MACIERZE ODWROTNE
Macierzą odwrotną do macierzy kwadratowej A nazywamy taką macierz A
-1
, że
A
⋅A
-1
=A
-1
⋅A=I,
gdzie I jest macierzą jednostkową tego samego stopnia co macierz A
Tylko macierze nieosobliwe (det A
≠0) posiadają macierz odwrotną.
Sposoby wyznaczania macierzy odwrotnej
1) jeśli macierz A jest stopnia n, to A
-1
=
i elementy macierzy A
nn
n
n
x
x
x
x
...
...
...
...
...
1
1
11
-1
wyznaczamy z równania macierzowego A
⋅A
-1
=I.
2) A
-1
=
A
det
1 ⋅[D
ij
]
T
,
przy czym [D
ij
]
T
jest transpozycją macierzy dopełnień algebraicznych, czyli macierzy
[D
ij
]=
,
nn
n
n
n
n
D
D
D
D
D
D
D
D
D
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
22
21
1
12
11
gdzie D
ij
=(-1)
i+j
⋅|A
ij
| jest dopełnieniem algebraicznym elementu a
ij
, zaś |A
ij
| jest
minorem elementu a
ij
(wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A przez skreślenie
i-tego wiersza i j-tej kolumny).
3) Twierdzenie 1. Jeżeli macierz kwadratowa A jest macierzą nieosobliwą (detA
≠0), to
istnieje ciąg przekształceń elementarnych sprowadzających tę macierz do macierzy
jednostkowej.
Twierdzenie 2. Jeżeli ciąg przekształceń elementarnych sprowadza nieosobliwą
macierz kwadratową stopnia n do macierzy jednostkowej stopnia n, to ten sam ciąg
przekształceń elementarnych sprowadza tą samą macierz jednostkową do macierzy
A
-1
(przekształcenia dokonujemy bądź na wierszach, bądź na kolumnach).
Jeżeli w trakcie przekształceń elementarnych otrzymamy wiersz lub kolumnę zerową
tzn., że macierz odwrotna nie istnieje.
A I
T
n
T
n
I A
-1
Arkadiusz Lisak
1
OPERACJE ELEMENTARNE I RZĄD MACIERZY
Przekształceniami elementarnymi danej macierzy A=[a
ij
]
m x n
nazywamy
następujące działania na wierszach lub kolumnach macierzy:
T
1
– polega na pomnożeniu wszystkich elementów wybranego wiersza lub kolumny
przez liczbę
α
0,
≠
T
2
– polega na zamianie miejscami dwóch dowolnie wybranych wierszy lub kolumn,
T
3
–polega na dodaniu do wszystkich elementów wybranego wiersza lub kolumny
odpowiadających im elementów innego wiersza lub kolumny pomnożonych przez
liczbę
α
0.
≠
Przykład. A=
T
−
1
4
0
0
3
2
1
1
3
2
0
1
1
(2
⋅w
2
)
T
−
1
4
0
0
6
4
2
2
3
2
0
1
3
(w
1
+2w
3
)
−
1
4
0
0
0
2
1
1
5
10
0
1
T
2
(w
1
↔w
2
)
−
1
4
0
0
0
10
0
1
0
2
1
1
Rzędem macierzy A nazywamy maksymalną liczbę liniowo niezależnych wektorów
(wierszy lub kolumn) tej macierzy i oznaczamy przez rzA.
Sposoby wyznaczania rzędu macierzy
1) Rząd macierzy jest to najwyższy stopień niezerowego wyznacznika kwadratowej
podmacierzy (minora) tej macierzy (najwyższy stopień jej nieosobliwej
podmacierzy).
2) Tw. Przekształcenia elementarne typu T
1
, T
2
, T
3
nie zmieniają rzędu macierzy.
Postać bazowa macierzy (macierz bazowa) dla macierzy A
A=
2
|
|
1 O
R
O
k
I
,
gdzie I
k
jest macierzą jednostkową stopnia k, zaś O
1
i O
2
są macierzami zerowymi.
Tw. Każdą macierz A można za pomocą ciągu operacji elementarnych przekształcić
do macierzy bazowej, która zawiera podmacierz jednostkową stopnia k. Wtedy
rzA=k.
Stopień k macierzy jednostkowej I otrzymanej w lewym górnym rogu macierzy
określa rząd macierzy.
Arkadiusz Lisak
2