W 12 macierz odwrotna , Matematyka


WYKŁAD 12

MACIERZ ODWROTNA, RÓWNANIA MACIERZOWE

Macierzą odwrotną do macierzy kwadratowej 0x01 graphic
nazywamy taką macierz 0x01 graphic
, która spełnia równości

0x01 graphic

Macierz 0x01 graphic
nazywamy wtedy macierzą odwracalną.

Tw. 1 Macierz A jest macierzą odwracalną wtedy i tylko wtedy, gdy 0x01 graphic
Wówczas

0x01 graphic
,

gdzie 0x01 graphic
oznacza macierz dopełnień algebraicznych macierzy A.

Macierz kwadratową o wyznaczniku różnym od zera nazywamy macierzą nieosobliwą, a mającą wyznacznik równy zero - macierzą osobliwą.

Wzór na macierz odwrotną, opisany w powyższym twierdzeniu, definiuje następującą procedurę odwracania macierzy:

Tw. 2 Jeżeli A i B są macierzami nieosobliwymi tego samego stopnia, to:

0x01 graphic

Z pomocą macierzy odwrotnej możemy rozwiązać układ równań Cramera:

0x01 graphic

Układ ten jest równoważny równaniu macierzowemu:

0x01 graphic

Jeżeli w równaniu tym macierz współczynników oznaczymy przez A, wektor niewiadomych 0x01 graphic
przez X, a wektor wyrazów wolnych 0x01 graphic
przez B, to równanie przyjmie postać

0x01 graphic

W równaniu tym macierz A jest nieosobliwa (bo jest to układ cramerowski). Mnożąc lewostronnie obie strony tego równania przez macierz 0x01 graphic
, odwrotną do macierzy A, otrzymujemy kolejno

0x01 graphic

Tak więc rozwiązaniem równania jest wektor X (łatwo zauważyć, że jest to macierz jednokolumnowa) równy iloczynowi macierzy odwrotnej do macierzy współczynników przez wektor wyrazów wolnych.

Opisana wyżej metoda pozwala na inną, często bardziej efektywną metodę szukania macierzy odwrotnej. Zauważmy, że macierz odwrotna do macierzy A jest rozwiązaniem X równania macierzowego

0x01 graphic

Przedstawmy macierze X i I w postaci blokowej z rozpisaniem na kolumny, macierz A z rozpisaniem na wiersze:

0x01 graphic

Wówczas równanie macierzowe 0x01 graphic
jest równoważne z ciągiem rozpatrywanych wcześniej układów równań liniowych

0x01 graphic

Rozwiązując każdy z nich metodą eliminacji Gaussa otrzymujemy po kolei kolumny 0x01 graphic
macierzy 0x01 graphic
. Ponieważ we wszystkich tych układach macierz współczynników A jest jednakowa, można stosować eliminację Gaussa jednocześnie do wszystkich układów, wpisując po prawej stronie macierz jednostkową i wykonując operacje elementarne na wierszach macierzy blokowej 0x01 graphic
. Po dokonaniu odpowiednich przekształceń elementarnych otrzymamy wówczas macierz 0x01 graphic
.

UKŁADY NIERÓWNOŚCI LINIOWYCH

Układem m nierówności liniowych o n niewiadomych 0x01 graphic
nazywamy układ postaci:

0x01 graphic

gdzie współczynniki 0x01 graphic
są danymi liczbami rzeczywistymi.

Do każdej lewej strony nierówności dodajemy pewną liczbę nieujemną tak, by każda z nierówności stała się równością. Otrzymujemy w ten sposób układ m równań o 0x01 graphic
niewiadomych 0x01 graphic
postaci:

0x01 graphic

Macierz rozszerzoną układu (2) nazywamy macierzą uzupełnioną układu (1) i zapisujemy

(3) 0x01 graphic

Tw. 3 Stosując metodę eliminacji Gaussa do wierszy macierzy uzupełnionej (3) możemy tę macierz przekształcić do jednej z postaci bazowych

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
oznaczają odpowiednio macierze jednostkowe utworzone z części (lub całej) macierzy A i z części dodanej macierzy odpowiadającej zmiennym 0x01 graphic
; 0x01 graphic
oznacza macierz resztkową macierzy A, 0 oznacza macierz zerową, 0x01 graphic
oznacza przekształconą za pomocą operacji elementarnych macierz jednostkową zmiennych 0x01 graphic
; C oraz 0x01 graphic
przekształconą kolumnę wyrazów wolnych.

Każdy układ nierówności, sprowadzony do jednej z pierwszych dwóch postaci bazowych jest niesprzeczny. Układy, sprowadzone do pozostałych postaci bazowych są niesprzeczne wtedy i tylko wtedy, gdy układ równań zmiennych 0x01 graphic
o macierzy rozszerzonej 0x01 graphic
posiada przynajmniej jedno rozwiązanie bazowe nieujemne.

W każdym rozwiązaniu zmienne 0x01 graphic
są nieujemnymi parametrami; w dwóch ostatnich przypadkach ich zakres zmienności jest dodatkowo ograniczony, gdyż muszą one dodatkowo spełniać układ równań o macierzy rozszerzonej 0x01 graphic
i wszystkie zmienne 0x01 graphic
w rozwiązaniu tego ostatniego układu muszą być nieujemne. Parametry, odpowiadające zmiennym 0x01 graphic
, przybierają zawsze dowolne wartości rzeczywiste.

26



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Zestaw 12 Macierz odwrotna, układy równań liniowych
Zestaw 12 Macierz odwrotna, układy równań liniowych
Sciaga Macierz-odwrotna, studia, matematyka
Macierz Odwrotna, Finanse i rachunkowość, Matematyka
(3660) macierz odwrotna i rząd macierzy
Znajdz macierz odwrotna korzystając z metody?zwyznacznikowej
Korzystajac z twierdzenia o postaci macierzy odwrotnej wyznacz macierze odwrotne do podanych macierz
Matematyka [ macierze][ szeregi], matematyka macierze, Liczenie wyznaczników w macierzy 3x3
12 02 S1 W Matematyka
2 Metody+wyznaczania+macierzy+odwrotnej
Macierz odwrotna
macierz odwrotna uklady Cramera
M[1].4. Macierz odwrotna
Macierze odwrotne Zadanie dom Zadanie domowe id 762640
12 , studia, studia, matematyka, całki i szeregi
Zadania tekstowe 12, dla dzieci, matematyczne

więcej podobnych podstron