Egzamin dla Aktuariuszy z 6 kwietnia 2009 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Zadanie 1
X = Z + ... + Z
1
80
Y = Z + ... + Z
1
20
cov( X , Y ) = cov( Z + ... + Z + Z + ... + Z ; Z + ... + Z
=
Z +
+ Z
=
⋅ ⋅ =
1
20
21
80
1
20 )
var(
...
1
20 )
1 1
20
5
2 2
1 1
var X = 80 ⋅ ⋅
= 20
2 2
1 1
var Y = 20 ⋅ ⋅
= 5
2 2
5
1
ρ( X , Y) =
=
20 5
2
Zadanie 2
X ≅ Γ( ,
4 2)
Y ≅ Γ ,
5
( 2)
X + Y ≅ Γ ,
9
( 2)
U ≅ Beta(
)
5
,
4
= 4
EU
= 4 → (A) NIE
4 + 5
9
EV = E( X + Y = 4
)
+ 5 = 9 → (E) NIE
2
2
2
X=UV
Y=V(1-U)
V U
JAKOBIAN =
= V 1
( − U ) + UV = V ≠ 0
-
V 1
- U
u ∈ (
)
1
,
0
v > 0
8
−
4
−
−
32
3
3
2 uv
4
4
2 v 1
(
u )
3
4
8
−2 v
f u
( , v) = u v e
v 1
( − u) e
v =
u 1
( − u) v e
3
3
9
32 3
4
8
−2 v
−
Γ
f ( u v)
u 1
(
u) v e
32 !
8
3
4
9
( )
9
=
=
u 1
( − u)
3
=
u 1
( − u)4 ≅ Beta(
)
5
,
4
29
9
−
Γ Γ
8
2 v
29
(4)
)
5
(
v e
Γ 9
( )
E( U V )
4
4
=
=
4 + 5
9
Zadanie 3
IX=W
( S = σ µ + µ σ
N )
2
var
N (
W )2
2
N
W
1
2 ⋅
2
1 16
8
4
σ
N =
=
=
2
3
2 9
9
4
1
2 ⋅
1 4
2
4
µ
N =
=
=
3
2 3
3
4
1
µ = EI
W
⋅ EX = ⋅ 2 = 1
2
+
2
2
2
1
EW
= EI ⋅ EX =
+ 5
,
0 2 (1+ 22 ) 1 3
20
5
=
⋅5 =
=
12
12
12
3
2
5
2
σ
W =
−1 =
3
3
var( S
N )
8
2 2
8
4
12
4
= ⋅1+
= + =
=
9
3 3
9
9
9
3
Zadanie 4
Dla N > N
i n ∈ ( ,
0 ...,
)
6 N ≥ 6
2
1
1
7
N
N
2
1
n
6 − n
6
( N −5 N −
N −
1
)(
4
1
) (
....
6
2
)
L =
=
jest to niemalejąca
N
7
N
N + n −
N + n −
⋅⋅⋅ N + n −
2
1
(
5
1
)(
4
1
) (
6
2
)
6
n
6 − n
1
1
funkcja statystyki
=
X
n
1
1
P
H
≥ t = P X
H
≤ = PH ( X ≤ m) 12
60
=
=
0
0
0
X
t
143
715
7
8
0
6
28
4
60
P ( X
H
= 0) =
=
=
<
0
15
5005
715
715
6
7
8
1
5
7 ⋅ 56
56
4
56
60
P ( X
H
= )
1 =
=
=
c
zyl
i P ( X
H
≤ )
1 =
+
=
0
5005
5005
715
0
715
715
715
czyli K = { }
1
,
0
czyli odrzucamy H gdy X<2
Zadanie 5
X ≅ Γ( ;
2 θ )
2
var X =
2
θ
2
dl
a H :
= 2 → θ = 1
0
2
θ
2
dl
a H :
= 5
,
0
→ θ = 2
1
2
θ
−2
20
∑
2 ∏
i
x
x e
i
20
−∑
L =
=
xi
2 e
−∑
∏
xi
x e
i
x
P
H (
−∑
220 e
i
> t =
0
) 0,05
x
P
e
i
t
P
x
t
H 0 ( −∑
−
> ⋅ 20
2
)= H 0(−∑ i >ln( −⋅20
2
)
prz
y H : X
X
0
≅ Γ( )
1
,
2
→ ∑ i ≅ Γ(20 )
1
,
→
X
4
6
4
7 8
X
→
1
20
19
t
P
X
ln 2
t
,
0 05
y e dy
y
H
∑
−
− y
0
i < −
( ⋅ ) =
=
∫
= =
=
Γ
(20)
2
0
2 X
19
t
2 X
= ∫
−
1
t
e dt =
χ (4 )
0
0
,
0 5
20
∫ 2
2
=
Γ(2 )
0 2
0
0
z tablic rozkładu
2
χ (40 ) 2
x = 26 5
, 09 → X ≈ 1 ,
3 25
i K = {∑ X
i < 1 ,
3 2 }
5
Zadanie 6
moŜliwe ilości kul po II etapie, oznaczamy te zdarzenia: a) gdy losujemy z urny A:
a1 – losujemy 2 białe kule – wtedy – (2b,5cz) a2 – losujemy 2 czarne kule – (4b,3cz)
a3 – losujemy 1 biała i 1 czarną – (3b,4cz) b) gdy losujemy z urny B:
a4 – losujemy 2 białe – (4b,3cz)
a5 – losujemy 1 biała i 1 czarną – (5b,2cz)
2
1 2
1 1
1
P( a )
1 =
=
=
2 5
2 10
20
2
1 3
3
P( a 2) =
=
2 10
20
1 6
6
P( a )
3 =
=
2 10
20
1 6
6
P( a 4) =
=
2 10
20
1 4
4
P( a )
5 =
=
2 10
20
B2 – dwie kule jednakowego koloru w II etapie B3 – zdarzenie, Ŝe w III etapie kula biała P( B 2 ∩ B 3)
2 1
4 3
4 6
19
=
+
+
=
7 20
7 20
7 20
70
1 2
3 4
6 3
6 4
4 5
38
P( B )
3 =
+
+
+
+
=
20 7
20 7
20 7
20 7
20 7
70
P( B 2 ∩ B 3)
19 70
1
ODP =
=
=
P( B )
3
70 38
2
Zadanie 7
P( U = 1 X = = P
X
X
n
≥
0
)1 (min( ,...,
1
) )1
dla t ∈ (
)
1
,
0
P( U ≤ t X
0 =
)1= P(min( X ,..., X
1
≤
n )
t )
3 n
1
P(min( X ,..., X
≤ = 1− min ≥ = 1−
(
> ) = 1−
1
) t)
P(
t )
n
P
X
t
n
1 + t
3
1
P( U = 1
= 1 =
0
)
n
X
2
3
1
P( U ≤ t X = 1 = 1−
0
)
n
1 + t
f (
n
n+
1
1
1
t X = 1 =
−
⋅ 3 n 1
( + t)−
= 3 n
0
)
3
3
1
2
1 + t
1
( + t)
1 + t
3 n
1
3 n+
1
1 1
ODP =
+ ∫ t ⋅ n
3
dt
2
1+ t
1
0
4
4
4
2
4
4
4
3
A
2
1
−3 n+1
−3
x
x n 2
A = t + 1 = x = ∫ 3 n( x − ) 1
dx = 3 n
3 n+1
−
=
x
3 n 1
3 n
1
−
+
− 1
2 3
− n 1
+
2 3
− n
1
1
3 n
1
1
3
=
n
3 n
−
−
+
=
+
−
−1
− 3 n + 1 − 3 n 1− 3 n
− 3 n 1− 3 n 23 n 1− 23 n 1− 3 n 1
1
n
3
1
n
3
1
n
3
n
3
ODP =
+
+
−
−1 =
1 +
− 1+
=
3 n
3 n
2
2
1 −
3 n−
n
3 2
1
1 −
3 n−
n
3
2
1
1 − n
3
1 − n
3
1
1
1
1
=
−1
= 1−
23 n 1
−
1 − 3 n
23 n 1
− 3 n −1
Zadanie 8
E( S
a − σ )2 → min
E( 2
S
S
a − 2
2
σ a +σ )→ min
X −1 ≅ N
i
( 2
;
0 σ
)
2
n
n
S 2
a 2
X
1
a 2
X
2
1
n( n
)
1 X
1 X
1
a =
∑ i − =
∑( i − )
+
−
i −
⋅ j −
i=1
i=1
∞
2
2
− x
0
− x
E X
σ
σ
i − 1 = ∫
1
1
2 2
x
e
dx − ∫
2 2
x
e
dx =
2 σ
2 σ
0
Π
−∞
Π
∞
2
x
2
∞
−
− t
1
x
t
2
=
= 2∫
1
1
2
x
e σ dx =
= 2∫
2 2
e σ dt =
2 σ
2 xdx
dt
2
2 σ
0
Π
=
0
Π
t
∞
−
1
σ
σ
σ
σ
2
2
2 2
2
2
Π
2
Π
=
2
− 2
2
σ
σ
e
=
=
=
=
2
Π
2 σ
2
Π
2 σ
Π
2
Π
2
Π
0
n
∑( X
2
−1
i
)
n
i 1
=
2
≅ χ ( n) → E∑
−1 = σ
2
( X
2
2
i
)
n
σ
=
i 1
2
σ
2
2
2
Π
2
ES
σ
σ
a =
2
2
2
a
n + n( n − )
1
a
n
n n
2
=
+ ( − )
1
Π
Π
σ Π
ES
a =
2
an
Π
E( S
a − σ )2
2
n 2
2
2
2
Π
= a σ n + n( n − ) 1
− 2 aσ
+ 2
σ =
Π
Π
Π
2
2
2
2
=
n
σ a n + n( n − ) 1
− 2 a
+1 → min
Π
Π
2 n 2Π
1
2Π
2Π
2Π
minimum dla a =
=
=
=
Π
2
2
Π + (
2 n − )
1
2 n + Π − 2
2 n + n( n − )
1
Π1+ ( n − )
1
Π
Π
Zadanie 9
X ≅ b
( − a) J g
dzi
e J ≅ J (
)
1
,
0
i
i
i
X = max( J ,..., J
1
n )
Y = min( J ,..., J
1
n )
f ( x)
n 1
X
=
−
nx
d
l
a x ∈ (
)
1
,
0
f ( y)
Y
= n 1
( − y) n 1
− d
l
a y ∈ (
)
1
,
0
( x − y n−
) 2 1
( − x)0
f
( y, x)
,
= n ⋅!
= n( n − )
1 ( x − y n−
) 2 d
la y < x
Y X
⋅!
0 ( n − )
2 ⋅! !
0
1
n+1
n
nx
1
EX = ∫ nx =
n
=
n 1
n 1
0
+
+
0
1
1
1
n+1
n
n
n
n
n
nt
1
EY = ∫
n
n 1
( −
−
1
1
y)
y = 1 − y = t = ∫
−1
nt
1
( − t) = ∫
−1
nt
− nt = t −
= 1 −
=
n 1
n 1
n 1
0
0
0
+
+
+
0
1
n+2
n
nx
1
n
2
EX
= ∫
+1
nx
=
=
n
2
n
2
0
+
+
0
1
1
n+1
n+2
n
n
n
2 nt
nt
1
2
EY = ∫ n 1
( −
−1 2
y)
y = 1 − y = t = ∫
−1
nt
(1−2 t + 2 t)= t −
+
=
n 1
n
2
0
0
+
+ 0
2
2
n
n
n + 3 n + 2 − 2 2
n − 4
2
n + n + n
2
= 1−
+
=
=
n + 1
n + 2
( n + )
1 ( n + )
2
( n + )
1 ( n + )
2
1 1
1 −
1 y
E( XY ) = ∫ ∫
n−
n( n − )
1 ( x −
2
y)
xydxdy = x − y = t = ∫ ∫
n−
n( n −
2
)
1 t
( t + y) ydtdy =
0 y
0
0
1
y
n
n 1
t
yt
−
−
1
1
1
( − y) n
y 1
( −
n−1
y)
= ∫ n( n − )1 y +
dy = ∫ n( n − )
1 y
+
dy = 1 − y = x =
n
n 1
n
n 1
0
− 0
0
−
1
xn
1
( −
n−1
x) x
1
n
n−1
n
n+1
n
n+1
x
x
x
x
x
x
= ∫ n( n − )1 1(− x ) +
= ∫ n( n −
)
1
+
−
−
−
+
=
n
n 1
n
n 1
n 1
n
n 1
n 1
0
−
0
−
−
−
−
1
n−1
x
n + 1
n
1
n+2
n
n
n
x
1
= ∫ n( n −
+
1
1
1
+
)
1
−
x +
x
= x −
1
x
+
= 1 −1 +
=
n 1
n( n
)
1
n( n
)
1
n
2
n
2
n
2
0
−
−
−
+
+
+
0
E[ c(
n
n −
n +
max− min)]
1
1
1
= c
( b − a) −
( b − a) = c( b − a)
= b − a → c =
n +1
n + 1
n + 1
n −1
E[ c(max− min)]2 = ( b −
2
2
a) c [
2
EY − 2 E( XY ) +
2
EX ] =
n
2
2
2
2
= c ( b − a)
−
+
=
( n + )
1 ( n + 2)
n + 2
n + 2
( n + 2
)
1
2
2( n
)
1
n( n
)
1
n 1 2
2 n
2
n
n
2
−
+ +
+
+
−
− + 2 +
= ( b − a)
=
( b −
2
a) =
( n − 2
)
1
( n + )
1 ( n + 2)
( n − 2
)
1
n + 2
n + 1 n( n − )
1
( n + )
1 n
2
2
=
( b − a) =
( b − a)
2
( n − )
1
n + 2
( n − )
1 ( n + 2)
( n + )
1 n
n
n
n
n
2
2
2 (
+ )
1
− ( − )
1 ( +
var =
( b − a) − ( b − a) = ( b −
2)
a)
=
( n − )
1 ( n + 2)
( n − )
1 ( n + 2)
2
2
n + n − n − 2 n + n + 2
b − a
2
(
2
)2
=
( b − a) =
( n − )
1 ( n + )
2
( n − )
1 ( n + )
2
Zadanie 10
L = θ (∏ X
i )θ 1
−
10
10
ln L = 10 lnθ + (θ − )
1 ∑ ln x
i
i=1
∂
10
10 + θ ∑ ln x
=
+ ∑
10
ln x = 0 →
i
ˆ
0
θ
i
= → = −
∂θ
θ
θ
∑ln xi
dla t ∈ (−∞ 0
; )
P(
exp( t )
x < t) = P( X < t e ) = ∫
θ −1
t
ln
x
θ
dx = [ xθ ]exp( )
t
e θ
0
=
0
czyli − ln X ≅ wykl(θ ) 10
− ∑ln X
θ
X
i ≅ Γ 1
(
,
0
) ≅
i=1
10 c
10
10
10
P(
θ
c
c
θ
θ < θ
c ˆ)
= P θ < −
= P(θ X < 10 c)
= P X <
=
9
−θ x
∫
x e
dx
∑
=
ln X
1
( 0)
i
θ
Γ
0
2 x
θ = t
20 c
=
2
dt = ∫ χ (20) dt = ,
0 05 → 20 c = 10 8
, 51 → c ≈ 5
,
0 4
dx =
0
2θ
10
10
P(θ > dθˆ)
d
= P θ > −
= P(θ X > 10 d )
d
= P X >
=
∑
ln X
i
θ
∞
10
∞
θ
= ∫
9
−θ x
x e
dx = θ x = t = ∫ χ 2 (2 ) 0 dx =
0
,
0 5 → 20 d = 3 ,
1 41 → d ≈ 5
,
1 7
1
(
)
0
10 d Γ
20 d
θ