 | Pobierz cały dokument 2003.12.06.prawdopodobie.stwo.i.statystyka.pdf Rozmiar 50 KB |
Egzamin dla Aktuariuszy z 6 grudnia 2003 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka Zadanie 1
O – 0
OR – 1
ORR – 2
p - średni czas przejścia z 0 do 2 = x – szukana średnia 02
p
- średni czas przejścia z 1 do 2
12
x = E(⋅ O)1 + E(⋅ R)1
2
2
E(⋅ O) = 1+ x E(⋅ R) = 1+ p 12
1
1
1
1
p 12 =
+ E (′⋅ O) = + 1
( + x)
2
2
2
2
E (′⋅ O) = 1+ x 1
1
1
1
x =
1
( + x) + 1 +
+ 1
( + x)
2
2
2
2
1
1
1
x −
x −
x =
+1
2
4
2
1
3
x =
4
2
3
x =
⋅ 4 = 6
2
Zadanie 2
∞
P( Y ≤ y) = ∑ P( Y ≤ y N = n) P( N = n) n=0
y
P(
n
Y ≤ y N = n)
−
+
= 1− P( Y > y N = n) (
)
1
= 1− µ
e
∞
− y
yn
y
( n+
)
1
n
∞
n
−
−
λ
λ
P( Y ≤ y) = ∑
µ
−
1 −
λ
e
e
= 1− ∑
− λ
µ
µ
e e
e
=
n
n
n=
!
!
0
n=
0
n
− y
µ
e
λ
y
y
y
−
y
λ exp
λ exp
− ∞
−
−
−
µ
− λ
µ
=
y
1 − e
e e
∑
µ
µ
e
= 1− exp λ e
−1 −
!
n
µ
n=0
6
4
4
4
4
nzl 7
z
teorii
4
4
4
4
8
k
SST = SSW +
n X
X
i (
i −
)2
∑
i 1
=
SSW
k
=
SSW
2
SSW ≅ χ 2 ( n − k), ∑ n X
X
χ 2 ( k
)
1
i (
i −
) ≅
−
k
SST
2
SSW + ∑ n X
X
i=1
i (
i −
)
i=1
X
czyli: E
gdzie:
X + Y
2
n − k 1
2
k − 1 1
X ≅ χ ( n − k) ≅ Γ
; , Y ≅ χ ( k − ) 1 ≅ Γ
; i nzl
2
2
2
2
n − k
X
2
n − k
E
=
=
- patrz: ksiąŜka Wojciecha Otto
X + Y n − k k −1
n −1
+
2
2
Zadanie 4
1
S ≅ Γ n;
µ
E( ˆ µ − µ)2
2
2
2
2
2
2
= ˆ µ
E
− 2 ˆ µ
E
µ
+ µ = n( n + ) 1 µ a − 2 µ an + µ
2
2
2
E ˆ µ = n( n + ) 1 µ a
Eµˆ = anµ
b
2 2
µ n
1
a
= −
=
=
min
2 a
2( n + )
1
2
nµ
n + 1
Zadanie 5
−ln Ui ≅ wykl )1(
− ∑
ln U i ≅ Γ( n )
1
,
n
1
P U
U
P
U
n
P
U
n
1 ⋅ ⋅ ⋅
n ≤
= (∑ln i ≤ − ln3)= (− ∑ln i ≥ ln3) =
3
=
u
4
6
4
7 8
− ∑
2
ln U
n
i −
u
CTG
− x
n ln 3 − n
n ln 3 − n
=
1
P
≥
= 1− P U
1
e 2 dx
0
n ≤
→ −
∫
→
n
n
n
Π
2
−∞
czyli odpowiedź (B) jest prawidłowa
Zadanie 6
n
n
+
+
1
L = θ [ θ 1
( − θ)] 2
2 3
n
1
n
2
n
2
n
2 3
1
( − θ)
= θ
1
( − θ)
n
ln L = ( n + n θ + n + n
− θ
1
2 )ln
(
2
2
3 )ln 1
(
)
∂
n
n
n
n
n
n
θ
n
n θ
1 +
2
2 + 2 3
( 1 + 2) 1(− ) − ( 2 + 2 3)
=
−
=
= 0 →
∂ θ
θ
1 − θ
θ 1
( − θ)
→ ( n + n + n + 2 n θ = n + n 1
2
2
3 )
1
2
 | Pobierz cały dokument 2003.12.06.prawdopodobie.stwo.i.statystyka.pdf rozmiar 50 KB |
