2.
Metody wyznaczania macierzy odwrotnej: metoda wyznacznikowa (za pomocą dopełnień algebraicznych), metoda operacji
elementarnych. Przykłady zastosowań macierzy w zagadnieniach ekonomicznych.
Zadanie 4. [wyznaczanie macierzy odwrotnej]
Macierz jest nieosobliwa jeżeli jej wyznacznik jest różny od zera.
Macierz odwrotna A
-1
do macierzy kwadratowej nie-osobliwej A nazywamy taką macierz, że A
-1
A= A A
-1
. Można dowieść,
ż
e A
-1
=
A
det
1
[A
ik
]
T ,
gdzie [A
ik
]
T
jest transponowaną macierzą dopełnień algebraicznych.(metoda wyznacznikowa)
( )
(
)
( )
1
1
1
~
−
−
−
Ι
=
Ι
⋅
A
A
A
A
I
A
(metoda operacji elementarnych)
a) A =
5
3
2
1
b) A =
5
2
2
1
c) A =
1
3
3
8
d)
−
−
1
1
2
1
2
4
1
1
3
Zadanie 5. Dla poniższej macierzy znajdź:
a) wyznacznik macierzy,
b)
macierz dopełnień algebraicznych,
c)
macierz transponowaną dopełnień algebraicznych,
d)
macierz odwrotną.
−
4
2
8
2
1
1
4
1
0
3
2
0
1
2
0
1
Zadanie 6. [rząd macierzy] Znajdź rzędy następujących macierzy:
Przekształceniami elementarnymi macierzy nazywamy
(i)
zamianę wierszy (kolumn) ;
(ii)
pomnożenie wiersza (kolumny) przez liczbę różną od 0 ;
(iii)
pomnożenie wybranego wiersza (kolumny) przez pewną liczbę i dodanie do
innego wiersza (kolumny)
Macierze nazywamy równoważnymi, jeżeli jedna powstaje z drugiej przez zastosowanie
działań elementarnych .
Stąd A~B <=> r (A) = r (B) (~)- równoważne
a)
1
3
2
6
1
3
1
0
−
−
b)
1
2
0 1 2 0
1
2
1
2 0 1 2 0
1
2
−
−
−
−
c)
1
2
3
2
1
0
1
3
3
−
−
−
d)
3
5
5
1
1 0
2
2
2
1
1
3
−
−
e)
1
2
3
4
5
5
4
3
2
1
0
0
0
0
0
1
2
1
0
1
−
−
−
−
−
−
f)
1
2
1
2
1
3
0
0
0
2
1
5
1
0
3
3
0
9
−
−
−
g)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
h)
[
]
0 0 0 0
0 10
Zadanie 7. [równanie macierzowe] Zakładamy, że spełniona jest równość
⋅ =
A X
B
.
Znajdź macierz
1
2
x
x
=
X
, jeżeli
1
2
0
,
2
1
3
=
=
−
−
A
B
.