WYKŁAD 3 POCHODNA FUNKCJI I JEJ ZASTOSOWANIA

POCHODNA FUNKCJI

Def. 4.1 (iloraz różnicowy)

Niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu
punktu
o promieniu r. Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x₀ odpowiadającym przyrostowi Δx, gdzie
, zmiennej niezależnej nazywamy liczbę

.

Fakt 4.2 (interpretacja geometryczna ilorazu różnicowego)

Iloraz różnicowy jest tangensem kąta nachylenia siecznej przechodzącej przez punkty
(x₀,f(x₀), (x₀ + Δx,f(x₀ + Δx)) wykresu funkcji f do dodatniej półosi osi Ox, tj.
.

Def. 4.3 (pochodna funkcji)

Niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu punktu
. Pochodną funkcji f w punkcie x₀ nazywamy granicę skończoną

.

Uwaga. Jeżeli istnieje pochodna właściwa funkcji f w punkcie x₀, to mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w tym punkcie.

Fakt 4.4 (pochodne ważniejszych funkcji elementarnych)

Funkcja	Pochodna
	0

Uwaga. Do obliczania pochodnych funkcji postaci
oraz
stosujemy wzory:

Def. 4.5 (styczna do wykresu funkcji)

Niech funkcja ciągła f będzie określona przynajmniej na otoczeniu punktu
. Prosta jest styczna do wykresu funkcji f w punkcie (x₀, f(x₀)), jeżeli jest granicznym położeniem siecznych funkcji f przechodzących przez punkty (x₀, f(x₀)), (x, f(x)), gdy x → x₀.

Fakt 4.6 (interpretacja geometryczna pochodnej)

Niech α oznacza kąt między styczną do wykresu funkcji f w punkcie (x₀, f(x₀)) i dodatnią półosią osi Ox. Wtedy

.

Równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x₀, f(x₀)) ma postać:

.

Tw. 4.7 (warunek konieczny różniczkowalności funkcji)

Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w punkcie, to jest ciągła w tym punkcie.

Uwaga. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Np. funkcja f(x) = |x| jest ciągła w punkcie x₀ = 0 (bo
), ale pochodna
nie istnieje.

POCHODNE JEDNOSTRONNE FUNKCJI

Def. 4.8 (pochodne jednostronne funkcji)

Niech funkcja f będzie określona przynajmniej na lewostronnym otoczeniu punktu
. Pochodną lewostronną funkcji f w punkcie x₀ nazywamy granicę właściwą

.

Analogicznie definiuje się pochodną prawostronną funkcji f w punkcie x₀. Oznaczamy ją
.

Tw. 4.9 (warunek konieczny i dostateczny istnienia pochodnej)

Pochodna
istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy

.

Jeżeli pochodne jednostronne funkcji są równe, to ich wspólna wartość jest pochodną funkcji.

Def. 4.10 (różniczkowalność funkcji na przedziale)

Funkcja jest różniczkowalna na przedziale wtedy i tylko wtedy, gdy jest różniczkowalna w każdym punkcie tego przedziału. Funkcję określoną na przedziale, której wartości w punktach x tego przedziału są równe
nazywamy pochodną funkcji f na przedziale i oznaczamy przez
.

Def. 4.11 (pochodna niewłaściwa funkcji)

Niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu punktu
oraz niech będzie ciągła w punkcie x₀. Funkcja f ma w punkcie x₀ pochodną niewłaściwą wtedy i tylko wtedy, gdy

albo
.

Uwaga. Analogicznie definiuje się pochodne niewłaściwe jednostronne. Pochodne te oznacza się tym samym symbolem co pochodne jednostronne właściwe.

TWIERDZENIA O POCHODNEJ FUNKCJI

Tw. 4.12 (o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji)

Jeżeli istnieją pochodne
, to

1. 
   ,

2. 
   ,

3. 
   ,

4. 
   , gdzie g(x) ≠ 0.

Uwaga. Powyższe wzory są prawdziwe także dla pochodnych jednostronnych oraz dla pochodnych niewłaściwych (stosujemy wtedy reguły działań z nieskończonością).

Tw. 4.13 (o pochodnej funkcji złożonej)

Jeżeli

1. funkcja f ma pochodną w punkcie x,

2. funkcja g ma pochodną w punkcie
   ,

to funkcja złożona
ma pochodną w punkcie x oraz

.

Tw. 4.14 (o pochodnej funkcji odwrotnej)

Jeżeli

1. funkcja
jest malejąca albo rosnąca

2. funkcja
ma pochodną
,

to funkcja
odwrotna do niej ma funkcję pochodną
,przy czym

, gdzie

dla każdego
.

Tw. 4.15 (o pochodnej funkcji elementarnej)

Pochodna funkcji elementarnej jest funkcją elementarną.

RÓŻNICZKA FUNKCJI

Def. 4.16 (różniczka funkcji)

Niech funkcja f ma pochodną właściwą w punkcie x₀. Różniczką funkcji f w punkcie x₀ nazywamy funkcję df zmiennej
określoną wzorem

.

Fakt 4.17 (zastosowanie różniczki do obliczania wartości przybliżonych)

Niech funkcja f będzie różniczkowalna w punkcie x₀. Wtedy

.

Def. 4.18 (pochodna n-tego rzędu funkcji)

Pochodną n-tego rzędu funkcji f w punkcie x₀ definiujemy następująco:

,

gdzie
. Ponadto przyjmujemy
.

GŁÓWNE TWIERDZENIA O FUNKCJACH RÓŻNICZKOWALNYCH

Tw. 4.19 (warunki wystarczające monotoniczności funkcji)

Niech I ⊂ R oznacza dowolny przedział. Wtedy

⇒ funkcja f jest stała na I,

⇒ funkcja f jest rosnąca na I,

⇒ funkcja f jest niemalejąca na I,

⇒ funkcja f jest malejąca na I,

⇒ funkcja f jest nierosnąca na I.

Tw. 4.20 (de L'Hospitala)

Jeżeli

1. dziedziny funkcji
   ,
   zawierają pewne sąsiedztwo S punktu x₀,

2. 
   (albo
   )

3. istnieje granica
   (właściwa lub niewłaściwa),

to istnieje także granica
, przy czym
.

Uwaga. Powyższe twierdzenie jest prawdziwe także dla granic jednostronnych w punkcie x₀ oraz w -∞ lub w ∞.

Fakt 4.21 (tożsamości zmieniające rodzaje nieoznaczoności)

Nieoznaczoność	Stosowana tożsamość	Otrzymana nieoznaczoność
	lub	lub

Uwaga. Tożsamość podaną dla nieoznaczoności
stosujemy dopiero wtedy, gdy zawiodą inne sposoby jej usunięcia.

ROZWINIĘCIA TAYLORA FUNKCJI

Def 4.22 (wielomian Taylora i Maclaurina)

Niech funkcja f ma w punkcie x₀ pochodną właściwą k-tego rzędu, k ∈ N ∪ {0}. Wielomian

nazywamy wielomianem Taylora rzędu k funkcji f w punkcie x₀. Jeżeli x₀ = 0, to wielomian P_k nazywamy wielomianem Maclaurina.

Tw. 4.23 (wzór Taylora z resztą Lagrange'a)

Jeżeli

1. funkcja f ma ciągłą pochodną rzędu n - 1 na przedziale [x₀,x],

2. istnieje właściwa pochodna f⁽ⁿ⁾ na przedziale (x₀,x),

to

.

Uwaga. Twierdzenie powyższe jest prawdziwe także dla przedziału [x,x₀], wtedy c ∈ (x,x₀). Równość występującą w tezie twierdzenia nazywamy wzorem Taylora. Wyrażenie

nazywamy n-tą resztą w postaci Lagrange'a. Resztę tę można także zapisać w postaci

,

gdzie
. Dla
wzór Taylora przyjmuje postać

,

gdzie
,
. Równość tę nazywamy wzorem Maclaurina.

Fakt 4.24 (wzory Maclaurina dla niektórych funkcji elementarnych)

Funkcja	Wzór Maclaurina

Uwaga. W powyższej tabeli punkt pośredni
,
.

EKSTREMA FUNKCJI

Niech będzie dana funkcja
,
oraz niech
zawiera pewne otoczenie Q punktu
.

Def. 4.25 (minimum lokalne funkcji)

Funkcja f ma w punkcie x₀ minimum lokalne jeżeli

.

Def. 4.26 (maksimum lokalne funkcji)

Funkcja f ma w punkcie x₀ maksimum lokalne jeżeli

.

Def. 4.27 (minimum lokalne właściwe funkcji)

Funkcja f ma w punkcie x₀ minimum lokalne właściwe jeżeli

.

Def. 4.28 (maksimum lokalne właściwe funkcji)

Funkcja f ma w punkcie x₀ maksimum lokalne właściwe jeżeli

.

Def. 4.29 (wartość najmniejsza funkcji na zbiorze)

Liczba m ∈ R jest wartością najmniejszą funkcji f na zbiorze A ⊂ D_f, jeżeli

oraz
.

Def. 4.30 (wartość największa funkcji na zbiorze)

Liczba M ∈ R jest wartością największą funkcji f na zbiorze A ⊂ D_f, jeżeli

oraz
.

Uwaga. Minima i maksima lokalne funkcji nazywamy ekstremami lokalnymi, natomiast wartość najmniejszą i największą funkcji na zbiorze nazywamy jej ekstremami globalnymi.

Tw. 4.31 (warunek konieczny istnienia ekstremum)

Jeżeli

1. funkcja f ma ekstremum lokalne w punkcie
   ,

2. istnieje
   ,

to
.

Fakt 4.32 (o lokalizacji ekstremów funkcji)

Funkcja może mieć ekstrema lokalne tylko w punktach, w których jej pochodna równa się zero albo w punktach, w których jej pochodna nie istnieje.

Tw. 4.33 (warunek wystarczający istnienia ekstremum)

Jeżeli funkcja f jest ciągła w punkcie
oraz posiada pochodną
na pewnym sąsiedztwie
, przy czym

dla każdego
i
dla każdego
,

to funkcja f ma w punkcie x₀ maksimum lokalne właściwe.

Jeżeli natomiast zachodzi warunek

dla każdego
i
dla każdego
,

to funkcja f ma w punkcie x₀ minimum lokalne właściwe.

FUNKCJE WYPUKŁE I WKLĘSŁE

Def. 4.34 (funkcja wypukła)

Niech funkcja f będzie określona na przedziale (a,b), -∞ ≤ a < b ≤ ∞. Funkcja f jest wypukła w przedziale (a,b), jeżeli dla dowolnych dwóch punktów
i dowolnej liczby
spełniony jest warunek

.

Geometrycznie, wypukłość funkcji w przedziale (a,b) oznacza, że w tym przedziale łuk wykresu funkcji łączący dwa dowolne punkty leży poniżej lub na siecznej łączącej te punkty.

Def. 4.35 (funkcja ściśle wypukła)

Niech funkcja f będzie określona na przedziale (a,b), -∞ ≤ a < b ≤ ∞. Funkcja f jest ściśle wypukła na przedziale (a,b), jeżeli dla dowolnych dwóch punktów
i dowolnej liczby
spełniony jest warunek

.

Geometrycznie, funkcja jest ściśle wypukła w przedziale (a,b), gdy w tym przedziale łuk wykresu funkcji łączący dwa dowolne punkty leży poniżej siecznej łączącej te punkty.

Def. 4.36 (funkcja wklęsła)

Niech funkcja f będzie określona na przedziale (a,b), -∞ ≤ a < b ≤ ∞. Funkcja f jest wklęsła na przedziale (a,b), jeżeli dla dowolnych dwóch punktów
i dowolnej liczby
spełniony jest warunek

.

Geometrycznie, wklęsłość funkcji w przedziale (a,b) oznacza, że w tym przedziale łuk wykresu funkcji łączący dwa dowolne punkty leży powyżej lub na siecznej łączącej te punkty.

Def. 4.37 (funkcja ściśle wklęsła)

Niech funkcja f będzie określona na przedziale (a,b), -∞ ≤ a < b ≤ ∞. Funkcja f jest ściśle wklęsła na przedziale (a,b), jeżeli dla dowolnych dwóch punktów
i dowolnej liczby
spełniony jest warunek

.

Geometrycznie, funkcja jest ściśle wklęsła w przedziale (a,b), gdy tym przedziale łuk wykresu funkcji łączący dwa dowolne punkty leży powyżej siecznej łączącej te punkty.

Tw. 4.38 (warunek wystarczający wypukłości)

Jeżeli
dla każdego
, to funkcja f jest ściśle wypukła na (a,b).

PUNKTY PRZEGIĘCIA WYKRESU FUNKCJI

Def. 4.39 (punkt przegięcia wykresu funkcji)

Niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu punktu
. Ponadto niech funkcja ma tam pochodną właściwą lub niewłaściwą. Punkt
jest punktem przegięcia wykresu funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba δ > 0 taka, że funkcja f jest ściśle wypukła na przedziale
oraz ściśle wklęsła na przedziale
lub na odwrót.

Obrazowo, punkt wykresu funkcji jest punktem przegięcia, jeżeli funkcja zmienia w nim rodzaj wypukłości. Wykres funkcji przechodzi wtedy z jednej strony stycznej na drugą. Mówi się także, że punkt x₀ jest punktem przegięcia funkcji f.

Tw. 4.40 (warunek konieczny istnienia punktu przegięcia)

Jeżeli funkcja f spełnia warunki

1. punkt
   jest punktem przegięcia wykresu funkcji f,

2. istnieje
   ,

to
.

Fakt 4.41 (o lokalizacji punktów przegięcia wykresu funkcji)

Funkcja może mieć punkty przegięcia jedynie w punktach zerowania się jej drugiej pochodnej albo w punktach, w których ta pochodna nie istnieje.

Tw. 4.42 (warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia)

Jeżeli funkcja f spełnia warunki

1. w punkcie
   ma pochodną właściwą lub niewłaściwą,

2. 
   dla każdego
   i
   dla każdego
   ,

to punkt
jest punktem przegięcia wykresu tej funkcji.

Uwaga. Twierdzenie powyższe jest prawdziwe także, gdy nierówności dla drugiej pochodnej
są odwrotne w sąsiedztwie punktu x₀.

BADANIE FUNKCJI

Badanie przebiegu zmienności funkcji obejmuje następujące podpunkty:

1. Ustalenie dziedziny funkcji.

2. Wskazanie podstawowych własności funkcji (parzystość lub nieparzystość, okresowość, ewentualnie miejsca zerowe funkcji).

3. Obliczanie granic lub wartości funkcji na „krańcach” dziedziny.

4. Znalezienie asymptot pionowych i ukośnych.

5. Analiza pierwszej pochodnej funkcji:

1. wyznaczenie dziedziny pochodnej i jej obliczenie,

2. wyznaczenie punktów, w których funkcja może mieć ekstrema,

3. ustalenie przedziałów monotoniczności funkcji,

4. ustalenie ekstremów funkcji.

6. Analiza drugiej pochodnej funkcji:

1. wyznaczenie dziedziny drugiej pochodnej i jej obliczenie,

2. wyznaczenie punktów, w których funkcja może mieć punkty przegięcia,

3. ustalenie przedziałów wklęsłości i wypukłości,

4. wyznaczenie punktów przegięcia wykresu funkcji.

7. Sporządzenie tabeli.

8. Sporządzenie wykresu funkcji.

---