Definicja i metody obliczania macierzy
odwrotnej
Marcin Detka
Katedra Informatyki Stosowanej
Kielce, Październik 2004
1
Macierz odwrotna - definicja
Definicje uzupełniające (przypomnienie)
Podwyznacznikiem danego wyznacznika nazywamy nazywamy każdy wy-
znacznik, który otrzymujemy usuwając z macierzy danego wyznacznika
pewną liczbę wierszy i taką samą liczbę kolumn, zachowując kolejność
pozostałych elementów.
Minorem wyznacznika przynależnym do elementu a
ij
macierzy nazywamy
podwyznacznik danego wyznacznika, który otrzymamy usuwając z ma-
cierzy danego wyznacznika wiersz oraz kolumnę, na przecięciu których
znajduje się ten element.
Dopełnieniem algebraicznym A
ij
elementu a
ij
wyznacznika nazywamy
iloczym minora tego wyznacznika przynależnego do elementu a
ij
oraz
czynnika (−1)
i+j
Jeżeli poprzez A oznaczymy macierz dopełnień algebraicznych dla danej kwa-
dartowej macierzy A o wyznaczniku detA 6= 0 to definicje macierzy odwrot-
nej możemy zapisać:
A
−1
=
1
detA
(A)
T
(1)
Wartość każdego elementu macierzy odwrotnej możemy zapisać przyjmijmy
że: A
−1
= B
b
ij
=
A
ji
detA
(2)
1
2
MACIERZ ODWROTNA - METODĄ GAUSSA-JORDANA
2
Przykład
Obliczanie macierzy odwrotnej z definicji:
A =
3
1 −1
4
2 −1
−2 −1
1
Wyznacznik macierzy wynosi:
3
1 −1
4
2 −1
−2 −1
1
= 1 6= 0
Obliczamy dopełnienia algebraiczne dla każdego elementu macierzy
A
11
= (−1)
1+1
2 −1
−1
1
= 1
A
21
= (−1)
2+1
1 −1
−1
1
= 0
Po obliczeniu wszystkich (jeszcze 7) dopełnień algebraicznych macierz A wy-
nosi
A =
1 −2 0
0
1 1
1 −1 2
Podstawiając do wzoru 1 otrzymujemy macierz odwrotną
A
−1
=
1
1
1 0
1
−2 1 −1
0 1
2
2
Macierz odwrotna - metodą Gaussa-Jordana
Metoda Gaussa-Jordana oparta jest na następujących równaniach
A
−1
A = I
(3)
A
−1
I = A
−1
(4)
Macierz A oraz macierz jednostkową I poddajemy tej samej sekwencji ope-
racji: z symetri powyższych równań wynika że jeżeli ta sekwencja doprowadzi
do przekształcenia macierzy A w macierz I to przekształcana równolegle ma-
cierz jednostkowa powinna stać się macierzą A
−1
2
MACIERZ ODWROTNA - METODĄ GAUSSA-JORDANA
3
Przykład
Obliczanie macierzy odwrotnej metodą Gaussa-Jordana
A =
2 1 1
1 2 1
1 1 2
1 0 0
0 1 0
0 0 1
aby uzyskać a
11
= 1, dzielimy pierwszy wiersz przez warość elementu a
11
A =
1 1/2 1/2
1
2
1
1
1
2
1/2 0 0
0 1 0
0 0 1
aby uzyskać wartość a
21
= 0 odejmujemy od wiersza 2 wiersz 1 pomnożnony
przez warość a
21
oraz aby uzyskać wartość a
31
= 0 odejmujemy od wiersza 3
wiersz 1 pomnożnony przez warość a
31
A =
1 1/2 1/2
0 3/2 1/2
0 1/2 3/2
1/2 0 0
−1/2 1 0
−1/2 0 1
aby uzyskać wartość 1 na przekątnej tzn. aby a
22
= 1 dzielimy wiersz 2 przez
wartość a
22
, aby uzyskać wartość 0 dla elementu a
12
tak uzyskany wiersz
odejmujemy od wiersza 1 mnożąc go wcześniej przez wartość elementu a
12
aby uzyskać wartość 0 dla elementu a
32
tak uzyskany wiersz odejmujemy od
wiersza 3 mnożąc go wcześniej przez wartość elementu a
32
A =
1 0 1/3
0 1 1/3
0 0 4/3
2/3 −1/3 0
−1/3
2/3 0
−1/3 −1/3 1
aby uzyskać wartość 1 na przekątnej tzn. aby a
33
= 1 dzielimy wiersz 3 przez
wartość a
33
, aby uzyskać wartość 0 dla elementu a
13
tak uzyskany wiersz
odejmujemy od wiersza 1 mnożąc go wcześniej przez wartość elementu a
13
aby uzyskać wartość 0 dla elementu a
23
tak uzyskany wiersz odejmujemy od
wiersza 2 mnożąc go wcześniej przez wartość elementu a
23
A =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
3/4 −1/4 −1/4
−1/4
3/4 −1/4
−1/4 −1/4
3/4
Zatem
A
−1
=
3/4 −1/4 −1/4
−1/4
3/4 −1/4
−1/4 −1/4
3/4