Macierz odwrotn do kwadratowej macierzy A nazywamy tak macierz
-1
A , dla której
-1
-1
AA = A A = I , gdzie I oznacza macierz jednostkow .
Dowodzi si , e macierz odwrotna istnieje dla ka dej macierzy kwadratowej, której wyznacznik jest ró ny od zera.
Macierz kwadratow o wyznaczniku ró nym od zera nazywamy macierz nieosobliw .
Twierdzenie. Je eli A jest macierz kwadratow , której wyznacznik jest ró ny od zera, czyli | A |≠ 0, to istnieje dokładnie jedna macierz odwrotna do macierzy A i jest ona okre lona wzorem: T
∗
−1 = A
A
ik
,
| A |
gdzie ∗ = −
i
A
+
k
(− )
1 i k | i
Ak |. ∗ i
Ak nazywamy dopełnieniem algebraicznym elementu
aik .
Przykład. Znale macierz odwrotn do macierzy 2
5
7
A = 6
3
4 .
5 − 2 − 3
| A|= – 1 oraz
3 4
6 4
6 3
| A =
= −
A =
= −
A =
= −
11 | |
| −1
− , | 12 | |
| −3
− 8 ,
| 13 | |
|
2
− 7,
− 2 − 3
5 − 3
5 − 2
5 7
2 7
2 5
| A =
= −
A =
= −
A =
= −
21 | |
| −1
− , | 22 | |
| −4
− 1,
| 23 | |
|
2
− 9,
− 2 − 3
5 − 3
5 − 2
5 7
2 7
2 5
| A =
= −
A =
= −
A =
= −
31 | |
| −1
− ,
| 32 | |
| −3
− 4,
| 33 | |
|
2
− 4.
3 4
6 4
6 3
Zatem
1 − 38 27 T
1 − 1
1
−1
A = − 1
41 − 29 = − 38 41 − 34 .
1 − 34 24
27 − 29 24
Układy równa liniowych. Układy Cramera.
Układ n równa liniowych o niewiadomych x1, x2,.., xn zapisujemy w postaci
a x +
11 1
a x +
12 2
. . + a nxn =
1
1
b ,
a x +
21 1
a x +
22 2
. . + a nxn =
2
2
b ,
(1)
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
an x +
1 1
an x +
2 2
. . + annxn = n
b .
Rozwi zaniem tego układu jest n liczb ( x1, x2,.., xn) spełniaj cych równania (1).
Przyjmijmy oznaczenia:
a11 a12 a1 n
b1
a21 a22 a
b
A =
2 n
B = 2
an1 an2 ann
n
b
Wyznacznik macierzy utworzonej ze współczynników przy niewiadomych nazywamy wyznacznikiem głównym lub charakterystycznym układu (1).
Twierdzenie Cramera. Je eli wyznacznik główny układu (1) jest ró ny od zera, | A |≠ 0, to układ ten ma dokładnie jedno rozwi zanie i jest ono okre lone wzorami
(2)
| 1
A |
| 2
A |
| A |
=
1
x =
, x =
, … , x
n
=
,
| A |
2
| A |
n
| A |
gdzie k
A , k = 1, 2, …, n, jest macierz powstał z macierzy A przez zast pienie
k-tej kolumny kolumn wyrazów wolnych.
Wzory (2) nazywane s wzorami Cramera.
Je eli w układzie (1) b = b = = nb =
1
2
. .
0, to układ taki nazywa si układem jednorodnym.
Wniosek. Je eli wyznacznik główny układu jednorodnego jest ró ny od zera, to układ taki ma dokładnie jedno rozwi zanie i jest to rozwi zanie zerowe
x =
x =
xn =
1 = 0 ,
2 = 0 , …,
0.
Przykład. Rozwi za układ równa
x + 2 y − z = 1
3 x + y + z = 2.
x
− 5 z = 0
Obliczamy wyznacznik główny układu
1 2 − 1
| A |= 3 1 1 = 28 ≠ 0
1 0 − 5
oraz 1 2 −1
1 1 − 1
1 2 1
| A =
=
A =
=
A =
=
1 |
2 1 1 = 15,
| 2 | 3 2 1 = 8,
| 3 | 3 1 2 3.
0 0 − 5
1 0 − 5
1 0 0
St d wynika, e
15
x =
,
2
y = ,
3
z =
.
28
7
28