WYKŁAD 12

MACIERZ ODWROTNA, RÓWNANIA MACIERZOWE

Macierzą odwrotną do macierzy kwadratowej
nazywamy taką macierz
, która spełnia równości

Macierz
nazywamy wtedy macierzą odwracalną.

Tw. 1 Macierz A jest macierzą odwracalną wtedy i tylko wtedy, gdy
Wówczas

,

gdzie
oznacza macierz dopełnień algebraicznych macierzy A.

Macierz kwadratową o wyznaczniku różnym od zera nazywamy macierzą nieosobliwą, a mającą wyznacznik równy zero - macierzą osobliwą.

Wzór na macierz odwrotną, opisany w powyższym twierdzeniu, definiuje następującą procedurę odwracania macierzy:

• Liczymy wyznacznik macierzy A - jeśli jest różny od zera, wykonujemy dalsze czynności;

• Liczymy macierz dopełnień algebraicznych macierzy A, wstawiając w miejscu (i,k) liczbę
  , czyli algebraiczne dopełnienie elementu
  ;

• Dokonujemy transpozycji otrzymanej macierzy;

• Mnożymy otrzymaną macierz przez liczbę
  czyli każdy element tej macierzy dzielimy przez liczbę
  ;

• Uzyskana w ten sposób macierz jest macierzą
  

Tw. 2 Jeżeli A i B są macierzami nieosobliwymi tego samego stopnia, to:

Z pomocą macierzy odwrotnej możemy rozwiązać układ równań Cramera:

Układ ten jest równoważny równaniu macierzowemu:

Jeżeli w równaniu tym macierz współczynników oznaczymy przez A, wektor niewiadomych
przez X, a wektor wyrazów wolnych
przez B, to równanie przyjmie postać

W równaniu tym macierz A jest nieosobliwa (bo jest to układ cramerowski). Mnożąc lewostronnie obie strony tego równania przez macierz
, odwrotną do macierzy A, otrzymujemy kolejno

Tak więc rozwiązaniem równania jest wektor X (łatwo zauważyć, że jest to macierz jednokolumnowa) równy iloczynowi macierzy odwrotnej do macierzy współczynników przez wektor wyrazów wolnych.

Opisana wyżej metoda pozwala na inną, często bardziej efektywną metodę szukania macierzy odwrotnej. Zauważmy, że macierz odwrotna do macierzy A jest rozwiązaniem X równania macierzowego

Przedstawmy macierze X i I w postaci blokowej z rozpisaniem na kolumny, macierz A z rozpisaniem na wiersze:

Wówczas równanie macierzowe
jest równoważne z ciągiem rozpatrywanych wcześniej układów równań liniowych

Rozwiązując każdy z nich metodą eliminacji Gaussa otrzymujemy po kolei kolumny
macierzy
. Ponieważ we wszystkich tych układach macierz współczynników A jest jednakowa, można stosować eliminację Gaussa jednocześnie do wszystkich układów, wpisując po prawej stronie macierz jednostkową i wykonując operacje elementarne na wierszach macierzy blokowej
. Po dokonaniu odpowiednich przekształceń elementarnych otrzymamy wówczas macierz
.

UKŁADY NIERÓWNOŚCI LINIOWYCH

Układem m nierówności liniowych o n niewiadomych
nazywamy układ postaci:

gdzie współczynniki
są danymi liczbami rzeczywistymi.

Do każdej lewej strony nierówności dodajemy pewną liczbę nieujemną tak, by każda z nierówności stała się równością. Otrzymujemy w ten sposób układ m równań o
niewiadomych
postaci:

Macierz rozszerzoną układu (2) nazywamy macierzą uzupełnioną układu (1) i zapisujemy

(3)

Tw. 3 Stosując metodę eliminacji Gaussa do wierszy macierzy uzupełnionej (3) możemy tę macierz przekształcić do jednej z postaci bazowych

oznaczają odpowiednio macierze jednostkowe utworzone z części (lub całej) macierzy A i z części dodanej macierzy odpowiadającej zmiennym
;
oznacza macierz resztkową macierzy A, 0 oznacza macierz zerową,
oznacza przekształconą za pomocą operacji elementarnych macierz jednostkową zmiennych
; C oraz
przekształconą kolumnę wyrazów wolnych.

Każdy układ nierówności, sprowadzony do jednej z pierwszych dwóch postaci bazowych jest niesprzeczny. Układy, sprowadzone do pozostałych postaci bazowych są niesprzeczne wtedy i tylko wtedy, gdy układ równań zmiennych
o macierzy rozszerzonej
posiada przynajmniej jedno rozwiązanie bazowe nieujemne.

W każdym rozwiązaniu zmienne
są nieujemnymi parametrami; w dwóch ostatnich przypadkach ich zakres zmienności jest dodatkowo ograniczony, gdyż muszą one dodatkowo spełniać układ równań o macierzy rozszerzonej
i wszystkie zmienne
w rozwiązaniu tego ostatniego układu muszą być nieujemne. Parametry, odpowiadające zmiennym
, przybierają zawsze dowolne wartości rzeczywiste.

26

---