Empiryczne badanie czasu potrzebnego do przebiegnięcia 5 km przez 60 uczniów i 60 uczennic w drugiej klasie podmiejskiego liceum dostarczyły następujące dane :
Dziewczęta:
| 1 | 43,20 | 13 | 28,46 | 25 | 62,47 | 37 | 39,53 | 49 | 52,29 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 36,50 | 14 | 54,50 | 26 | 35,45 | 38 | 45,30 | 50 | 31,27 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 3 | 20,40 | 15 | 34,58 | 27 | 37,45 | 39 | 53,40 | 51 | 23,42 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 4 | 24,43 | 16 | 45,34 | 28 | 54,46 | 40 | 36,20 | 52 | 52,53 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 5 | 31,35 | 17 | 23,46 | 29 | 52,59 | 41 | 51,30 | 53 | 43,42 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 6 | 24,44 | 18 | 42,54 | 30 | 56,34 | 42 | 42,50 | 54 | 46,31 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 7 | 52,55 | 19 | 56,34 | 31 | 45,34 | 43 | 53,30 | 55 | 19,53 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 8 | 41,50 | 20 | 24,53 | 32 | 42,24 | 44 | 41,50 | 56 | 35,37 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 9 | 30,35 | 21 | 53,45 | 33 | 49,27 | 45 | 30,00 | 57 | 46,35 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 10 | 19,55 | 22 | 34,23 | 34 | 19,57 | 46 | 52,01 | 58 | 36,58 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 11 | 36,20 | 23 | 19,53 | 35 | 40,34 | 47 | 42,42 | 59 | 35,47 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 12 | 35,58 | 24 | 45,53 | 36 | 50,49 | 48 | 52,50 | 60 | 53,53 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Chłopcy | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Ilość przedziałów liczymy wg wzoru $k \cong \sqrt{n}$ . W tym przypadku $\sqrt{60}$ ≅7, 7 , stąd ilość przedziałów powinna być równa k=8.
Dziewczęta
| Wyniki pomiaru w minutach | Środek przedziału Xi | l.dz Ni | Xi * Ni | (xi−x)2 Ni |
… |
|---|---|---|---|---|---|
| 19,50-25,00 | 22,25 | 12 | 289,25 | (22,25−53)213 |
… |
| 25,00-30,50 | 27,75 | 5 | 138,75 | (22,75−53)25 |
… |
| 30,50-36,00 | 33,25 | 8 | 266 | (33,25−53)28 |
… |
| 36,00-41,50 | 38,75 | 8 | 310 | (38,75−53)28 |
… |
| 41,50-46,00 | 43,75 | 9 | 393,75 | (43,75−53)29 |
… |
| 46,00-51, 50 | 48,75 | 4 | 195 | (48,75−53)24 |
… |
| 51,50-57,00 | 54,25 | 13 | 651 | (54,25−53)212 |
… |
| 57,00-62,50 | 59,75 | 1 | 59,75 | (59,75−53)21 |
… |
Ogółem Dziewcząta |
60 | 2303,5 | 22501,25 | … |
Średnia ważona:
$$x = \frac{2303,5}{60} = 38,39,$$
Odchylenie standardowe:
$s^{2} = \frac{22501,25}{60} = 375,02$ s=19,44
Dominanta:
$$D = X0 + \frac{Nm - Nm - 1}{\left( Nm - Nm - 1 \right) + \left( Nm + Nm + 1 \right)} = 51,50 + \frac{13 - 4}{\left( 13 - 4 \right) + (13 - 1)}*5,5 = 51,50 + \frac{9*5,5}{9 + 12} = 51,50 + 2,36\sim 54,13$$
Mediana:
Pozycja mediany: $\ \frac{n}{2} = \frac{60}{2} = 30$
$$u_{e} = x_{0} + \frac{h_{0}}{n_{0}}\left( N_{u_{e}} - n_{sk - 1} \right) = 25 + \frac{5,5}{5}\left( 30 - 17 \right) = 25 + \frac{5,5*13}{5} = 25 + \frac{71,5}{5} = 25 + 14,3 = 39,3$$
Kwartyl pierwszy:
Pozycja Kwartylu $\ \frac{n}{2} = \frac{60}{4} = 15$
$$Q_{1} = x_{0} + \frac{h_{0}}{n_{0}}\left( N_{Q_{1}} - n_{sk - 1} \right) = 25 + \frac{5,5}{5}\left( 15 - 12 \right) = 25 + 1,1*3 = 25 + 3,3 = 28,3 \approx 28$$
Kwartyl trzeci:
pozycja $Q_{3} = \frac{3n}{4} = \frac{180}{4} = 45$
$$Q_{3} = x_{0} + \frac{h_{0}}{n_{0}}\left( N_{Q_{3}} - n_{sk - 1} \right) = 41,5 + \frac{5,5}{9}\left( 45 - 33 \right) = 41,5 + 0,6*12 = 41,5 + 7,2 = 48,7 \approx 49$$
Odchylenie ćwiartkowe:
$$Q = \frac{Q_{3} - Q_{1}}{2} = \frac{49 - 28}{2} = \frac{21}{2} = 10,5 \approx 11$$
Współczynnik zmienności:
$$V_{x} = \frac{s}{\overset{\overline{}}{x}}100\% = \frac{19,44}{38,39}100\% = 50,63\%$$
Klasyczny współczynnik asymetrii:
A=$\frac{M_{3}}{s^{3}}$, gdzie
$M_{3} = \frac{\sum_{i = 1}^{k}{{(\overset{\overline{}}{x_{i}} - \overset{\overline{}}{x})}^{3}n_{i}}}{n}$=$\frac{5657,88}{734,64} = 0,77$
Pozycyjny współczynnik asymetrii:
$A_{2} = \frac{\left( Q_{3} - \mu_{e} \right) - (\mu_{e} - Q_{1})}{Q_{3} - Q_{1}}$=$\frac{\left( 49 - 39,3 \right)\hat{}2 - (39,3 - 28)\hat{}2}{49 - 28} = \frac{7,976 + 10,76}{21} = 0,861$
Współczynnik skośności
A1=$\frac{\overset{\overline{}}{x} - D}{s}$=$\frac{38,39 - 24,15}{19,44} \approx 0,75$
Współczynnik spłaszczenia(skupienia)-kurtoza
$$\gamma_{4 = \frac{M_{4}}{s^{4}}}$$
$$M_{4} = \frac{\sum_{i = 1}^{k}{\left( {\overset{\overline{}}{x}}_{i} - x \right)^{4}*n_{i}}}{n} = \frac{130}{60} = 2,17$$
| K | 8 |
|---|---|
| Średnia ważona | 38,39 |
| Dominanta | 54,13 |
| Mediana | 39,3 |
| Kwartyl drugi (pozycja) | 54 |
| Kwartyl pierwszy | 28 |
| Kwartyl pierwszy (pozycja) | 15 |
| Kwartyl trzeci | 49 |
| Kwartyl trzeci (pozycja) | 45 |
| Odchylenie standardowe | 19,44 |
| Odchylenie ćwiartkowe | 11 |
| Współczynnik zmienności | 50, 63% |
| Trzeci moment centralny | 253,03 |
| Klasyczny współczynnik asymetrii | 0,77 |
| Pozycyjny współczynnik asymetrii | 0, 81 |
| Współczynnik skośności | 0, 75 |
| Współczynnik spłaszczenia | 2,17 |
Histogram liczebności szeregu przedziałowego
Chłopcy
| Wyniki pomiaru w minutach | Środek przedziału Xi | l.dz Ni | Xi * Ni | (xi−x)2 Ni |
… |
|---|---|---|---|---|---|
| 18,5-24,5 | 21,5 | 7 | 150,5 | (21,5−39,3)27 |
… |
| 24,5-30,5 | 27,5 | 11 | 302,5 | (27,5−39,3)211 |
… |
| 30,5-36,5 | 33,5 | 11 | 368,5 | (33,5−39,3)211 |
… |
| 36,5-42,5 | 39,5 | 8 | 316 | (39,5−39,3)28 |
… |
| 42,5-48,5 | 45,5 | 5 | 227,5 | (45,5−39,3)25 |
… |
| 48,5-54,5 | 51,5 | 12 | 618 | (51,5−39,3)212 |
… |
| 54,5-60,5 | 57,5 | 1 | 57,5 | (57,5−39,3)21 |
… |
| 60,5-66,5 | 63,5 | 5 | 317,5 | (63,5−39,3)25 |
… |
| Ogółem | 60 | 2358 | 9357,28 | … |
Średnia ważona:
$$x = \frac{2358}{60} = 39,3$$
Odchylenie standardowe:
$s^{2} = \frac{9357,28}{60} = 155,95$ s=12,49
Dominanta:
$$D = X0 + \frac{Nm - Nm - 1}{\left( Nm - Nm - 1 \right) + \left( Nm + Nm + 1 \right)} = 48,5 + \frac{12 - 5}{\left( 12 - 5 \right) + \left( 12 - 1 \right)}*6 = 48,5 + \frac{7*6}{7 + 11}$$
=48, 5 + 2, 33 ∼ 50, 83
Mediana:
Pozycja mediany: $\ \frac{n}{2} = \frac{60}{2} = 30$
$$u_{e} = x_{0} + \frac{h_{0}}{n_{0}}\left( N_{u_{e}} - n_{sk - 1} \right) = 24,5 + \frac{6}{11}\left( 24,50 - 7 \right) = 24,5 + \frac{6*17,5}{11} = 24,5 + \frac{105}{5}$$
=24, 5 + 21 = 45, 5
Kwartyl pierwszy:
Pozycja Kwartylu $\ \frac{n}{2} = \frac{60}{4} = 15$
$$Q_{1} = x_{0} + \frac{h_{0}}{n_{0}}\left( N_{Q_{1}} - n_{sk - 1} \right) = 24,55 + \frac{5,5}{11}\left( 15 - 14 \right) = 24,5 + 1,1*1 = 24,5 + 1,1$$
=25, 6 ≈ 27
Kwartyl trzeci:
pozycja $Q_{3} = \frac{3n}{4} = \frac{180}{4} = 45$
$$Q_{3} = x_{0} + \frac{h_{0}}{n_{0}}\left( N_{Q_{3}} - n_{sk - 1} \right) = 36,5 + \frac{5,5}{8}\left( 45 - 43 \right) = 36,5 + 0,7*2 = 36,5 + 1,4 = 37,9$$
≈38
Odchylenie ćwiartkowe:
$$Q = \frac{Q_{3} - Q_{1}}{2} = \frac{38 - 27}{2} = \frac{11}{2} = 5,5 \approx 6$$
Współczynnik zmienności:
$$V_{x} = \frac{s}{\overset{\overline{}}{x}}100\% = \frac{12,49}{39,3}100\% = 31,78\%$$
Klasyczny współczynnik asymetrii:
A=$\frac{M_{3}}{s^{3}}$, gdzie
$M_{3} = \frac{\sum_{i = 1}^{k}{{(\overset{\overline{}}{x_{i}} - \overset{\overline{}}{x})}^{3}n_{i}}}{n}$=$\frac{875,99}{2160} = 0,40$
Pozycyjny współczynnik asymetrii:
$A_{2} = \frac{\left( Q_{3} - \mu_{e} \right) - (\mu_{e} - Q_{1})}{Q_{3} - Q_{1}}$=$\frac{\left( 49 - 128,76 \right)\hat{}2 - (128,76 - 28)\hat{}2}{49 - 28} = \frac{7,76 + 10,76}{21} = 0,61$
Współczynnik skośności
A1=$\frac{\overset{\overline{}}{x} - D}{s}$=$\frac{38,39 - 24,15}{19,44} \approx - 0,93$
Współczynnik spłaszczenia(skupienia)-kurtoza
$$\gamma_{4 = \frac{M_{4}}{s^{4}}}$$
$$M_{4} = \frac{\sum_{i = 1}^{k}{\left( {\overset{\overline{}}{x}}_{i} - x \right)^{4}*n_{i}}}{n} = \frac{125}{60} = 2,08$$
Czasy chłopców
| K | 8 |
|---|---|
| Średnia ważona | 39,3 |
| Dominanta | 50,83 |
| Mediana | 45,5 |
| Kwartyl drugi (pozycja) | 50 |
| Kwartyl pierwszy | 27 |
| Kwartyl pierwszy (pozycja) | 15 |
| Kwartyl trzeci | 38 |
| Kwartyl trzeci (pozycja) | 45 |
| Odchylenie standardowe | 12,49 |
| Odchylenie ćwiartkowe | 6 |
| Współczynnik zmienności | 31,78 |
| Trzeci moment centralny | 253,03 |
| Klasyczny współczynnik asymetrii | 04 |
| Pozycyjny współczynnik asymetrii | 0,61 |
| Współczynnik skośności | -0,93 |
| Współczynnik spłaszczenia | 2,08 |
Porównanie danych
| Dane | Dziewczęta | Chłopcy |
|---|---|---|
| k | 8 | 8 |
| Średnia ważona | 38,39 | 39,3 |
| Dominanta | 54,13 | 50,83 |
| Mediana | 39,3 | 45,5 |
| Kwartyl drugi (pozycja) | 54 | 50 |
| Kwartyl pierwszy | 28 | 27 |
| Kwartyl pierwszy (pozycja) | 15 | 15 |
| Kwartyl trzeci | 49 | 38 |
| Kwartyl trzeci (pozycja) | 45 | 45 |
| Odchylenie standardowe | 19,44 | 12,49 |
| Odchylenie ćwiartkowe | 11 | 6 |
| Współczynnik zmienności | 50, 63% |
31,78 |
| Trzeci moment centralny | 253,03 | 253,03 |
| Klasyczny współczynnik asymetrii | 0,77 | 0,4 |
| Pozycyjny współczynnik asymetrii | 0, 81 |
0,61 |
| Współczynnik skośności | 0, 75 |
-0,93 |
| Współczynnik spłaszczenia | 2,17 | 2,08 |
Interpretacja statystyczna wyznaczonych parametrów
Średni czas uzyskany przez dziewczęta wynosi 38,39. Natomiast czas u chłopców wynosi 39,3. Średnie dla ogółu uczestników biegu łącznie wynoszą:
$$\overset{\overline{}}{x} = \left( 0,5*{\overset{\overline{}}{x}}_{1} + 0,5*{\overset{\overline{}}{x}}_{2} \right) = 0,5*38,39 + 0,5*39,3 = 39,34$$
Najliczniejsza grupa dziewczyn oscyluje w obrębie czasu 51,5-57 natomiast najliczniejsza grupa wśród chłopców oscyluje w czasie 48,5 -54,5. U dziewcząt 29 osób uzyskało czas poniżej 38,39 natomiast reszta tzn.31 uzyskało czas powyżej tego wyniku. Natomiast u chłopców 33 osiągnęło czas poniżej 39,3 minut a 27 osiągnęło wyniki powyżej tego czasu. W kategorii dziewcząt około 48% uzyskało czas poniżej czasu średniego a natomiast 52% czas poniżej czasu średniego czyli 38,39 W kategorii chłopców natomiast 55% uzyskało czas poniżej wartości z czego wynika że 45 % uzyskało czas ponad przeciętny.
Po porównaniu wszystkich wyliczonych miar tendencji centralnej możemy, stwierdzić, iż
Ogólne czasy uzyskane przez chłopców są wyższe od czasu dziewcząt. Czasy w biegach dziewcząt nieróżni się znacznie w przedziałach czasowych lecz występuje ogromna różnica patrząc na czasy w całej grupie gdyż różnica najlepszego czasu od najgorszego wynosi 43 minut i jest to ogromna różnica. Analogicznie w przypadku chłopców także występuje niewielkie odchylenie w obrębie przedziału czasowego lecz patrząc na skrajne czasy różnica jest ogromna i wynosi 48 minut.
Odchylenie standardowe czasów dziewcząt stanowi 50,63% ich średniego czasu podczas gdy udział zróżnicowania przeciętnego w stosunku do średniej w grupie chłopców wyniósł 31,78%. Zatem czasy w populacji dziewcząt jest mniej zróżnicowany niż w populacji chłopców. Znaki obu współczynników asymetrii wskazują na dodatnią asymetrie czasu w grupie co oznacza że większość osób dostała czasy wyższe od średniej czyli 39,3 minuty (w grupie chłopców którzy uzyskały czasy i mieszczące się w przedziale $\left( \overset{\overline{}}{x} \pm s \right)$ tj. (39,3±12 ,49) . Niewielka wartość bezwzględna obu mierników oznacza, że przewaga osób z mniejszym czasem od średniej jest niewielka. Wartość współczynnika skośności w grupie dziewczyn wynosiła 0,75, wskazując na słaba, dodatnia asymetrie. Oznacza to, ze niewielka większość dziewcząt osiąga czas niższy od średniej wynoszącej 38,39 minut (w grupie tej którzy osiągnęli wyniki mieszczące się w przedziale $\left( \overset{\overline{}}{x} \pm s \right)$ tj. (38,39±19,44). Różnica w znakach obliczonych współczynników asymetrii wskazuje na to, ze asymetria w środkowej części obszaru zmienności wielkości cechy jest inna niż asymetria w całym obszarze zmienności. Jest to spowodowane wpływem skrajnych wielkości cechy na poziom obliczonych miar klasycznych.
Część Druga
I
Na podstawie powyższych danych oszacuję metodą przedziałową średni czas dziewcząt i chłopców.
Ponieważ nie znamy rozkładu wieku tak w grupie dziewcząt i chłopców , dlatego do szacowania średnich w populacji stosujemy Model 3 dla średniej:
$\overset{\overline{}}{x}$- 1,96$\frac{s}{\sqrt{n}}$<µ < $\overset{\overline{}}{x}$+ 1,96$\frac{s}{\sqrt{n}}$
Nasz poziom istotności wynosi: α = 0,05 = 5%, wtedy przedział ufności wynosi = (1-0,05) = 0,95 = 95%.
Z tablic kwintali rozkładu N(0,1) odczytujemy u=(1-$\frac{1}{2}\alpha$)=u(0,975)=1,96
Wyznaczymy 95%-ową realizację przedziału ufności dla średniego czasu dziewcząt i chłopców
Zatem 95%-owa realizacja przedziału ufności dla nieznanej wartości przeciętnej μ (uzyskana na podstawie danych dotyczących czasów dziewcząt ) określona jest nierównością:
38- 1,96 $\frac{19,44}{\sqrt{60}} < \ \mu < 38 + 1,96\frac{19,44}{\sqrt{60}}$
33,08< μ < 42,92
Zatem 95%-owa realizacja przedziału ufności dla nieznanej wartości przeciętnej μ (uzyskana na podstawie danych dotyczących czasu chłopców ) określona jest nierównością:
39- 1,96 $\frac{12,49}{\sqrt{60}} < \ \mu < 39 + 1,96\frac{12,49}{\sqrt{60}}$
35,84< μ < 42,16
II
Wyznaczam 95%-owe realizacje dla odchylenia w czasach dziewcząt i chłopców przebywających w liceum
W tym przypadku możemy zastosować Model 2
P($\frac{s}{1 + \frac{u_{\alpha}}{\sqrt{2n}}} < \sigma <$ $\frac{s}{1 - \frac{u_{\alpha}}{\sqrt{2n}}}$ ) = 1-α
Dla α = 0, 1 odczytujemy uα = 1, 64.
Ponieważ n = 60, więc $\sqrt{2n}$=$\sqrt{120}$.
95%-owa realizacja przedziału ufności dla odchylenia σ wieku uczestników kursu języka angielskiego
s = 19, 44
$\frac{19,44}{1 + \frac{1,64}{\sqrt{120}}} < \sigma <$ $\frac{19,44}{1 - \frac{1,64}{\sqrt{120}}}$
16, 9 < σ< 22, 86
95%-owa realizacja przedziału ufności dla odchylenia σ wieku kursu języka niemieckiego
s = 12, 49
$\frac{12,49}{1 + \frac{1,64}{\sqrt{120}}} < \sigma <$ $\frac{12,49}{1 - \frac{1,64}{\sqrt{120}}}$
10, 86 < σ< 14, 69
III
Na podstawie danych na poziomie α = 0, 05 zweryfikuje hipotezę, czas dziewcząt , był równy μ = 38 oraz chłopców μ = 39.
Zastosujemy Model 1
Cecha X w populacji ma dowolny rozkład o nieznanej wartości średniej m i nieznanym odchyleniu standardowym σ. Próba jest duża. Weryfikujemy hipotezę:
H0: µ= m1 przeciw hipotezie alternatywnej H1: µ≠m1
Statystyka Un $= \frac{\overset{\overline{}}{X_{n}} - m_{1}}{\overset{\overline{}}{s_{n}}}\sqrt{n}$ ma rozkład N(0,1).
Hipoteza alternatywna jest zaprzeczeniem hipotezy zerowej, więc obszar krytyczny jest dwustronny (-∞, -uα) ∪ (uα,∞).
Obliczamy ud dla czasów dziewczyn
ud= $\sqrt{60}\frac{38,39 - 38}{19,44}$≈0,16 ponieważ μ0, 05 = 1, 96, więc hipotezę zerową musimy odrzucić.
Obliczamy ud dla czasów chłopców
ud= $\sqrt{60}\frac{39,3 - 39}{12,49}$≈0,19 ponieważ μ0, 05 = 1, 96, więc hipotezę zerową musimy odrzucić.
IV
Pragnę stwierdzić czy słuszne jest mniemanie, że czasy chłopców , są przeciętnie lepsze od czasów dziewcząt α = 0, 05
Mam do czynienia z Modelem 3 dla dwóch średnich.
Badana cecha ma w dwóch populacjach rozkłady normalne lub inne, ale o skończonych wariancjach σ12, σ22 (mogą być nieznane). Nieznane są natomiast średnie m1, m2, dla których stawiamy hipotezę H: m1 = m2 wobec jednej z hipotez alternatywnych:
H1: m1 ≠ m2, H1: m1 < m2, H1: m1 > m2.
Dla dwóch niezależnych prób o liczebnościach (co najmniej kilka dziesiątek) n1, n2 statystyka
U= $\frac{\overset{\overline{}}{x_{1}} - \ \overset{\overline{}}{x_{2}}}{\sqrt{\frac{s_{1}^{2}}{n_{1}} + \frac{s_{2}^{2}}{n_{2}}}}$
przy założeniu prawdziwości hipotezy H0 ma rozkład asymptotycznie normalny gdzie $\overset{\overline{}}{x_{1}} - \ \overset{\overline{}}{x_{2}}\ \text{oraz}\ s_{1},s_{2}$ średnie i wariancje empiryczne.
Stawiam hipotezę
H: μ1=μ2 wobec hipotezy alternatywnej H1 : μ1 > μ2
Gdzie μ1- średnia wśród osób biorący udział biegu
, μ2- średnia wśród osób biorących udział w biegu
Wyznaczam wartość statystyki U z wyniku obu prób losowych:
U= $\frac{39,3 - 38,39}{\sqrt{\frac{{12,49}^{2}}{60} + \frac{{19,44}^{2}}{60}}}$ = 0,31
Wobec postaci hipotezy alternatywnej mamy prawostronny obszar krytyczny K=(uα, ∞).
uα=0,05, u0, 05 = 1, 96. Ponieważ 0,31 należy do K więc mam podstawę do odrzucenia hipotezy H0.
Wniosek: Otrzymany wynik oznacza, że na tym poziomie ufności α = 0, 05 (i na podstawie tych danych) możemy stwierdzić, że chłopcy są przeciętnie szybsi od dziewcząt .