Macierz odwrotna do macierzy kwadratowej nieosobliwej Na ogół nie ma sensu mówić o iloczynie macierzy A, B. Także nie można dzielić macierzy. Zanim podamy jak dzielić macierze musimy zdefiniować pojęcie macierzy odwrotnej do macierzy kwadratowej nieosobliwej.
Definicja
Niech A = [ai j] będzie macierzą kwadratową stopnia n > 1.
Dopełnieniem algebraicznym wyrazu ai j macierzy A nazywamy liczbę Di j = (–1)i+j det Ai j,
gdzie Ai j oznacza macierz stopnia n – 1 otrzymaną przez skreślenie i – tego wiersza oraz j – tej kolumny macierzy A.
Mówiąc poglądowo: Niech An będzie macierzą kwadratową. Najpierw z macierzy An wyrzucamy (skreślamy) wiersz o numerze i oraz kolumnę o numerze j ( ten wiersz oraz kolumnę wskazują wskaźniki wyrazu aij). Otrzymujemy macierz rzędu n – 1, której wyznacznik oznacza się det Aij . Ten wyznacznik mnożymy przez (-1)i+j ; otrzymaną liczbę nazywa się dopełnieniem algebraicznym wyrazu aij macierzy An .
Przykład 1.
2 3
0
Dopełnienie D
1
5
−
23 wyrazu a23 macierzy A =
1 wyznaczamy następująco:
4 7
4
2 3
1. Skreślamy wiersz 2 i kolumnę 3 macierzy A i otrzymujemy macierz B =
,
4 7
2 3
2. Obliczamy wyznacznik macierzy B: det
= 14 – 12 = 2.
4 7
2 3
3. Obliczamy dopełnienie D23 wyrazu a23 : D23 = (–1)2+3 det
= – 2.
4 7
Definicja
Jeśli A
-1
n jest macierzą kwadratową nieosobliwą, to macierzą odwrotną An do macierzy A
-1
-1
n nazywamy macierz, która spełnia warunek An An = An An = In , gdzie In jest macierzą jednostkową wymiaru n.
Inaczej iloczyn macierzy danej i odwrotnej jest macierzą jednostkową.
1
Algorytm wyznaczania macierzy odwrotnej do danej nieosobliwej
Niech An będzie macierzą kwadratową nieosobliwą (czyli det An ≠ 0).
1. Obliczamy wyznacznik macierzy An , czyli det An.
2. Wyznaczamy dopełnienia każdego wyrazu macierzy An.
3. Tworzymy macierz D otrzymanych dopełnień.
4. Transponujemy macierz D ; otrzymujemy macierz DT.
5. Dzielimy każdy wyraz macierzy DT przez det A
-1
n – otrzymujemy macierz An .
Inaczej mówiąc macierz odwrotną
-1
An wyznaczamy ze związku
1
A -1
n =
DT .
det An
Przykład 2.
0
1
3
Dana jest macierz A = −1 2 1
1
0
−
1
1. Wyznacznik macierzy A, czyli det A = –6.
Wniosek A jest macierzą nieosobliwą. Istnieje zatem macierz A-1 odwrotna do macierzy A.
2. Obliczamy dopełnienia wyrazów macierzy A:
2
1
D11 = (–1)1+1
= –2 ; D12 = 0 ; D13 = –2 ;
0
−1
D21 = 1 ; D22 = –3 ; D23 = 1;
D31 = –5 ; D32 = –3 ; D33 = 1.
3. Tworzymy macierze D i DT
− 2
0
− 2
− 2
1
− 5
D = 1
− 3 1 ; DT = 0 − 3 − 3 .
− 5 − 3
1
− 2
1
1
1
1
5
−
− 2
1
− 5
3
6
5
1
1
1
1
4. Wyznaczamy macierz A-1 =
DT = –
0
− 3 − 3 = 0
.
det A
6
2
2
n
− 2
1
1
1
1
1
−
−
3
6
6
Można sprawdzić, że A A-1 = I3 (jest macierzą jednostkową stopnia 3).
2
Niech A, B będą macierzami kwadratowymi tego samego stopnia oraz det B ≠ 0.
A : B = A ⋅ B-1 .
Przykład 3.
−1
1
− 2 −
1
Rozwiąż równanie X ⋅
=
.
3
− 4
3
4
Jest to równanie postaci X ⋅ A = B.
Skoro det A ≠ 0, to każdą ze stron tego równania mnożymy prawostronnie przez A-1 (za-stanów się dlaczego prawostronnie) bądź dzielimy przez A i otrzymujemy: (X ⋅ A) ⋅ A-1 = B ⋅ A-1.
Następnie X ⋅ (A ⋅ A-1 ) = B⋅ A-1 ; X ⋅ I2 = B⋅ A-1 ; X = B ⋅ A-1.
Wystarczy zatem pomnożyć macierz B przez A-1, aby otrzymać macierz X.
−
1
−
1
1
− 2 −
1
− 2 −
1
−1
1
Mamy: X ⋅
=
; X =
.
;
3
− 4
3
4
3
4
3
− 4
− 2 −
1
− 4
1
5 −
1
X =
.
; X =
.
3
4
3
−
1
0 −
1
Ćwiczenia
1. Wyznacz macierz odwrotną do danej.
2
1
−
5
2 −
1
0
−
1
cos a − sin a
a) [5] , b)
, c)
, d)
, e) 0 − 2
1
.
0
4
− 1
0
sin a
cos a
1
3
2
2. Rozwiąż równanie macierzowe wykorzystując operację odwracania macierzy.
3 2
− 5
1
2
1
1 −
1
3
5
a)
⋅X =
, b)
⋅X ⋅
=
,
0 1
0
−
1
− 2
3
0
2
− 2 0
2 −
1
5
2
3
1
1
3
3 3
1
5
c)
⋅X ⋅
=
, d ) 2
0 − X ⋅
= − 1
2
.
2
1
1 2
2 2
2
−1
0
−
1
0
−
1
3