x

(

f

=

.

4. Stosując regułę de L`Hospitala, obliczyć granice:

a)

x

ln

x

lim

2

x

+∞

→

b)

x

)

1

x

ln(

lim

0

x

+

→

c)

x

x

cos

ln

lim

0

x

→

d)

)

e

x

(

lim

2

x

2

x

−

+∞

→

⋅

e)

)]

x

1

ln(

x

[ln

lim

1

x

−

−

→

f)

)

e

x

(

lim

x

1

0

x

⋅

+

→

g)

)

x

ctg

arc

(

x

[

lim

x

π

−

−∞

→

h)

)]

1

e

(

x

[

lim

x

1

x

−

⋅

∞

→

i)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−

→

x

ln

1

1

x

x

lim

1

x

j)

.

1

e

1

x

1

lim

x

0

x

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−

→

5. Wyznaczyć dziedzinę, przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji:

a)

1

x

x

)

x

(

f

2

3

−

=

b)

2

x

xe

)

x

(

f

−

=

c)

x

x

ln

)

x

(

f

3

=

d)

x

ln

x

)

x

(

f

2

2

⋅

=

e)

)

2

x

ln(

3

2

x

)

x

(

f

2

−

−

=

.

6. Napisać wzór Taylora funkcji f (x) w punkcie x

o

dla podanego n ( reszta jest n-tego rzędu):

a)

5

n

,

1

x

,

e

)

x

(

f

0

x

=

−

=

=

b)

4

n

,

2

x

,

1

x

x

)

x

(

f

0

=

=

−

=

, c)

5

n

,

2

x

,

x

4

sin

)

x

(

f

0

=

=

π

=

.

7. Napisać wzór Maclaurina funkcji

x

e

)

x

(

f

=

dla

5

n

=

. Na podstawie tego wzoru obliczyć przybliżoną

wartość liczby

4

e

1

i oszacować błąd przybliżenia.

8. Napisać wzór Maclaurina funkcji

x

1

)

x

(

f

+

=

dla

4

n

= . Na podstawie tego wzoru obliczyć

przybliżoną wartość liczby

5

,

1

i oszacować błąd przybliżenia.

9. Napisać wzór Maclaurina funkcji

)

1

x

ln(

)

x

(

f

+

=

dla

6

n

=

. Wykorzystując ten wzór, obliczyć

przybliżoną wartość liczby

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

4

5

ln

, a następnie oszacować błąd przybliżenia.

10. Napisać wzór Maclaurina funkcji

x

cos

)

x

(

f

=

dla

5

n

=

. Na podstawie tego wzoru obliczyć

przybliżoną wartość liczby

o

10

cos

.